26.2二次函数的图象与性质 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 第2课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质学习目标：1.会画二次函数y=a(x-h)2的图象.（重点） 2.掌握二次函数y=a(x-h)2的性质.(难点） 3.比较函数y=ax2与y=a(x-h)2的联系. 自主学习一、知识链接1.将直线y=2x向右平移1个单位，新直线的表达式为____________________.2.抛物线y=ax2+k(a＜0，k＞0)的开口向______,对称轴为____________,顶点坐标为___________.将抛物线y=ax2向_____平移______个单位，可得到抛物线y=ax2+k.思考：二次函数y=a(x-h)2的图象能否由y=ax2的图象通过平移得到?二、新知预习在如图①所示的直角坐标系中，画出函数y=2x2和y=2(x-1)2的图象．（1）列表:x···-2-1012···y=2x2······y=2(x-1)2······图①（2）描点、连线，画出这两个函数的图象．观察根据所画出的图象，在下表中填出这两个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．x开口方向对称轴顶点坐标y=2x2y=2(x-1)2思考这两个函数的图象之间有什么关系？概括（1）通过观察、分析，可以发现：函数y＝2（x－1）2与y＝2x2的图象，开口方向相同，但对称轴和顶点坐标不同．函数y＝2（x－1）2的图象可以看作是将函数y＝2x2的图象向_____平移_____个单位得到的．它的对称轴是直线_____，顶点坐标是（_____，_____）．（2）可以由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2（x－1）2的性质：当______时，函数值随x的增大而减小；当_____时，函数值随x的增大而增大；当_____时，函数取得最______值，最______值y＝______． 合作探究一、要点探究探究点1：二次函数y=a(x-h)2的图象和性质图②问题在图②所示的坐标系中画出二次函数，的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.想一想通过上述例子，函数y=a(x-h)2的性质是什么？【要点归纳】二次函数y=a(x-h)2(≠0)的性质当a＞0时，抛物线开口方向向上，对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h，0)，当x=h时，有最小值为0.当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.当a＜0时，抛物线开口方向向下，对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h，0)，当x=h时，有最大值为0.当x＜h时，y随x的增大而增大；x＞h时，y随x的增大而减小.图③【典例精析】例1已知二次函数y＝（x﹣1）2.（1）完成下表；x…-10123…y＝（x﹣1）2……（2）在图③所示的坐标系中描点，画出该二次函数的图象．（3）写出该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；（4）当x取何值时，y随x的增大而增大？（5）若3≤x≤5，求y的取值范围；想一想：若-1≤x≤5，求x的取值范围；（6）若抛物线上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如果x1＜x2＜1，试比较y1与y2的大小． 探究点2：二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的关系问题在图②中画出y=-x2的图象，比较二次函数，y=-x2，的图象，说一说他们之间有什么关系.【要点归纳】二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的关系y=ax2向右平移h（h>0）个单位得到y=a(x-h)2；y=ax2向左平移h（h>0）个单位得到y=a(x+h)2.左右平移规律：括号内左加右减，括号外不变.【典例精析】例2将抛物线y=x2向左平移2个单位后，得到的新抛物线的表达式是（　　）A．y＝(x+2)2B．y=x2+2C．y=(x−2)2D．y=x2−2【针对训练】由抛物线y=x2平移得到抛物线y=（x-3）2，则下列平移方式可行的是（　　）A．向上平移3个单位B．向下平移3个单位B．向左平移3个单位D．向右平移3个单位例3已知二次函数y=x2，将其图象向右平移，使图象过点（1，3），求平移后的抛物线的表达式.【针对训练】将抛物线向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为-2，且新抛物线经过点（1，-6），求的值．一、课堂小结二次函数y=a(x－h)2(a≠0)的图象和性质图象的特点a>0开口向_____，对称轴是_________，顶点坐标是_________.当x______时，y随x的增大而增大，当x______时，y随x的增大而减小a<0开口向_____，对称轴是_________，顶点坐标是_________.当x______时，y随x的增大而增大，当x______时，y随x的增大而减小平移规律括号内左加右减；括号外不变.即h_____0,向左平移，h____0，向右平移当堂检测 1.抛物线y=（x+1）2的对称轴是（　　）A．直线y=-1B．直线y=1C．直线x=-1D．直线x=12.已知二次函数y=-（x-3）2，那么这个二次函数的图象有（　　）A．最高点（3，0）B．最高点（-3，0）C．最低点（3，0）D．最低点（-3，0）3.把函数y=-3x2的图象向右平移2个单位，所得到的新函数的表达式是（　　）A．y=-3x2-2B．y=-3（x-2）2C．y=-3x2+2D．y=-3（x+2）24.已知函数y=-（x-2）2的图象上两点A（a，y1），B（1，y2），其中a＜1，则y1与y2的大小关系为（　　）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2D．无法判断5.抛物线y=a（x+h）2的顶点为（2，0），它的形状与y=3x2相同，但开口方向与之相反．（1）直接写出抛物线的表达式；（2）求抛物线与y轴的交点坐标．6.将y=x2图象先向右平移3个单位所得的函数记为y1．（1）写出y1的顶点坐标与函数表达式．（2）画出这个函数的大致图象，并利用图象判断:②当1≤x≤3时，求x的取值范围．①当-2≤x＜5时，求y1的取值范围；参考答案自主学习一、知识链接1.y=2(x-1)2.下y轴（0,k）上k二、新知预习解：（1）列表如下:x···-2-1012···y=2x2···82028···y=2(x-1)2···188202···（2）描点、连线，画出这两个函数的图象．观察x开口方向对称轴顶点坐标y=2x2向上y轴(0,0)y=2(x-1)2向上直线x=1(1,0)概括 （1）右1直线x=110（2）＜1＞1=1小小0合作探究一、要点探究探究点1：二次函数y=a(x-h)2的图象和性质问题解：二次函数，的图象如图②所示.图②图③二次函数的图象的开口向下，对称轴为直线x=-1,顶点坐标为（-1,0），二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x=1,顶点坐标为（1,0）.【典例精析】例1解：（1）填表如下：x…-10123…y＝（x﹣1）2…202…（2）描点，画出该二次函数图象如图③所示：（3）对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,0).（4）当x＞1时，y随x的增大而增大.（5）∵当x＞1时，y随x的增大而增大，当x=3时，y=2；当x=5时，y=8，∴当3≤x≤5时，y的取值范围为2≤y≤8.想一想∵当-1≤x≤5时，y的最小值为0，∴当-1≤x≤5时，y的取值范围是0≤y≤8.（6）∵当x＜1时，y随x的增大而减小，∴当x1＜x2＜1时，y1＞y2.探究点2：二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的关系问题解：如图所示.由图象可知，抛物线y=-x2向左平移一个单位，得到抛物线，抛物线y=-x2向右平移一个单位，得到抛物线. 【典例精析】例2A【针对训练】D例3解：由题意得平移后的抛物线的表达式为y=(x-h)2，其中h＞0.将点（1,3）代入，得3=（1-h）2，解得h=4或-2.∵h＞0，∴h=4.则平移后的抛物线的表达式为y=(x-4)2.【针对训练】：由题意得平移后的抛物线的表达式为y=a(x+2)2.将点（1，-6）代入得-6=9a,解得a=.二、课堂小结上直线x=h(h，0）＞h＜h下直线x=h(h，0）＜h＞h＜0＞0当堂检测1.C2.A3.B4.B5.解：（1）∵抛物线y=a（x+h）2的顶点为（2，0），∴-h=2，∴h=-2.∵抛物线y=a（x+h）2的形状与y=3x2的相同，开口方向相反，∴a=-3，则该抛物线的函数表达式是y=-3（x-2）2．（2）在函数y=-3（x-2）2中，令x=0，则y=-12，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，-12）．6.解：(1)函数y1的顶点坐标为（3,0），函数表达式为y=(x-3)2.(2)画函数图象略.①函数y1的对称轴为直线x=3,此时函数y1有最小值0.当1≤x≤3时，y1随x的增大而减小，则当x=1时，y1取得最大值，此时y1=4.所以当1≤x≤3时，0≤y1≤4.②当-2≤x＜5时，易知函数的最小值为0.在-2≤x＜3时，y1随x的增大而减小，则当x=-2时,y1有最大值，此时y1=25.当3＜x＜5时,y1随x的增大而增大，当x=5时，y1=4.综上可知，当-2≤x＜5时，y1的取值范围是0≤y1≤25.