2.5直线和圆的位置关系第2章圆导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时切线的性质2.5.2圆的切线,学习目标1.理解和掌握圆的切线的性质；(重点)2.能运用圆的切线的性质进行相关的计算和证明．(难点),导入新课复习引入1.什么是圆的切线?2.判断一条直线是圆的切线有哪些方法?直线与圆只有一个公共点，那么这条直线叫作圆的切线.①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理．即经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线,讲授新课切线的性质一问题1如果直线l是⊙O的切线，A为切点，那么切线l和半径OA垂直吗？AlO合作探究,大家可以先用量角器量量看.两者成90°角，也就是说切线l与半径OA垂直.,推导与验证反证法证明这个结论假设l与OA不垂直则过点O作OM⊥l,垂足为M根据垂线段最短，得OM＜OA即圆心O到直线l的距离小于半径，∴直线l与⊙O相交这与已知“l是⊙O的切线”矛盾∴假设不成立，即l⊥OA.OMAlO,AlO∵直线l是⊙O的切线，A是切点，∴直线l⊥OA.切线性质圆的切线垂直于经过切点的半径．应用格式要点归纳,例1如图.AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D.求证:AC平分∠DAB.证明:连接OC,∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD,∴OC//AD,∴∠ACO=∠CAD.∵OC=OA.∴∠CAO=∠ACO.∴∠CAD=∠CAO.故AC平分∠DAB.∵CD是⊙O的切线,ABOCD,方法总结利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题.ABOCD,l1OBAl2例2证明：经过直径两端点的切线互相平行.已知：如图，AB是圆O的直径，l1,l2分别是经过点A，B的切线.求证：l1//l2.证明：∵AB是圆O的直径，l1是过点A的切线，∴l1⊥OA.同理l2⊥OB.∴l1⊥AB，且l2⊥AB.∴l1//l2.,切线的性质与判定的综合应用二例3如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连接DE．（1）若AD=DB，OC=5，求切线AC的长；（1）解：连接CD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，即CD⊥AB，∵AD=DB，OC=5，∴CD是AB的垂直平分线，∴AC=BC=2OC=10；,（2）求证：ED是⊙O的切线．（2）证明：连接OD，如图所示，∵∠ADC=90°，E为AC的中点，∴DE=EC=AC，∴∠1=∠2，∵OD=OC，∴∠3=∠4，∵AC切⊙O于点C，∴AC⊥OC，∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，即DE⊥OD，∴ED是⊙O的切线．,1.已知如图,在△ABC中，AC与⊙O相切于点C，（BC过圆心），∠BAC=63°，则∠ABC的度数为_________.当堂练习27°,2.如图：在⊙O中，OA、OB为半径，直线MN与⊙O相切于点B，若∠ABN=30°，则∠AOB=.3.如图AB为⊙O的直径，D为AB延长线上一点，DC与⊙O相切于点C，∠DAC=30°，若⊙O的半径长1cm，则CD=cm.60°,4.如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC.(1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，∴∠OAP＝90°.又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，又OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．∴AB＝AO，∠ABO＝60°.又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.在△ACB和△APO中，∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，∴△ACB≌△APO；(1)求证：△ACB≌△APO；,(2)解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP＝，∴AO＝1，即⊙O的半径为1.(2)若AP＝，求⊙O的半径．,5.如图，已知AB是圆O的直径，AP是圆O的切线，A是切点，BP与圆O交于点C．（1）若AB=2，∠P=30°，求AP、AC、CP的长.解：（1）如图1，连接AC．∵AB是直径，∴∠ACB=90°．又∵AB是⊙O的直径，AP是切线，∴∠BAP=90°．∴∠BAC=∠P=30°．在Rt△PAB中，AB=2，∠P=30°，∴BP=2AB=2×2=4．BC=AB=1，由勾股定理，得AC=，AP=．则CP=BP-BC=4-1=3；,（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是圆O的切线．（2）如图，连接OC、AC．∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA=90°，又∵∠ACP=180°-∠BCA=90°．在Rt△APC中，D为AP的中点，∴CD=AP．∴∠4=∠3．又∵OC=OA，∴∠1=∠2．∵∠2+∠4=∠PAB=90°，∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，即OC⊥CD．∴直线CD是⊙O的切线．,6.如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF；（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由．（1）证明：连接OC，如图所示：∵AB是⊙O直径，∴∠BCA=90°，∵OF∥BC，∴∠AEO=90°，∠1=∠2，∠B=∠3，∴OF⊥AC，∵OC=OB，∴∠B=∠1，∴∠3=∠2，,在△OAF和△OCF中，OA＝OC，∠3＝∠2，OF＝OF，∴△OAF≌△OCF（SAS），∴∠OAF=∠OCF，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCF=90°，∴∠OAF=90°，∴FA⊥OA，∴AF是⊙O的切线；,（2）若⊙O的半径为4，AF=3，求AC的长．（2）∵⊙O的半径为4，AF=3，∠OAF=90°，∵FA⊥OA，OF⊥AC，∴AC=2AE，△OAF的面积=AF•OA=OF•AE，∴3×4=5×AE，解得：AE=，∴AC=2AE=．,课堂小结切线的性质有1个公共点d=r圆的切线垂直于经过切点的半径有切线时常用辅助线添加方法：见切线，连切点，得垂直.性质定理