导入新课讲授新课当堂练习课堂小结24.3圆周角第1课时圆周角定理及推论第24章圆 学习目标1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.2.理解圆周角与圆心角的关系，并能运用圆周角定理解决简单的几何问题.（重点、难点）3.理解并掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.（难点） 问题1什么是圆心角？顶点在圆心的角叫圆心角.问题2圆心角的度数与它所对弧的度数是什么关系？圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.复习引入.OBC导入新课 像∠A这样，顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角.圆周角的定义一一个三角形，当它内接于一个圆时，它的任一个角都与圆有着特殊的位置关系.观察图中的∠A，它有什么特点？观察与思考OABC讲授新课 ·COAB·COB·COBAA·COAB·COB·COBAA判断：下列各图中的∠BAC是否为圆周角，并简述理由.顶点不在圆上顶点A不在圆上边AC没有和圆相交√√√ 如图，连接BO，CO，得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系?圆周角定理及其推论二观察与思考你能证明吗？OACB 圆心O在∠BAC的内部圆心O在∠BAC的一边上圆心O在∠BAC的外部下面给出猜想的证明：以⊙O上任一点A为顶点的圆周角，按圆心O与圆周角的位置关系，存在以下三种情况： (1)圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）OA=OC∠A=∠C∠BOC=∠A+∠C OABDOACDOABCD(2)圆心O在∠BAC的内部OACDOABD OABDCOADCOABDCOADOABDCOADOABD(3)圆心O在∠BAC的外部 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.圆周角定理OA1A2A3知识要点ACB 如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=35º.(1)∠BOC=°，理由是.；(2)∠BDC=°，理由是.7035同弧所对的圆周角相等一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半练一练 典例精析例1如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于()A．25°B．30°C．35°D．50°解析：∵∠AOC＝130°，∠AOB＝180°，∴∠BOC＝50°，∴∠D＝25°.故选A.A 圆周角定理的推论三问题1如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A，D是圆上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由.D∴∠BAC=∠BDC.解：相等.理由如下：合作探究∵ 问题2如图，若∠A与∠B相等吗？解：相等.想一想：反过来，如果∠A=∠B，那么成立吗？DABOCEF 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.圆周角定理推论1几何语言知识要点DABOCEF 完成下列填空：∠1=.∠2=.∠3=.∠5=.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线，∠4∠8∠6∠7ABCDO1((((((((2345678练一练 思考：如图，AC是⊙O的直径，则∠ADC=，∠ABC=.90°90°推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.OACBD 例2如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P，∠ACD=60°，∠ADC=70°.求∠APC的度数..OADCPB解：连接BC，如图，则∠ACB=90°，∠DCB=∠ACB－∠ACD=90°－60°=30°.又∵∠BAD=∠DCB=30°，∴∠APC=∠BAD+∠ADC=30°+70°=100°.方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题． 如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为()A．30°B．45°C．60°D．75°解析：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.故选C.练一练CB.ADCO 例3如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.(1)求DC的长；B解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°.在Rt△ADC中，.OADC (2)若∠ADC的平分线交⊙O于B，求AB、BC的长．B.OADC解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°.∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB.又∵∠ACB=∠ADB，∠BAC=∠BDC.∴∠BAC=∠ACB,∴AB=BC，∴△ABC为等腰直角三角形.∴方法总结：解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，一般考虑构造直角三角形来求解. 1.判断（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等（）（2）相等的弦所对的圆周角也相等（）（3）同弦所对的圆周角相等（）√××当堂练习 2.已知△ABC的三个顶点在⊙O上，∠BAC=50°，∠ABC=47°，则∠AOB=．BACO166° 3.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径是.CABO2 4.如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为.方法总结：解决圆周角和圆心角的计算和证明问题，要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角，然后再灵活运用圆周角定理.30° 5.如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于. ∴∠ACB=2∠BAC.证明：6.如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.求证：∠ACB=2∠BAC.∠AOB=2∠BOC，∵AOBC 7.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交BC于D，交AC于E.(1)BD与CD的大小有什么关系?为什么?ABCDE∵AB是圆的直径，点D在圆上，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC.又∵AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，∴BD=CD.解：BD=CD.理由如下：连接AD，如图.O (2)求证：.证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD.∴ABCDEO 8.已知⊙O的弦AB长等于⊙O的半径，求此弦AB所对的圆周角的度数．解：分下面两种情况：如图①所示，连接OA，OB，在⊙O上任取一点C，连接CA，CB.∵AB＝OA＝OB，∴∠AOB＝60°，∴∠ACB＝1/2∠AOB＝30°.即弦AB所对的圆周角等于30°. 如图②所示，连接OA，OB，在劣弧上任取一点D，连接AD，OD，BD，如图.则∠BAD＝1/2∠BOD，∠ABD＝1/2∠AOD.∴∠BAD＋∠ABD＝1/2(∠BOD＋∠AOD)＝1/2∠AOB.∵AB的长等于⊙O的半径，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB＝60°.∴∠BAD＋∠ABD＝30°，∠ADB＝180°－(∠BAD＋∠ABD)＝150°，即弦AB所对的圆周角为150°.综上所述，弦AB所对的圆周角的度数是30°或150°. 课堂小结圆周角定义定理推论1.顶点在圆上；2.两边都与圆相交的角二者必须同时具备一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.