导入新课讲授新课当堂练习课堂小结24.5三角形的内切圆第24章圆 学习目标1.了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念.2.掌握三角形内心的性质并能加以应用.(重点)3.学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想.(难点) 导入新课小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？情境引入 讲授新课三角形内切圆的相关概念一若要使裁下的圆形最大，则它与三角形三边应有怎样的位置关系？观察与思考最大的圆与三角形三边都相切 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.BACI☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形.知识要点 三角形内切圆的作法及内心的性质二观察与思考问题1如图，若⊙O与∠ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？圆心O在∠ABC的平分线上.NCOMAB COAB问题2如图，如果⊙O与△ABC的内角∠ABC的两边相切，且与内角∠ACB的两边也相切，那么此⊙O的圆心在什么位置？圆心O在∠ABC与∠ACB这两个角的平分线的交点上.线段AO，BO，CO分别是∠BAC，∠ABC，∠ACB的平分线.FED线段线段OD，OE，OF的长度相等，等于三角形内切圆的半径. 作法：1.作∠ABC，∠ACB的平分线BE，CF，设它们交于点O.2.过点O作OD⊥BC于点D.3.以点O为圆心、OD为半径作☉O.则☉O即为所作.问题3现在你知道如何画△ABC的内切圆了吗？COABFED 三角形内心的性质：三角形的内心在三角形的角平分线上.三角形的内心到三角形的三边距离相等.知识要点COABFED 例1如图，△ABC中，∠ABC=43°，∠ACB=61°，点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数.解：连接IB，IC.ABCI∵点I是△ABC的内心，∴BI，CI分别是∠ABC，∠ACB的平分线.在△IBC中，典例精析 例2如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱.圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径.该木模可以抽象为如下所示的几何图形. CABrOD解：如图，设圆O切AB于点D，连接OA、OB、OD，如图.∵圆O是△ABC的内切圆,∴AO、BO是∠BAC、∠ABC的平分线，△ABC是等边三角形,∴∠OAB=∠OBA=30°.∵OD⊥AB，AB=3cm，∴AD=BD=AB=1.5(cm).∴OD=AD·tan30°=(cm)答:圆柱底面圆的半径为cm. 例3△ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？BACEDFO 解:设AF=xcm，则AE=xcm.∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)，BF=BD=AB-AF=13-x(cm).由BD+CD=BC，可得(13-x)+(9-x)=14，∴AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm.方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程求解.解得x=4.ACEDFOB 比一比名称确定方法图形性质外心：三角形外接圆的圆心内心：三角形内切圆的圆心三角形三边垂直平分线的交点1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的内部．三角形三条角平分线的交点1.点O到三边的距离相等2.AO、BO、CO分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB3.内心在三角形内部．ABOABCO CABOD1.求边长为6cm的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径.解：如图，由题意可知BC=6cm,∠ABC=60°，OD⊥BC，BO平分∠ABC.∴∠OBD=30°，BD=3cm,△OBD为直角三角形.内切圆半径外接圆半径练一练 变式：求边长为a的等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R的比.sin∠OBD=sin30°=CABRrOD ABCODEFABCDEFO2.设△ABC的面积为S，周长为L，△ABC内切圆的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？ ABCOcDEr3.如图，直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边为c，则其内切圆的半径r为___________（以含a、b、c的代数式表示r）.解析：如图，过点O分别作AC，BC，AB的垂线，垂足分别为D，E，F.F则AD=AC-DC=b-r,BE=BC-CE=a-r,因为AF=AD，BF=BE，AF+BF=c,所以a-r+b-r=c,所以ba （3）若∠BIC=100°，则∠A=度.当堂练习（2）若∠A=80°，则∠BIC=度.130201.如图，在△ABC中，点I是内心，（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，∠BIC=_____.ABCI（4）试探索：∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？120° 2.《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是____步．6解析：先由勾股定理得出斜边的长，再根据公式求出该直角三角形内切圆的半径，即可得内切圆直径的长度. O3.如图，⊙O与△ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是（　　）A．点O是△ABC的内心B．点O是△ABC的外心C．△ABC是正三角形D．△ABC是等腰三角形解析：过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，连接OK、OD、OF，根据垂径定理和已知求出DM=KQ=FN，根据勾股定理求出OM=ON=OQ，即点O是△ABC的内心.故选Ａ.Ａ 4.如图，△ABC中，I是内心，∠BAC的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DI＝DB.证明：连接BI.∵I是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI.∵∠CBD=∠CAD，∴∠BAD=∠CBD，∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD，∴∠BID=∠IBD，∴BD=ID． 拓展提升：直角三角形的两直角边分别是3cm，4cm，试问：（1）它的外接圆半径是cm；内切圆半径是cm.（2）若移动点O的位置，使☉O保持与△ABC的边AC、BC都相切，求☉O的半径r的取值范围.2.51 解：如图，设☉O与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D，连接OB、OD，则四边形BODC为正方形.∴OB＝BC＝3，∴半径r的取值范围为0＜r≤3. 课堂小结三角形内切圆运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程求解.有关概念内心概念及性质应用