导入新课讲授新课当堂练习课堂小结24.6正多边形与圆第2课时正多边形的性质第24章圆 学习目标1.理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念.（重点）2.掌握正多边形的性质并能加以应用.（难点） 导入新课问题1什么是正多边形？问题2如何作出正多边形？各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.将一个圆n等分，就可以作出这个圆的内接或外切正n边形.复习引入 讲授新课正多边形的性质一OABCD问题1以正方形为例，根据对称轴的性质，你能得出什么结论？EFGH∵EF是边AB、CD的垂直平分线，∴OA=OB，OD=OC.∵GH是边AD、BC的垂直平分线，∴OA=OD；OB=OC.∴OA=OB=OC=OD.∴正方形ABCD有一个以点O为圆心的外接圆.观察与思考 OABCDEFGH∵AC是∠DAB和∠DCB的平分线，BD是∠ABC和∠ADC的平分线，∴OE=OH=OF=OG.∴正方形ABCD还有一个以点O为圆心的内切圆. 所有的正多边形是不是都有一个外接圆和一个内切圆？任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.想一想： OABCDEFGHRr正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心.外接圆的半径叫做正多边形的半径.内切圆的半径叫做正多边形的边心距.知识要点正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.正多边形的每个中心角都等于. 正多边形边数内角中心角外角346n60°120°120°90°90°90°120°60°60°正多边形的外角=中心角完成下面的表格：练一练 如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：①它的中心角等于度；②OCBC(填＞、＜或＝）；③△OBC是三角形；④圆内接正六边形的面积是△OBC面积的倍.⑤圆内接正n边形面积公式：________________________.CDOBEFAP60=等边6正多边形的有关计算二探究归纳S正多边形=周长×边心距/2 例1有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的面积(精确到0.1m2).CDOEFAP抽象成典例精析B 利用勾股定理，可得边心距亭子地基的面积4mOABCDEFMr解：过点O作OM⊥BC于M.易得△OBC为正三角形.∴BC=OB=4. 例2求边长为a的正六边形的周长和面积.解：如图，过正六边形的中心O作OG⊥BC，垂足为G，连接OB，OC，设该正六边形的周长和面积分别为l和S.FABCDEOG∵多边形ABCDEF为正六边形，∴∠BOC=60°，△BOC是等边三角形.∴l=6BC=6a.在△BOC中，有∴ (1)正n边形的中心角怎么计算？CDOBEFAP(2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间有什么关系？aRr(3)边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？其中l为正n边形的周长.想一想： 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度数是（）A．60°B．45°C．36°D．30°·ABCDEO练一练C 2.作边心距，构造直角三角形.1.连半径，得中心角；OABCDEFRMr·圆内接正多边形的辅助线方法归纳O边心距r边长一半半径RBM中心角一半 画一画：画出下列各正多边形的对称轴，看看能发现什么结果？ 正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，且这些对称轴都通过正多边形的中心.如果n为偶数，那么它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.要点归纳 例3如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线．(1)在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；(2)两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积． (1)在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；解：连接BF，CE，则有BF∥AG，CE∥AG．理由如下：∵ABCDEFGH是正八边形，∴它的内角都为135°．又∵HA=HG，∴∠HAG=22.5°.∴∠GAB=135°-∠HAG=112.5°．∵正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称，即∠BAG+∠ABF=180°，故BF∥AG．同理，可得CE∥BF，∴CE∥AG. PNMQ解：由题意可知∠PHA=∠PAH=45°，∴∠P=90°，同理可得∠Q=∠M=90°，∴四边形PQMN是矩形．∵∠PHA=∠PAH=∠QBC=∠QCB=∠MDE=∠MED=45°，AH=BC=DE，∴△PAH≌△QCB≌△MDE，∴PA=QB=QC=MD．即PQ=QM，故四边形PQMN是正方形．(2)两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积． 在Rt△PAH中，∵∠PAH=45°，AB=2，PNMQ故S四边形PQMN= 2.若正多边形的边心距与半径的比为1∶2，则这个正多边形的边数是.当堂练习正多边形边数半径边长边心距周长面积34161.填表：2128422123 4.要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要cm.也就是要找这个正方形外接圆的直径3.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为度.（不取近似值） 5.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积．解：∵正方形的面积等于4，则半径为∴⊙O的面积为∴正方形的边长AB=2. ABCDEFP6.如图，正六边形ABCDEF的边长为，点P为六边形内任一点，则点P到各边距离之和是多少？∴点P到各边距离之和=3BD=3×6=18．解：过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连接BD，作CG⊥BD于G.GHK∴P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和，均为HK的长.∵六边形ABCDEF是正六边形∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°，∴∠CBD=∠BDC=30°，BD∥HK，且BD=HK.∵CG⊥BD，∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=6.G 拓广探索7.如图,M,N分别是☉O内接正多边形AB,BC上的点,且BM=CN.(1)图①中∠MON=_______;图②中∠MON=;图③中∠MON=;(2)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.ABCDEABCD.ABCMNMNMNOOO90°72°120°图①图②图③ 课堂小结正多边形的性质正多边形的有关概念正多边形的有关计算添加辅助线的方法：连半径，作边心距中心半径边心距中心角正多边形的对称性