26.2二次函数的图象与性质2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质第4课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质学习目标：1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.(难点）2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.（重点）自主学习一、知识链接1.填空：（1）x2+6x+10=（x+_____）2+___________;（2）x2-4x-6=（x-_____）2+___________;（3）3x2+8x-4=3（x+_____）2+___________;（4）x2-3x+1=（x-_____）2+___________.2.(1)抛物线y=(x-2)2+3的开口向________,对称轴为直线___________,顶点坐标为_________,当x=_____,二次函数y=(x-2)2+3有最_____值，为______.(2)抛物线y=-3(x+3)2+1的开口向________,对称轴为直线___________,顶点坐标为_________,当x_________时，y随x的增大而减小.思考：二次函数y=x2+2x+3的开口方向、对称轴、顶点坐标，如何确定呢？二、新知预习填空并完成练习1.说一说抛物线y=x2+2x+3并说出其开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性.（1）y=x2+2x+3=（x+_____）2+________;（2）抛物线y=x2+2x+3的开口向___________,对称轴为___________,顶点坐标为_________.当x_________时，y随x的增大而增大，当_________时，y随x的增大而减小.2.通过配方，说明二次函数y=-2x2+4x-1的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标.（1）y=-2x2+4x-1=-2（x2-_______）-1=-2(x2-2x+____-____)-1=-2(x-____)2+________.（2）抛物线y=-2x2+4x-1的开口向___________,对称轴为___________,顶点坐标为_________.（3）这个函数有最_____值（填“大”或“小”），其值为_________.【自主归纳】对于抛物线y=ax2+bx+c,可以先将抛物线通过_______，将其转化为y=a(x-h)2+k的形式，再确定抛物线的对称轴、顶点坐标及其他性质.练习：写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点（1）y=-x2+2x-5；（2）y=8x2-48x+30.合作探究一、要点探究探究点1：将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x－h)2+k 想一想（1）请将化成y=a(x－h)2+k的形式，并说一说配方的方法及步骤；（1）提出________系数，注意括号内的符号变化(2)括号内配成完全平方(3)化成y=a(x－h)2+k的形式（2）如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c(a≠0)化成顶点式y=a(x－h)2+k？【要点归纳】将一般式y=ax2+bx+c(a≠0)化成顶点式y=a(x－h)2+k，则y=a(x+_______)2+_________.练一练将下列二次函数的一般式用配方法化成顶点式y=a(x-h)2+k的形式，并指出其顶点坐标．（1）y=-3x2-2x+1；（2）y=x2-x+6．探究点2：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质说一说（1）抛物线的对称轴、顶点坐标；（2）求抛物线y=ax2+bx+c的对称轴、顶点坐标的一般步骤；（3）抛物线y=ax2+bx+c的对称轴、顶点坐标.【要点归纳】一般地，二次函数y=ax2+bx+c可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即y=ax2+bx+c=_________;因此，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是_____________;对称轴是直线______________;如果a>0，当x<_________时，y随x的增大而减小；当x>_________时，y随x的增大而增大.如果a<0，当x<________时，y随x的增大而增大；当x>_________时，y随x的增大而减小.【典例精析】例1已知二次函数y＝x2﹣6x+5．（1）将y＝x2﹣6x+5化成y=a(x-h)2+k的形式； （2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；（3）当x取何值时，y随x的增大而减小？探究点3：二次函数字母系数与图象的关系（拓展）问题二次函数的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空（填“＞”“＜”或“＝”）.①a10，b10，c10；②a20，b20，c20；③a30，b30，c30；④a40，b40，c40.【要点归纳】二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a，b，c的关系如下：①a＞0开口向上，a＜0开口向下；b=0对称轴为y轴；②a、b同号对称轴在y轴的左侧，a、b异号对称轴在y轴的右侧；③c=0图象经过原点；c＞0与y轴交于正半轴，c＜0与y轴交于负半轴.④当x=±1时，y=a±b+c,当x=±2时，y=4a±2b+c.【典例精析】例2二次函数y=-ax2+bx+c（a≠0）的图象如图①所示，则下列结论中，正确的是（　　）A．a＜0B．b＞0C．c＞-1D．4a+c＞2b图①图②【针对训练】已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图②所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③a-b+c＜0；④a+c＞0；其中正确的说法有（写出正确说法的序号）．一、课堂小结二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质顶点式y=_____________________图象和性质a＞0a＜0 顶点坐标：__________________对称轴：直线________________开口向____________开口向____________最_____值为________最_____值为________当x_______时，y随x的增大而增大，当x_________时，y随x的增大而减小当x_______时，y随x的增大而增大，当x_________时，y随x的增大而减小当堂检测1.抛物线y=x2+4x+7的对称轴是（　　）A．直线x=4B．直线x=-4C．直线x=2D．直线x=-22.二次函数y=x2-6x图象的顶点坐标为（　　）A．（3，0）B．（-3，-9）C．（3，-9）D．（0，-6）3.将抛物线y=x2-2x+1向下平移2个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的表达式是.4.二次函数y=-x2+4x+1的图象中，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是.5.将下列二次函数的一般式用配方法化成顶点式y=a(x-h)2+k的形式，并指出其开口方向、顶点坐标、对称轴及最值．（1）y=2-4x-x2；（2）y=x2-3x-4；（3）y=2x2-3x；（4）y=-x2+6x-7.5.已知抛物线y=2x2-12x+13.（1）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？（2）当x为何值时，y随x的增大而减小;（3）将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，请直接写出新抛物线的表达式.能力提升6.一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的大致图象是（　　） 参考答案自主学习一、知识链接1.(1)31(2)2(-10)(3)(4)32.(1)上x=2(2,3)2小3（2）下x=-3(-3,1)＞-3二、新知预习1.（1）12（2）上直线x=-1(-1,2)＞-1＜-12.（1）2x1111(2)下直线x=1(1,1)(3)大1【自主归纳】配方练习：解：（1）y=-x2+2x-5=-（x-1）2-4.开口向下，对称轴为直线x=1,顶点坐标为（1，-4）.（2）y=8x2-48x+30=8（x-3）2-42.开口向上，对称轴为直线x=3,顶点坐标为（3，-42）.合作探究探究点1：将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x－h)2+k想一想（1）669933二次项（2）y=ax²+bx+c=【要点归纳】练一练 解：（1）y=-3x2-2x+1==,则其顶点坐标为.（2）y=x2-x+6==，则其顶点坐标为（2,5）.探究点2：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质说一说解：（1）对称轴为直线x=3,顶点坐标为.（2）先将抛物线y=ax2+bx+c通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，再根据y=a(x-h)2+k的图象和性质，判断抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标和对称轴.（3）抛物线y=ax2+bx+c，易知其对称轴为直线，顶点坐标为.【要点归纳】【典例精析】例1解：（1）y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4；（2）二次函数的图象的对称轴是x＝3，顶点坐标是（3，﹣4）；（3）∵抛物线的开口向上，对称轴是x＝3，∴当x≤3时，y随x的增大而减小．探究点3：二次函数字母系数与图象的关系（拓展）问题①＞＞＞②＞＜=③＜=＞④＜＞＜例2D【针对训练】②④二、课堂小结上下小大＞＜＜＞当堂检测1.D2.C3.y=x2-24.x＞25.解：（1）y=-x2-4x+2=-（x+2）2+6，开口向下，对称轴为直线x=-2，顶点坐标为（-2，6），最大值为6. （2）y=x2-3x-4=（x-）2-，开口向上，对称轴为直线x=，顶点坐标为（，-），最小值为-.（3）y=2x2-3x=2（x-）2-，开口向上，对称轴为直线x=，顶点坐标为（，-），最小值为-.(4)y=-x2+6x-7=-（x-4）2+5，开口向下，对称轴为直线x=4，顶点坐标为（4，5），最大值为5.5.解：∵y=2x2-12x+13=2(x2-6x+9)-5=2(x-3)2-5，∴抛物线开口向上，顶点为(3，-5)，对称轴为直线x=3.（1）当x=3时，y有最小值，最小值为-5；（2）当x＜3时，y随x的增大而减小；（3）新抛物线的表达式为y=2(x-5)2-3．能力提升6.D