导入新课讲授新课当堂练习课堂小结24.4直线与圆的位置关系第2课时切线的性质和判定第24章圆 学习目标1.会判定一条直线是否是圆的切线，并会过圆上一点作圆的切线.2.理解并掌握圆的切线的性质定理及判定定理.（重点）3.能运用圆的切线的性质定理和判定定理解决问题.（难点） 导入新课情境引入转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？都是沿切线方向飞出的.生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为圆的切线呢？学完这节课，你就都会明白. 如图，如果直线l是⊙O的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？如何证明？AlO切线的性质定理一观察与思考讲授新课 证明：当直线l与⊙O相切时，切点为A，连接OA.这时，如在直线l上任取一个不同于点A的点B，连接OB，因为点B在⊙O外，所以OB>OA.这就是说，OA是点O到直线l上任一点连线中最短的，故OA⊥l.于是我们可以得到：切线性质圆的切线垂直于经过切点的半径.BAOl AlO∵直线l是⊙O的切线，A是切点，∴直线l⊥OA.切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．应用格式：知识要点 如图，在⊙O中，OA、OB为半径，直线MN与⊙O相切于点B，若∠ABN=30°，则∠AOB=.60°练一练ABNOM 典例精析例1如图，点O是∠BAC的边AC上的一点，⊙O与边AB相切于点D，与线段AO相交于点E，若点P是⊙O上一点，且∠EPD＝35°，则∠BAC的度数为()A．20°B．35°C．55°D．70°解析：连接OD，如图.∵⊙O与边AB相切于点D，∴OD⊥AD，∴∠ADO＝90°.∵∠EPD＝35°，∴∠EOD＝2∠EPD＝70°，∴∠BAC＝90°－∠EOD＝20°.故选A.A 例2如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC.(1)求证：△ACB≌△APO；OABPC在△ACB和△APO中，∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，∴△ACB≌△APO.证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，又∵∠P＝30°，OA，OB为半径，∴∠AOB＝60°，△AOB为等边三角形．∴AB＝AO，∠ABO＝60°.又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.∴∠OAP＝90°. (2)若AP＝，求⊙O的半径．∴AO＝1，即⊙O的半径为1.解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP＝，OABPC ABC已知⊙O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作⊙O的切线？作法：1.连接OA.2.过点A作直线BC⊥OA.则直线BC即为所作.切线的判定定理二O观察与思考为什么直线BC即为所作呢？ 经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.∵OA为⊙O的半径，BC⊥OA于A，∴BC为⊙O的切线.ABC切线判定定理应用格式O知识要点 利用切线判定定理，判断下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明理由.O.OO(1)(2)(3)(1)不是，因为没有垂直.(2)，(3)不是，因为没有经过半径的外端点.练一练“经过半径的外端点”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线. 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线.2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切.3.判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.lAlOlrd知识要点 例3如图,∠ABC=45°，AB是☉O的直径，AB=AC.求证：AC是☉O的切线.提示：直线AC经过半径的一端，因此只要证AB垂直于AC即可.证明：∵AB=AC，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°.∴∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°.∵AB是☉O的直径，∴AC是☉O的切线.AOCB 例4已知：直线AB经过☉O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是☉O的切线.OBAC提示：由于AB过☉O上的点C，所以连接OC，只要证明OC⊥AB即可.证明：连接OC，如图.∵OA＝OB，CA＝CB，∴△OAB是等腰三角形，OC⊥AB.∵OC是⊙O的半径,∴AB是⊙O的切线. 例5如图，△ABC中，AB＝AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于E.求证：AC是⊙O的切线．BOCEA提示：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是⊙O的半径就可以了，而OE是⊙O的半径，因此只需要证明OF=OE.F 证明：连接OE，OA，过O作OF⊥AC，如图.∵⊙O与AB相切于E，∴OE⊥AB.又∵△ABC中，AB＝AC，O是BC的中点．∴AO平分∠BAC.FBOCEA∴OE＝OF.∴AC是⊙O的切线．又∵OE⊥AB，OF⊥AC.∵OE为⊙O半径，∴OF为⊙O半径. 如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB.求证：直线AB是⊙O的切线.CBAO如图，OA＝OB=5，AB＝8，⊙O的直径为6.求证：直线AB是⊙O的切线.CBAO通过对比，你能得出什么结论？作垂直连接方法归纳 (1)有交点，连半径，证垂直(如：例4)；(2)无交点，作垂直，证半径(如：例5).◑证切线时辅助线的添加方法◑有切线时常用辅助线添加方法见切点，连半径，得垂直(如：例1).要点归纳 当堂练习1.判断下列命题是否正确.(1)经过半径外端的直线是圆的切线.（）(2)垂直于半径的直线是圆的切线.（）(3)过直径的外端点并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.（）(4)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.（）(5)过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.（）××√√√ 3.如图，在☉O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．45°2.如图，A是☉O上一点，且AO=5，PO=13，AP=12，则PA与☉O的位置关系是.APO第2题图相切CPO第3题图DABC 4.如图，☉O切PB于点B，PB=4，PA=2，则☉O的半径多少？OPBA解：连接OB，如图.则∠OBP=90°.设⊙O的半径为r，则OA=OB=r，OP=OA+PA=r+2.在Rt△OBP中，OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2.解得r=3，即⊙O的半径为3. OABCEP5.如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，PE⊥AC于E.求证：PE是⊙O的切线.证明：连接OP，如图.∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，∴∠OPB=∠C.∴OP∥AC.∵PE⊥AC，∴PE⊥OP.∴PE为⊙O的切线. 6.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切.证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，如图.∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON，∴CD与⊙O相切．MN 7.已知：△ABC内接于☉O，过点A作直线EF.(1)如图1，AB为直径，要使EF为☉O的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）：①_________；②_____________.(2)如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是☉O的切线.BA⊥EF∠CAE=∠BAFEOAFEOBCBC图1图2 证明：如图，连接AO并延长交☉O于D，连接CD，则AD为☉O的直径.∴∠D+∠DAC=90°，∵=，∴∠D=∠B.又∵∠CAE=∠B，∴∠D=∠CAE，∴∠CAE+∠DAC=90°，即AD⊥EF，∴EF是☉O的切线.AFEOBC图2D 课堂小结切线的判定方法定义法数量关系法判定定理1个公共点，则相切d=r，则相切经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的性质证切线时常用辅助线添加方法：①有公共点，连半径，证垂直；②无公共点，作垂直，证半径.有1个公共点d=r性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径有切线时常用辅助线添加方法：见切线，连切点，得垂直.