第2章圆小结与复习要点梳理考点讲练课堂小结课后作业,·一.与圆有关的概念1.圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.2.弦:连接圆上任意两点的线段.3.直径:经过圆心的弦是圆的直径，直径是最长的弦.4.劣弧:小于半圆周的圆弧.5.优弧:大于半圆周的圆弧.要点梳理,6.等弧:在同圆或等圆中，能够互相重合的弧.7.圆心角:顶点在圆心，角的两边与圆相交.8.圆周角:顶点在圆上，角的两边与圆相交.[注意](1)确定圆的要素：圆心决定位置，半径决定大小．(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.·,9.外接圆、内接正多边形:将一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得到的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆.10.三角形的外接圆外心：三角形的外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.[注意](1)三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点．(2)一个三角形的外接圆是唯一的.,11.三角形的内切圆内心：三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.[注意](1)三角形的内心是三角形三条角平分线的交点．(2)一个三角形的内切圆是唯一的.,12.正多边形的相关概念(1)中心：正多变形外接圆和内切圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心.(2)半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径.(3)边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距.(4)中心角：正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.,二、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆的半径r比较得到．设☉O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有点P在圆内；d＜r点P在圆上；d=r点P在圆外.d＞r[注意]点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系．,2.直线与圆的位置关系设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离直线与圆的位置关系图形d与r的关系公共点个数公共点名称直线名称2个交点割线1个切点切线0个相离相切相交d＞rd=rd＜r,三、圆的基本性质1.圆的对称性圆是轴对称图形，它的任意一条_______所在的直线都是它的对称轴.直径2.有关圆心角、弧、弦的性质.(1)在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等.(2)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.,(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.三、有关定理及其推论1.垂径定理(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的.[注意]①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧．两条弧,2.圆周角定理(1)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.(3)推论2：90°的圆周角所对的弦是直径.[注意]“同弧”指“在一个圆中的同一段弧”；“等弧”指“在同圆或等圆中相等的弧”；“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．(4)推论3：圆的内接四边形的对角互补.(2)推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对弧相等.,3.与切线相关的定理(1)判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.(2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.(3)切线长定理：经过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.,四、圆中的计算问题1.弧长公式半径为R的圆中，n°圆心角所对的弧长l=________.2.扇形面积公式半径为R，圆心角为n°的扇形面积S=____________.或3.弓形面积公式OO弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积,4.圆内接正多边形的计算(1)正n边形的中心角为(2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间的关系(3)边长a，边心距r的正n边形的面积为其中l为正n边形的周长.,考点一圆的有关概念及性质例1如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠CAO等于（　　）A．30°B．40°C．50°D．60°B,例2在图中，BC是☉O的直径，AD⊥BC,若∠D=36°,则∠BAD的度数是（）A.72°B.54°C.45°D.36°ABCDB,例3☉O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分别是方程x2－6x＋8＝0的两根，则点A与☉O的位置关系是（）A．点A在☉O内部B．点A在☉O上C．点A在☉O外部D．点A不在☉O上解析：此题需先计算出一元二次方程x2－6x＋8＝0的两个根，然后再根据R与d的之间的关系判断出点A与☉O的关系.D,1.如图所示，在圆O中弦AB∥CD，若∠ABC=50°，则∠BOD等于（　　）A．50°B．40°C．100°D．80°C针对训练,135°2.如图a，四边形ABCD为☉O的内接正方形，点P为劣弧BC上的任意一点（不与B,C重合），则∠BPC的度数是.CDBAPO图a,考点二垂径定理例4工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为mm.8mmAB8CDO解析设圆心为O，连接AO,作出过点O的弓形高CD，垂足为D,可知AO=5mm,OD=3mm,利用勾股定理进行计算，AD=4mm，所以AB=8mm.,AOBCEF图a3.如图a，点C是扇形OAB上的AB的任意一点，OA=2,连接AC,BC,过点O作OE⊥AC,OF⊥BC，垂足分别为E,F，连接EF，则EF的长度等于.（针对训练,ABCDPO图bD’P4.如图b,AB是⊙O的直径，且AB=2，C,D是同一半圆上的两点，并且AC与BD的度数分别是96°和36°，动点P是AB上的任意一点，则PC+PD的最小值是.（（,例5如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的☉O交AC于点D，连接BD.考点三切线的判定与性质,解：（1）∵AB是直径，∴∠ADB=90°.∵AD=3，BD=4，∴AB=5.∵∠CDB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ADB∽△ABC，∵即∴BC=（1）若AD=3，BD=4，求边BC的长.,又∵∠OBD+∠DBC=90°，∠C+∠DBC=90°，∴∠C=∠OBD，∴∠BDO=∠CDE.∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠BDC=90°，即∠BDE+∠CDE=90°.∴∠BDE+∠BDO=90°，即∠ODE=90°.∴ED与☉O相切.（2）证明：连接OD，在Rt△BDC中，∵E是BC的中点，∴CE=DE，∴∠C=∠CDE.又OD=OB，∴∠ODB=∠OBD.（2）取BC的中点E，连接ED，试证明ED与☉O相切.,例6（多解题）如图，直线AB,CD相交于点O，∠AOD=30°,半径为1cm的☉P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm,如果☉P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么秒钟后☉P与直线CD相切.4或8解析：根本题应分为两种情况：(1)☉P在直线CD下面与直线CD相切；(2)☉P在直线CD上面与直线CD相切.ABDCPP2P1E,[解析]连接BD，则在Rt△BCD中，BE＝DE，利用角的互余证明∠C＝∠EDC.例7如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的☉O交AC于点D，过点D的切线交BC于E.（1）求证：BC=2DE.,解：（1）证明：连接BD，∵AB为直径，∠ABC=90°，∴BE切☉O于点B.又∵DE切☉O于点D，∴DE=BE，∴∠EBD=∠EDB.∵∠ADB=90°，∴∠EBD+∠C=90°，∠BDE+∠CDE=90°.∴∠C=∠CDE，DE=CE.∴BC=BE+CE=2DE.,（2）∵DE=2，∴BC=2DE=4.在Rt△ABC中，∴AB=BC•=在Rt△ABC中，又∵△ABD∽△ACB，∴即∴（2）若tanC=,DE=2，求AD的长.,B北60°30°AC例8如图，已知灯塔A的周围7海里的范围内有暗礁，一艘渔轮在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，向东航行8海里到达C处后，又测得该灯塔在北偏东30°的方向，如果渔轮不改变航向，继续向东航行，有没有触礁的危险？请通过计算说明理由.（参考数据=1.732）,解析：灯塔A的周围7海里都是暗礁，即表示以A为圆心，7海里为半径的圆中，都是暗礁.渔轮是否会触礁，关键是看渔轮与圆心A之间的距离d的大小关系.B北60°30°AC,B北60°30°ACD解：如图，作AD垂直于BC于D，根据题意，得BC=8.设AD为x.∵∠ABC=30°，∴AB=2x.BD=x.∵∠ACD=90°-30°=60°，∴AD=CD×tan60°，CD=.BC=BD-CD==8.解得x=即渔船继续往东行驶，有触礁的危险.,5.如图b，线段AB是直径，点D是☉O上一点，∠CDB=20°,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E,则∠E等于.OCABED图b50°针对训练,6.如图，O为正方形对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的☉O与BC相切于点M.(1)求证：CD与☉O相切；ABCDOM(1)证明：过点O作ON⊥CD于N.连接OM∵BC与☉O相切于点M,∴∠OMC=90°,∵四边形ABCD是正方形，点O在AC上.∴AC是∠BCD的角平分线，∴ON=OM，∴CD与☉O相切.N,ABCDOM(2)解:∵正方形ABCD的边长为1,AC=.设☉O的半径为r,则OC=.又易知△OMC是等腰直角三角形，∴OC=因此有，解得.（2）若正方形ABCD的边长为1，求☉O的半径.,7.已知：如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，过上的一点C作⊙O的切线，交PA于D，交PB于E.(1)若∠P＝70°，求∠DOE的度数；解：(1)连接OA、OB、OC，∵⊙O分别切PA、PB、DE于点A、B、C，∴OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE,AD＝CD,BE＝CE，∴OD平分∠AOC，OE平分∠BOC.∴∠DOE＝∠AOB.∵∠P＋∠AOB＝180°，∠P＝70°，∴∠DOE＝55°.,(2)∵⊙O分别切PA、PB、DE于A、B、C，∴AD＝CD，BE＝CE.∴△PDE的周长＝PD＋PE＋DE＝PD＋AD＋BE＋PE＝2PA＝8(cm)(2)若PA＝4cm，求△PDE的周长．,例9如图，四边形OABC为菱形，点B、C在以点O为圆心的圆上,OA=1,∠AOC=120°，∠1=∠2，求扇形OEF的面积？解：∵四边形OABC为菱形∴OC=OA=1∵∠AOC=120°，∠1=∠2∴∠FOE=120°又∵点C在以点O为圆心的圆上考点四弧长与扇形面积,8.一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为.40cm针对训练,9.如图所示，在正方形ABCD内有一条折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，已知AE=6，EF=8，FC=10，求图中阴影部分的面积.,解：将线段FC平移到直线AE上，此时点F与点E重合，点C到达点C'的位置.连接AC，如图所示.根据平移的方法可知，四边形EFCC'是矩形.∴AC'=AE+EC'=AE+FC=16，CC'=EF=8.在Rt△AC'C中，得∴正方形ABCD外接圆的半径为∴正方形ABCD的边长为,例10若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的面积为______.考点五圆内接正多边形的有关计算,10.如图，正六边形ABCDEF内接于半径为5的⊙O，四边形EFGH是正方形．⑴求正方形EFGH的面积；解：⑴∵正六边形的边长与其半径相等，∴EF=OF=5.∵四边形EFGH是正方形，∴FG=EF=5，∴正方形EFGH的面积是25.针对训练,⑵∵正六边形的边长与其半径相等，∴∠OFE=600.∴正方形的内角是900，∴∠OFG=∠OFE+∠EFG=600+900=1500.由⑴得OF=FG，∴∠OGF=（1800-∠OFG）=（1800-1500）=150.⑵连接OF、OG，求∠OGF的度数．,考点六与圆有关的作图·abcda例8如何解决“破镜重圆”的问题：O·,例9如何作圆内接正五边形怎么作？·OE72°BADC（1）用量角器作72°的中心角，得圆的五等分点；（2）依次连接各等分点，得圆的内接正五边形.,圆圆的性质与圆有关的位置关系弧长与扇形面积的计算圆的对称性圆是中心对称图形垂径定理点与圆的位置关系直线与圆的位置的关系切线长定理课堂小结圆的概念圆心角、圆周角、弧与弦之间的关系圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是它的对称轴切线三角形的内切圆正多边形与圆作图