小结与复习第二章二次函数要点梳理考点讲练课堂小结课后作业九年级数学下（BS）教学课件 一、二次函数的定义要点梳理1．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．特别地，当a≠0，b＝c＝0时，y＝ax2是二次函数的特殊形式．2．二次函数的三种基本形式(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)；(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标是(h，k)；(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标． a＞0开口向上a＜0开口向下x=h(h,k)y最小=ky最大=k在对称轴左边,x↗y↘;在对称轴右边,x↗y↗在对称轴左边,x↗y↗;在对称轴右边,x↗y↘y最小=y最大=二、二次函数的图象和性质 三、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征与系数a，b，c的关系项目字母字母的符号图像的特征aa＞0开口向上a＜0开口向下bb＝0对称轴为y轴ab＞0(a与b同号)对称轴在y轴左侧ab＜0(a与b异号)对称轴在y轴右侧cc＝0经过原点c＞0与y轴正半轴相交c＜0与y轴负半轴相交b2－4acb2－4ac＝0与x轴有唯一交点(顶点)b2－4ac＞0与x轴有两个交点b2－4ac＜0与x轴没有交点 四、二次函数图象的平移任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下： 五、二次函数表达式的求法1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数的值，最后将解析式化为一般式．3．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a的值，最后将解析式化为一般式． 六、二次函数与一元二次方程的关系二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有一个交点,没有交点.当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根一元二次方程ax2＋bx＋c=0根的判别式（b2-4ac）有两个交点有两个相异的实数根b2-4ac>0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点没有实数根b2-4ac<0 七、二次函数的应用2．一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义．1．二次函数的应用包括以下两个方面(1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问题)；(2)利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根及一元二次不等式的解集． 考点一求抛物线的顶点、对称轴、最值考点讲练例1抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标为______．【解析】方法一：配方，得y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，则顶点坐标为(1,2)．方法二：代入公式，，则顶点坐标为(1,2)．(1,2) 1．对于y＝2(x－3)2＋2的图象下列叙述正确的是()A．顶点坐标为(－3,2)B．对称轴为y＝3C．当x≥3时，y随x的增大而增大D．当x=3时，y取最大值，为2C针对训练 考点二二次函数的增减性例2二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1<x2<1，则y1与y2的大小关系是()A.y1≤y2B．y1<y2C．y1≥y2D．y1>y2【解析】由图象看出，抛物线开口向下，对称轴是直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大．∵x1<x2<1，∴y1<y2.故选B.B 当二次函数的表达式与已知点的坐标中含有未知字母时，可以用如下方法比较函数值的大小：(1)用含有未知字母的代数式表示各函数值，然后进行比较；(2)在相应的范围内取未知字母的特殊值，采用特殊值法求解；(3)根据二次函数的性质，结合函数图象比较.方法总结 针对训练2.下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（）A.y=x2B.y=x-1C.D.y=-3x2D针对训练 例3如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c=-9a；④若（-3，y1）,（，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④xyO2x=-1B考点三二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与系数a，b，c的关系 3.已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（）A．b≥－1B．b≤－1C．b≥1D．b≤1解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴，即b≤1，故选择D.D针对训练针对训练 考点四抛物线的几何变换例4将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线表达式是()A．y＝(x－4)2－6B．y＝(x－4)2－2C．y＝(x－2)2－2D．y＝(x－1)2－3【解析】因为y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，所以向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的表达式为y＝(x－3－1)2－4＋2，即y＝(x－4)2－2.故选B.B 4.若抛物线y=－7(x+4)2－1平移得到y=－7x2，则必须（）A.先向左平移4个单位，再向上平移1个单位B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位D.先向右平移1个单位，再向下平移4个单位B针对训练 考点五二次函数表达式的确定例5:已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的表达式.待定系数法解：设所求的二次函数为y＝ax2+bx＋c,由题意得：解得,a=2,b=－3,c=5.∴所求的二次函数表达式为y＝2x2－3x＋5. 5.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的表达式.解:∵抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7的形状相同a=1或－1.又∵顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,顶点为(1,5)或(1,－5).所以其解析式为:(1)y=(x－1)2+5(2)y=(x－1)2－5(3)y=－(x－1)2+5(4)y=－(x－1)2－5针对训练 例6若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（　　）A．x1=0，x2=6B．x1=1，x2=7C．x1=1，x2=﹣7D．x1=﹣1，x2=7【解答】∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，∴－=3，解得m=－6，∴关于x的方程x2+mx=7可化为x2－6x－7=0，即(x+1)(x－7)=0，解得x1=－1，x2=7．故选D．考点六二次函数与一元二次方程D 例7如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中15＜x＜30.作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G.(1)用含有x的代数式表示BF的长；(2)设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式；(3)当x为何值时，S有最大值？并求出这个最大值．考点七二次函数的应用 解：（1）由题意，得EF=AE=DE=BC=x,AB=30.∴BF=2x-30.（2）∵∠F=∠A=45°，∠CBF=∠ABC=90°，∴∠BGF=∠F=45°，BG=BF=2x-30.所以S△DEF-S△GBF=DE2-BF2=x2-(2x-30)2=x2+60x-450.（3）S=x2+60x-450=(x-20)2+150.∵a=＜0,15＜20＜30，∴当x=20时，S有最大值，最大值为150. 6.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y＝kx＋b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45.(1)求一次函数的表达式；(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ 解：(1)根据题意，得解得k=-1,b=120.故所求一次函数的表达式为y=-x+120.(2)W=(x-60)•(-x+120)=-x2+180x-7200=-(x-90)2+900,∵抛物线的开口向下，∴当x＜90时，W随x的增大而增大，而60≤x≤60×（1+45%），即60≤x≤87,∴当x=87时，W有最大值，此时W=-(87-90)2+900=891. 考点八二次函数与几何的综合例8如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2-2x+3上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为（　　）A．1B．2C．3D．4B 7.如图，抛物线y=x2+bx+c经过点（1，-4）和（-2，5），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；解：（1）由题意，得解得所以，该抛物线的解析式为y=x2-2x-3； （2）若抛物线与x轴的两个交点为A、B，与y轴交于点C．在该抛物线上是否存在点D，使得△ABC与△ABD全等？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由.（2）∵抛物线y=x2-2x-3的对称轴为x=1，∴图中点C关于x=1的对称点D即为所求，此时，AC=BD，BC=AD，在△ABC和△BAD中，∴△ABC≌△BAD（SSS）．在y=x2-2x-3中，令x=0，得y=-3，则C（0，-3），∴D（2，-3）． 二次函数图象画法抛物线开口方向抛物线的顶点坐标和对称轴二次函数的性质抛物线的平移最值确定解析式应用课堂小结