导入新课讲授新课当堂练习课堂小结24.2圆的基本性质第2课时垂径分弦第24章圆 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）学习目标 视频引入导入新课 赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你知道如何求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 垂径定理及其推论一合作探究问题1在纸上任意画一个⊙O，沿⊙O的一条直径将⊙O折叠，你发现了什么？O圆是轴对称图形，对称轴是圆所在平面内任意一条过圆心的直线.讲授新课 问题2已知：如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，垂足为E.求证：AE=EB，（或）.·OABDEC 证明：连接OA，OB，则OA=OB.△OAB为等腰三角形，所以底边AB上的高OE所在直线CD是AB的垂直平分线，因此点A与点B关于直线CD对称.同理，如果点P是⊙O上任意一点，过点P作直线CD的垂线，与⊙O相交于点Q，则点P与点Q关于直线CD也对称，所以⊙O关于直线CD对称.当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，AE与BE重合，点A与点B重合，与重合，与重合.因此AE=EB，，.P·OABDECQ 垂径定理·OABCDE垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE，⌒⌒AC=BC，AD=BD.⌒⌒推导格式：温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.归纳总结 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE 垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABODCABOC归纳总结 如果直径平分弦（不是直径），那么该直径垂直于这条弦，且平分这条弦所对的两条弧吗？思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.(1)CD⊥AB吗？为什么？(2)·OABCDEAC与BC相等吗？AD与BD相等吗？为什么？⌒⌒⌒⌒解：(1)CD⊥AB，理由如下：连接AO，BO，如图，则AO=BO.又∵AE=BE，OE=OE，∴△AOE≌△BOE（SSS）.∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.(2)由垂径定理可得AC=BC，AD=BD.⌒⌒⌒⌒ 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.垂径定理的推论·OABCD特别说明：圆的两条直径是互相平分的.归纳总结 例1如图，⊙O的半径为5cm，弦AB为6cm，求圆心到弦AB的距离.·OABE解：连接OA，过圆心O作OE⊥AB，垂足为E，则又∵OA=5cm，∴在Rt△OEA中，有一垂径定理及其推论的计算二典例精析答：圆心到弦AB的距离是4cm.圆心到弦的距离叫做弦心距. 【变式题】如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm，OE=6cm，则AB=cm.·OABE解析：连接OA，如图.∵OE⊥AB，∴AB=2AE=2×8=16（cm）.16一∴ 例2如图，⊙O的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB于D，DC=2cm，求半径OC的长.·OABECD解：连接OA，∵CE⊥AB于D，∴.设OC=xcm，则OD=(x－2)cm，根据勾股定理，得解得x=5.即半径OC的长为5cm.x2=42+(x－2)2， 例3已知：⊙O中弦AB∥CD，求证：AC＝BD.⌒⌒.MCDABON证明：作直径MN⊥AB，如图.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则AM＝BM，CM＝DM，（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）∴AM－CM＝BM－DM，∴AC＝BD.⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒ 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.归纳总结 例4赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为37.4m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，求赵州桥主桥拱的半径.垂径定理的实际应用三 由垂径定理，得AD=1/2AB=18.7m，设⊙O的半径为R，在Rt△AOD中，AO=R，OD=R-7.2，AD=18.7.由勾股定理，得ABOCD解：如图，过桥拱所在圆的圆心O作AB的垂线，交弧AB于点C，交AB于点D，则CD=7.2m.解得R≈27.9.即赵州桥主桥拱的半径约为27.9m.∴R2=(R-7.2)2+18.72. 练一练：如图a、b,一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿.CDCBOADOAB图a图b2cm或12cm 在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：弓形中重要数量关系ABCDOhrdd+h=rOABC·归纳总结1/2a 1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为.5cm2.已知⊙O的直径AB=20cm,∠BAC=30°,则弦AC=.3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm，EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为.14cm或2cm当堂练习 4.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：∵∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB，∴AE=AD，∴四边形ADOE为正方形.∴ 5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关系？为什么？证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD..ACDBOE方法总结：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法． 6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.解:连接OC，如图.●OCDEF┗设这段弯路的半径为Rm，则OF=(R-90)m.∵OE⊥CD，∴CF=1/2CD=300(m).根据勾股定理，得∴R=545.∴这段弯路的半径约为545m.∴ 拓展提升：7.如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围.3cm≤OP≤5cmBAOP 垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦（不是直径）;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”）垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧两种辅助线：连半径；作弦心距构造直角三角形利用勾股定理计算或建立方程基本图形及变式图形课堂小结