24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2直线和圆的位置关系（第3课时）人教版数学九年级上册\n同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？导入新知\n2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明.1.掌握切线长的定义及切线长定理.素养目标\n问题1上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？POBAO.PAB探究新知切线长定理及应用知识点1\nP1.切线长的定义：切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长．AO①切线是直线，不能度量.②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．2.切线长与切线的区别在哪里？探究新知\n问题2PA为☉O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B．OB是☉O的一条半径吗？PB是☉O的切线吗？（利用图形轴对称性解释）PA、PB有何关系？∠APO和∠BPO有何关系？O.PAB探究新知\nBPOA切线长定理过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.PA、PB分别切☉O于A、BPA=PB∠OPA=∠OPB几何语言:探究新知\nO.P已知，如图PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点.求证：PA=PB，∠APO=∠BPO.证明：∵PA切☉O于点A，∴OA⊥PA.同理可得OB⊥PB.∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），∴PA=PB，∠APO=∠BPO.推理验证AB探究新知\n想一想：若连接两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.OP垂直平分AB.证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点,∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线∴OP垂直平分AB.O.PABM探究新知\n想一想：若延长PO交⊙O于点C，连接CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.∴PC=PC.∴△PCA≌△PCB，∴AC=BC.CA=CBO.PABC探究新知\n例1已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切于点E、F、G、H.求证：AB+CD=AD+BC.·ABCDO证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切于点E、F、G、H，EFGH∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.∴AB+CD=AD+BC.切线长定理的应用素养考点1探究新知\nBPOAPA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3.（1）若AP=4,则OP=;（2）若∠BPA=60°,则OP=.56巩固练习\n例2为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径．分析：欲求半径OP，取圆的圆心为O，连OA、OP，由切线性质知△OPA为直角三角形，从而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半径．O切线长定理在生活中的应用素养考点2探究新知BC\n在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，OQ解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.即铁环的半径为探究新知BC\n如图,小敏家厨房一墙角处有一自来水管,装修时为了美观,准备用木板从AB处将水管密封起来,互相垂直的两墙面与水管分别相切于D、E两点,经测量发现AD和BE的长恰是方程x2-25x+150=0的两根(单位:cm),则该自来水管的半径为cm(AD<BE).解析：设圆心为O,连接OD、OE,x2-25x+150=0,(x-10)(x-15)=0,解得x1=10,x2=15,∵AD<BE,∴AD=10,BE=15,设半径为r,又AB=AD+BE=25,∴(AD+r)2+(BE+r)2=AB2,∴(10+r)2+(15+r)2=252,解得r=5.巩固练习5\n小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？探究新知三角形的内切圆及作法知识点2\n问题1:如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？OOOO最大的圆与三角形三边都相切探究新知\n三角形角平分线的这个性质，你还记得吗？问题2:如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？(1)如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？(2)在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r.三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等.圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.为什么呢？探究新知\n已知：△ABC.求作：和△ABC的各边都相切的圆.MND作法：1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.3.以O为圆心，OD为半径作圆O.☉O就是所求的圆.探究新知做一做ACB\n1.与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.BACI☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形.探究新知\n例已知:△ABC(如图),(1)求作△ABC的内切圆☉I(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,写出作法,不要求证明).(2)在题(1)已经作好的图中,若∠BAC=88°,求∠BIC的度数.三角形的内切圆的作法素养考点探究新知\n解析：(1)①以A为圆心、任意长为半径画圆,分别交AC、AB于点H、G;②分别以H、G为圆心,以大于HG的长为半径画圆,两圆相交于K点,连接AK,则AK即为∠BAC的平分线;③同理作出∠ABC的平分线BF,交AK于点I,则I即为△ABC内切圆的圆心;④过I作IM⊥BC于M,以I为圆心,IM为半径画圆,则☉I即为所求圆.探究新知\n(2)∵∠BAC=88°,∴∠ABC+∠ACB=180°-88°=92°,∴∠IBC+∠ICB=(∠ABC+∠ACB)=×92°=46°,∴∠BIC=180°-46°=134°.探究新知\n△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积.（提示：设内心为O，连接OA、OB、OC.）解：设AB=c，BC=a，AC=b.CAB·ODMNrrr则S△OBC=ar,S△OBA=cr,S△OAC=br,S△ABC=S△OBC+S△OBA+S△OAC=ar+cr+br=r（a+c+b）=lr.巩固练习\nBACI问题1如图，☉I是△ABC的内切圆，那么线段IA，IB,IC有什么特点？线段IA，IB,IC分别是∠A，∠B，∠C的平分线.探究新知三角形的内心的定义和性质知识点3\nBACI问题2如图，分别过点作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为E、F，G，那么线段IE、IF、IG之间有什么关系？EFGIE=IF=IG探究新知\n三角形内心的性质三角形的内心在三角形的角平分线上.三角形的内心到三角形的三边距离相等.BACIEFGIA，IB，IC是△ABC的角平分线，IE=IF=IG.探究新知\n例如图，△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数.解：连接IB，IC.ABCI∵点I是△ABC的内心，∴IB，IC分别是∠B，∠C的平分线，在△IBC中，利用三角形内心的性质求角度素养考点探究新知\n如图,在△ABC中,点P是△ABC的内心,则∠PBC+∠PCA+∠PAB=.解析：∵点P是△ABC的内心,∴PB平分∠ABC,PA平分∠BAC,PC平分∠ACB,∴∠PBC+∠PCA+∠PAB=90°.巩固练习90°\n名称确定方法图形性质外心：三角形外接圆的圆心内心：三角形内切圆的圆心三角形三边中垂线的交点1.OA=OB=OC;2.外心不一定在三角形的内部三角形三条角平分线的交点1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB;3.内心在三角形内部ABOABCO探究新知\n1.如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB=3，则光盘的直径是（　　）A．3B．C．6D．解析：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理知AB=AC=3，OA平分∠BAC，∴∠OAB=60°，在Rt△ABO中，OB=ABtan∠OAB=，∴光盘的直径为．3DOC3链接中考\n2.如图，菱形ABOC的边AB、AC分别与⊙O相切于点D、E．若点D是AB的中点，则∠DOE=．解析：连接OA，∵四边形ABOC是菱形，∴BA=BO，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，∵点D是AB的中点，∴直线OD是线段AB的垂直平分线，∴OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，∴∠AOD=∠AOB=30°，同理，∠AOE=30°，∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°．60°链接中考\nA2.如图，已知点O是△ABC的内心，且∠ABC=60°,∠ACB=80°,则∠BOC=.1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4,∠APB=40°,则∠APO=,PB=.BPOA第1题BCO第2题20°4110°课堂检测基础巩固题\n（3）若∠BIC=100°，则∠A=度.（2）若∠A=80°，则∠BIC=度.130203.如图，在△ABC中，点I是内心，（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，∠BIC=_____.ABCI（4）试探索：∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？120°课堂检测\n如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.证明：连接OD，∵AC切⊙O于点D，∴OD⊥AC，∴∠ODC=∠B=90°.在Rt△OCD和Rt△OCB中，OD＝OB，OC＝OC,∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL），∴∠DOC=∠BOC.∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，∵∠DOB=∠ODE+∠OED，∴∠BOC=∠OED，∴DE∥OC.课堂检测能力提升题\n如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DI＝DB.证明：连接BI.∵I是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI.∵∠CBD=∠CAD，∴∠BAD=∠CBD.∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD，∴∠BID=∠IBD，∴BD=ID．课堂检测拓广探索题\n切线长切线长定理作用图形的轴对称性原理提供了证线段和角相等的新方法辅助线分别连接圆心和切点；连接两切点；连接圆心和圆外一点三角形内切圆运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程有关概念内心概念及性质应用课堂小结\n课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习