2.5直线和圆的位置关系第2章圆导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时切线的判定2.5.2圆的切线,学习目标1.理解和掌握圆的切线的判定定理；(重点)2.能运用圆的切线的判定定理进行相关的计算和证明．(难点),导入新课情境引入转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？都是沿切线方向飞出的.生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？学完这节课，你就都会明白.,讲授新课切线的判定一问题1如图，OA是⊙O的半径，经过OA的外端点A，作一条直线l⊥OA，圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有怎样的位置关系？合作探究ll,圆心O到直线l的距离等于半径OA.由圆的切线定义可知直线l与圆O相切.ll,经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.OA为⊙O的半径BC⊥OA于ABC为⊙O的切线ＯABC切线的判定定理应用格式知识要点,下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？O.AO.ABAO(1)(2)(3)(1)不是，因为没有垂直.(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.注意判一判,判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.lAlOlrd要点归纳,用三角尺过圆上一点画圆的切线.做一做（2）过点P沿着三角尺的另一条直角边画直线l，则l就是所要画的切线.如图所示.如下图所示，已知⊙O上一点P，过点P画⊙O的切线．画法：（1）连接OP，将三角尺的直角顶点放在点P处，并使一直角边与半径OP重合；为什么画出来的直线l是⊙O的切线呢？,例1已知：如图所示，AD是圆O的直径，直线BC经过点D，并且AB=AC，∠BAD=∠CAD.求证：直线BC是圆O的切线.D典例精析证明因为AB=AC，∠BAD=∠CAD，所以AD⊥BC.又因为OD是圆O的半径，且BC经过点D，所以直线BC是圆O的切线.,例1变式已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.OBAC分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可.证明：连接OC(如图).∵OA＝OB,CA＝CB,∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.∴AB⊥OC.∵OC是⊙O的半径,∴AB是⊙O的切线.,1.如图,△ABC中，AB＝AC，O是BC中点，E为⊙O上一点，且OE⊥AB.求证：AC是⊙O的切线．BOCEA针对训练,证明：连接OA,过O作OF⊥AC.∵△ABC中，AB＝AC，O是BC中点．∴AO平分∠BAC，FBOCEA∴OE＝OF.∵OE是⊙O半径，OF＝OE，OF⊥AC.∴AC是⊙O的切线．又OE⊥AB，OF⊥AC.,(1)证明：连接OC，BC.∵FC＝CB，∴∠DAC＝∠BAC.∵CD⊥AF，∴∠ADC＝90°.∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.∴∠ACD＝∠B.2.如图，AB是⊙O的直径，点F、C是⊙O上的两点，且AF＝FC＝CB，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D.（1）求证：CD是⊙O的切线；︵︵︵︵︵,∵BO＝OC，∴∠OCB＝∠OBC.∵∠ACO＋∠OCB＝90°，∠OCB＝∠OBC，∠ACD＝∠ABC，∴∠ACO＋∠ACD＝90°，即OC⊥CD.又∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；,(2)若CD＝，求⊙O的半径．(2)解：∵AF＝FC＝CB，∴∠DAC＝∠BAC＝30°.∵CD⊥AF，CD＝，∴AC＝.在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AC＝，∴BC＝4，AB＝8，∴⊙O的半径为4.︵︵︵,(1)已明确直线和圆有公共点，连结圆心和公共点，即半径，再证直线与半径垂直.简记“有交点，连半径,证垂直”;(2)不明确直线和圆有公共点，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径.简记“无交点，作垂直,证半径”.方法归纳证切线时辅助线的添加方法例1例2,1.判断下列命题是否正确.⑴经过半径外端的直线是圆的切线.（）⑵垂直于半径的直线是圆的切线.（）⑶过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.（）⑷和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.（）⑸过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.（）当堂练习××√√√,2.如图所示，A是☉O上一点，且AO=5,PO=13,AP=12,则PA与☉O的位置关系是.APO相切,3.如图，O为正方形ABCD的对角线AC上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC，又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON，∴CD与⊙O相切．,证明：连接OP.∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，∴∠OPB=∠C.∴OP∥AC.∵PE⊥AC，∴PE⊥OP.∴PE为☉O的切线.4.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的☉O交边BC于P，PE⊥AC于E.求证:PE是☉O的切线.OABCEP,5.已知：△ABC内接于☉O，过点A作直线EF.（1）如图1，AB为直径，要使EF为☉O的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）：①_________；②_____________.（2）如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是☉O的切线.BA⊥EF∠CAE=∠BAFEOAFEOBCBC图1图2,证明：连接AO并延长交☉O于D,连接CD,则AD为☉O的直径.∴∠D+∠DAC=90°,∵∠D与∠B同对,∴∠D=∠B,又∵∠CAE=∠B,∴∠D=∠CAE,∴∠DAC+∠EAC=90°,∴EF是☉O的切线.AFEOBC图2D,6.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于点D．P为AB延长线上一点，∠PCD=2∠BAC．（1）求证：CP为⊙O的切线；（1）证明：连接OC，如图1，∵OA=OC，∴∠BAC=∠ACO，∴∠POC=2∠BAC.∵∠PCD=2∠BAC，∠POC=2∠BAC，∴∠POC=∠PCD，∵CD⊥AB于点D，∴∠ODC=90°．∴∠POC+∠OCD=90°．∴∠PCD+∠OCD=90°．∴∠OCP=90°．∴半径OC⊥CP．∴CP为⊙O的切线．,（2）若BP=1，CP=．①求⊙O的半径；（2）解：①设⊙O的半径为r．在Rt△OCP中，OC2+CP2=OP2，∵BP=1，CP=．∴r2+（）2=（r+1）2，解得r=2．∴⊙O的半径为2．,②若M为AC上一动点，求OM+DM的最小值．②∵∠OCP=∠ODC=90°，∠COD=∠POC，∴△COP∽△DOC，∴，即，∴CD=，如图，作点O点关于AC的对称点E，连接AE，EC，ED，ED交AC于点M，此时OM+DM的值最小，为ED，∵AC垂直平分OE，∴AE=AO，∴∠OAC=∠EAC，,∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠EAC=∠OCA，∴AE∥OC，∵OA=AE=OC=2，∴四边形AOCE是菱形，∴EC=2，∠ECD=90°，在Rt△ECD中，EC=2，CD=，∴ED2=CE2+CD2=．∵OM+DM的最小值为．,课堂小结切线的判定方法定义法数量关系法判定定理1个公共点，则相切d=r，则相切经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.证切线时常用辅助线添加方法：①有公共点，连半径，证垂直；②无公共点，作垂直，证半径.