24.2圆的基本性质第3课时圆心角、弧、弦、弦心距间关系1．结合图形了解圆心角的概念，掌握圆心角的相关性质；2．能够发现圆心角、弧、弦、弦心距间关系，并会初步运用这些关系解决有关问题(重点，难点)．一、情境导入人类为了获得健康和长寿，经过不断的实践探索，到十九世纪末才提出“生命在于运动”的口号．要健康长寿，更重要的是每天要摄取均衡的营养包括蛋白质、糖类、脂肪、维生素、矿物质、纤维和水．根据中国营养学会公布的“中国居民平衡膳食指南”，每人每日摄取量如图．你能求出各扇形的圆心角吗？二、合作探究探究点：圆心角定理及其推论【类型一】圆心角与弧的关系如图，已知：AB是⊙O的直径，C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE的大小是(　　)A．40°B．60°C．80°D．120°解析：∵C、D是的三等分点，∴＝＝，∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE.∵∠AOE＝60°，∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝×(180°－60°)＝40°，∴∠COE＝80°.故选C.方法总结：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】圆心角与弦、弦心距间的关系如图所示，在⊙O中，＝，∠B＝70°，则∠A＝________．解析：由＝，得这两条弧所对的弦AB＝AC，所以∠B＝∠C.因为∠B＝70°，所以∠C＝70°.由三角形的内角和定理可得∠A的度数为40°.故答案为40°.方法总结：在应用弧、弦、圆心角之间的关系定理时，注意根据具体的需要选择有关部分，本题只需由两弧相等，得到两弦相等就可以了．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型三】圆心角定理及其推论的应用如图所示，已知AB是⊙O的直径，M，N分别是OA，OB的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N.求证：＝.解析：根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，可先证明它们所对的圆心角相等或它们所对的弦相等．证法1：如图所示，连接OC，OD，则OC＝OD.∵OA＝OB，又M，N分别是OA，OB的中点，∴OM＝ON.又∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠CMO＝∠DNO＝90°.∴Rt△CMO≌Rt△DNO，∴∠1＝∠2，∴＝.证法2：如图①所示，分别延长CM，DN交⊙O于点E，F.∵OA＝OB，OM＝OA，ON＝OB，∴OM＝ON.又∵OM⊥CE，ON⊥DF，∴CE＝DF，∴＝.又∵＝，＝，∴＝.图①　　图② 证法3：如图②所示，连接AC，BD.由证法1，知CM＝DN.又∵AM＝BN，∠AMC＝∠BND＝90°，∴Rt△AMC≌Rt△BND.∴AC＝BD，∴＝.方法归纳：在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中的某一组量相等，通常是转化成证明另外三组量中的某一组量相等．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题三、板书设计1．圆心角定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．2．圆心角定理推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对的弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等．教学过程中，向学生强调弧、弦、圆心角及弦心距之间的关系，引导学生探究时，要鼓励学生大胆猜想，使其体会数学中转化思想的魅力之处，进而培养学生的逻辑思维能力.