2．5.4　三角形的内切圆1．了解有关三角形的内切圆和三角形内心的概念；(重点)2．能运用三角形内切圆、内心的知识进行有关的计算．(难点)一、情境导入新农村建设中，张村计划在一块三角形场地中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．二、合作探究探究点一：三角形的内切圆的相关计算【类型一】利用三角形的内切圆求角的度数如图，⊙O内切于△ABC，切点D，E，F分别在BC，AB，AC上．已知∠B＝45°，∠C＝65°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于(　　)A．40°B．55°C．65°D．70°解析：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠B＝45°，∠C＝65°，∴∠A＝70°.∵⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，∴∠OEA＝∠OFA＝90°，∴∠EOF＝360°－∠A－∠OEA－∠OFA＝110°，∴∠EDF＝∠EOF＝55°.故选B.方法总结：解决本题的关键是利用三角形内切圆的性质，求出∠EOF的度数．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】求三角形的内切圆的半径如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．,解析：如图，连接OD、OC.由等边三角形的内切圆的圆心即为底边上的中线，底边上的高和顶角的平分线的交点，所以∠OCD＝30°，OD⊥BC，所以CD＝BC，OC＝2OD.又由BC＝2，则CD＝1.在Rt△OCD中，根据勾股定理得OD2＋CD2＝OC2，所以OD2＋12＝(2OD)2，所以OD＝.即⊙O的半径为.故答案为.方法总结：等边三角形的内切圆的圆心为等边三角形中线、高、角平分线的交点，它到等边三角形三边的距离相等．而在解直角三角形内切圆的相关问题时，经常要用到“圆心到切线的距离等于半径”这条性质．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题【类型三】求三角形的周长如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB、BC分别相切于点D、E，过劣弧(不包括端点D、E)上任一点P作⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N.若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为(　　)A．rB.rC．2rD.r解析：连接OD，OE，∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC.又∵MD，MP都是⊙O的切线，且D、P是切点，∴MD＝MP，同理可得NP＝NE，∴CRt△MBN＝MB＋BN＋NM＝MB＋BN＋NP＋PM＝MB＋MD＋BN＋NE＝BD＋BE＝2r.故选C.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题探究点二：三角形的内心的相关证明与计算如图，已知E是△ABC的内心，∠A的平分线交BC于点F，且与△ABC的外接圆相交于点D.(1)求证：BD＝ED；(2)若AD＝8cm，DF∶FA＝1∶3.求DE的长．解析：(1)求证BD＝ED，可利用等角对等边证明．只要证明∠DBE＝∠DEB即可；(2)要求DE的长，可转化为求BD的长．利用△BDF∽△ADB，用比例式即可求解．(1)证明：∵E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD.又∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.∴∠CBE＋∠CBD＝∠ABE＋∠BAD.即∠DBE＝∠DEB，故BD＝ED；(2)解：∵AD＝8cm，DF∶FA＝1∶3，∴DF＝AD＝×8＝2(cm)．∵∠CBD＝∠BAD，∠D＝∠D，∴△BDF∽△ADB，∴＝.∴BD2＝AD·DF＝8×2＝16，∴BD＝4cm，又∵,BD＝DE，∴DE＝4cm.方法总结：(1)充分利用内心的意义以及三角形的外角、同弧所对的圆周角来证明角相等，最后利用等角对等边证明线段相等；(2)用相似三角形得比例式，由比例式求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计教学过程中，注重引导学生理解和掌握三角形的内切圆和内心的概念和性质，并能进行灵活的运用．明确三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，到三角形三边的距离相等.