21.2解一元二次方程21.2.3因式分解法人教版数学九年级上册\n1.解一元二次方程的方法有哪些？2.什么叫因式分解?把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解，也叫把这个多项式分解因式.直接开平方法：配方法：x2=a(a≥0)(x+m)2=n(n≥0)公式法：x=（b2-4ac≥0）导入新知\n3.分解因式的方法有那些?（1）提取公因式法:（2）公式法:【思考】下面的方程如何使解答简单呢？am+bm+cm=m(a+b+c).a²-b²=(a+b)(a-b),a²±2ab+b²=(a±b)².x2+25x=0.导入新知（3）十字相乘法:\n2.会应用因式分解法解一元二次方程并解决有关问题.3.会灵活选择合适的方法解一元二次方程，并能解决相关问题.素养目标1.理解一元二次方程因式分解法的概念.\n根据物理学规律，如果把一个物体从地面10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度（单位：m）为提示：设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0m，即【思考】根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？（精确到0.01s）探究新知因式分解法的概念知识点\n解：配方法公式法解：a=4.9，b=－10，c=0.b2－4ac=(－10)2－0=100探究新知\n因式分解如果a·b=0，那么a=0或b=0.或降次，化为两个一次方程解两个一次方程，得出原方程的根探究新知这种解法是不是很简单？\n可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解法叫做因式分解法．【思考】以上解方程10x-4.9x2=0的方法是如何使二次方程降为一次的？①②x(10-4.9x)=0x=0或10-4.9x=0探究新知\n1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;2.关键是熟练掌握因式分解的方法;3.理论依据是“ab=0,则a=0或b=0”.探究新知【提示】\n探究新知归纳总结分解因式法解一元二次方程的步骤是:2.将方程左边因式分解为A×B；3.根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程；4.分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.1.将方程右边化为等于0的形式；\n解：（1）因式分解，得于是得x－2＝0或x＋1=0,x1=2，x2=－1.(2)移项、合并同类项，得因式分解，得(2x＋1)(2x－1)=0.于是得2x＋1=0或2x－1=0,(x－2)(x＋1)=0.4x2-1=0x1=，x2=-.探究新知例1解下列方程：（1）x(x-2)+x-2=0（2）5x2-2x-=x2-2x+素养考点1因式分解法解一元二次方程\n方法点拨右化零　　左分解两因式　　各求解一.因式分解法简记歌诀：二.选择解一元二次方程的技巧：1.开平方法、配方法适用于能化为完全平方形式的方程.2.因式分解法适用于能化为两个因式之和等于0的形式的方程.3.配方法、公式法适用于所有一元二次方程.探究新知\n解下列方程：解：因式分解，得（1）x2+x=0x(x+1)=0.于是得x=0或x+1=0，x1=0,x2=－1.解：因式分解，得（2）x2-2x=0x（x-2）=0于是得x=0或x-2=0x1=0，x2=2巩固练习\n解：将方程化为因式分解，得x2－2x+1=0.(x－1)(x－1)=0.于是得x－1=0或x－1=0，x1=x2=1.解：因式分解，得(2x+11)(2x－11)=0.于是得2x+11=0或2x－11=0，x1=-5.5，x2=5.5.巩固练习（3）（4）\n解：将方程化为因式分解，得6x2－x－2=0.(3x－2)(2x+1)=0.有3x－2=0或2x+1=0，解：将方程化为因式分解，得(x－4)2－(5－2x)2=0.(x－4－5+2x)(x－4+5－2x)=0.(3x－9)(1－x)=0.有3x－9=0或1－x=0，x1=3,x2=1.x1=，x2=-巩固练习（5）（6）\n例2用适当方法解下列方程：(2)x2－6x－19＝0；(3)3x2＝4x＋1;(4)y2－15＝2y；(5)5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0；(6)4(3x＋1)2＝25(x－2)2.灵活选择方法解一元二次方程素养考点2思路点拨：四种方法的选择顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法．探究新知\n(2)x2－6x－19＝0；探究新知解：(1)(1－x)2＝3，∴(x－1)2＝3，x－1＝±.∴x1＝1＋，x2＝1－.(2)移项，得x2－6x＝19.配方，得x2－6x＋(－3)2＝19＋(－3)2.∴(x－3)2＝28.∴x－3＝±2.∴x1＝3＋2，x2＝3－2.\n(3)移项，得3x2－4x－1＝0.∵a＝3，b＝－4，c＝－1，(4)移项，得y2－2y－15＝0.把方程左边因式分解，得(y－5)(y＋3)＝0.∴y－5＝0或y＋3＝0.∴y1＝5，y2＝－3.(3)3x2＝4x＋1;(4)y2－15＝2y；探究新知\n(5)将方程左边因式分解，得(x－3)[5x－(x＋1)]＝0.∴(x－3)(4x－1)＝0.(6)移项，得4(3x＋1)2－25(x－2)2＝0.∴[2(3x＋1)]2－[5(x－2)]2＝0.∴[2(3x＋1)＋5(x－2)]·[2(3x＋1)－5(x－2)]＝0.∴(11x－8)(x＋12)＝0.(5)5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0；(6)4(3x＋1)2＝25(x－2)2.探究新知\n(1)x2－＝0；用适当的方法解下列方程：巩固练习\n解：原方程可变形为5(3x＋2)2－3x(3x＋2)＝0，∴(3x＋2)(15x＋10－3x)＝0.巩固练习(2)5(3x＋2)2＝3x(3x＋2)．\n1.已知x=2是关于x的一元二次方程kx²+（k²﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为．﹣3链接中考2.解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．解：2（x﹣3）=3x（x﹣3），移项得2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，因式分解得（x﹣3）（2﹣3x）=0，x﹣3=0或2﹣3x=0，解得：x1=3,x2=．\n1.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12.解：x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程无解.解：x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6,x2=-2.课堂检测基础巩固题\n2.小华在解一元二次方程x2－x＝0时，只得出一个根x＝1，则被漏掉的一个根是（）A．x＝4B．x＝3C．x＝2D．x＝0D课堂检测\n我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．①x2－3x＋1＝0；②(x－1)2＝3；③x2－3x＝0；④x2－2x＝4.我选择______________________课堂检测能力提升题\n解：答案不唯一．若选择①，①适合公式法，x2－3x＋1＝0，∵a＝1，b＝－3，c＝1，课堂检测①x2－3x＋1＝0；②(x－1)2＝3；③x2－3x＝0；④x2－2x＝4.\n②适合直接开平方法，∵(x－1)2＝3，课堂检测若选择②，①x2－3x＋1＝0；②(x－1)2＝3；③x2－3x＝0；④x2－2x＝4.\n③适合因式分解法，x2－3x＝0，因式分解，得x(x－3)＝0.解得x1＝0，x2＝3.若选择③，课堂检测①x2－3x＋1＝0；②(x－1)2＝3；③x2－3x＝0；④x2－2x＝4.\n④适合配方法，x2－2x＝4，x2－2x＋1＝4＋1＝5，即(x－1)2＝5.课堂检测①x2－3x＋1＝0；②(x－1)2＝3；③x2－3x＝0；④x2－2x＝4.若选择④，\n解方程：(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0.【点拨】把(x2＋3)看作一个整体来提公因式，再利用平方差公式，因式分解.解：设x2＋3＝y，则原方程化为y2－4y＝0.分解因式，得y(y－4)＝0，解得y＝0，或y＝4.①当y＝0时，x2＋3＝0，原方程无解；②当y＝4时，x2＋3＝4，即x2＝1.解得x＝±1.所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1.课堂检测拓广探索题\nax2+c=0====>ax2+bx=0====>ax2+bx+c=0====>因式分解法公式法（配方法）2.公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）3.方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法1.直接开平方法因式分解法课堂小结\n课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习