26.2二次函数的图象与性质2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质第5课时图形面积的最大值学习目标：1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.（难点）2.能应用二次函数的性质求出图形面积的最大值.（重点）自主学习一、知识链接用一段长为20m的篱笆围成一个矩形菜园，设AB=xm,用含x的代数式填空：（1）如图①，AD的长为_________m,矩形菜园的面积S=___________，x的取值范围为____________;（2）如图②，菜园中间用一道篱笆隔开，此时AD的长为_________m,矩形菜园的面积S=___________,x的取值范围为____________;（3）如图③，菜园的一面靠墙，此时AD的长为_________m,矩形菜园的面积S=___________.若可利用的墙的长度不限，则x的取值范围为____________;若可利用的墙的长度为8m,则x的取值范围为____________.图①图②图③二、自主预习填空并完成下列练习：求二次函数y=ax2+bx+c（x为任意实数）的最大（或小）值时，常用方法有两种：（1）将抛物线y=ax2+bx+c通过配方，转化为y=a(x-h)2+k的形式.若a＞0，则当x=_____时，y取最_____值,此时，y=__________;若a＜0，则当x=_____时，y取最______值,此时，y=__________.（2）运用公式法，若a＞0，则当x=时，y取得最_______值，此时y=_____________;若a＜0，则当x=时，y取得最_______值，此时y=_____________;练习1.求二次函数y=x2－6x－5的最大(或小）值，可先将其配方，可化为y=(x-_______)2+_________,则该函数有最_______值，其值为__________;2.求二次函数y=的最(大或小）值,可利用公式法，当x=________ 时，该函数有最_________值，其值为___________.合作探究一、要点探究探究点1：求二次函数的最大(或最小)值做一做1.在如图所示的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象，根据图象，回答问题:问题1（1）当x取任意实数时，二次函数在何时取得最大（或小）值？（2）当-3≤x≤1时，二次函数在何时取得最大值？做一做2.在如图所示的平面直角坐标系中，画出二次函数y=-x2-2x+3的图象，根据图象，回答问题：问题2（1）当x取任意实数时，二次函数y=-x2-2x+3在何时取得最大（或小）值？（2）当-3≤x≤4时，二次函数y=-x2-2x+3在何时取得最大值？ 【要点归纳】当自变量的范围有限制时，二次函数的最值可以根据以下步骤来确定：1.配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴.2.画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x的取值范围.3.判断，判断x的取值范围与对称轴的位置关系.根据二次函数的性质，确定当x取何值时函数有最大或最小值.然后根据x的值，求出函数的最值.【典例精析】例1求下列函数的最大值与最小值.（1）(-1≤x≤2）；(2)y=-100x2+100x+200(0≤x≤2）；（3）.探究点2：二次函数与几何图形面积的最值问题要用总长为40m的铁栏杆，围城一个矩形的花圃，怎样围，才能使围成的花圃的面积最大？解：设AB的长为xm,则BC的长为__________m,此时花圃的面积S=___________m2.易知x的取值范围为____________.S=___________=-（）2+_________,则当x=_________时，S取得最大值，此时最大面积为________m2.变式若花圃的一面靠墙（墙足够长），怎样围，能使围成的花圃的面积最大？解：设AB的长为xm,则BC的长为__________m,此时花圃的面积S=___________m2.易知x的取值范围为____________.S=___________=_____（）2+_________,则当x=_________时，S取得最大值，此时最大面积为________m2.想一想：（1）若可利用的墙的长度为24m，怎样围，能使围成的花圃的面积最大？（2）若可利用的墙的长度为16m，怎样围，能使围成的花圃的面积最大？【典例精析】例2如图所示，用一根长度为18米的原材料制作一个矩形窗户边框（即矩形ABFE和矩形DCFE），原材料刚好全部用完，设窗户边框AB长度为x米，窗户总面积为S平方米（注：窗户边框粗细忽略不计）．（1）求S与x之间的函数关系式；（2）若窗户边框AB的长度不少于2米，且边框AB的长度小于BC 的长度，求此时窗户总面积S的最大值和最小值．【针对训练】如图，有长24米的铁栏杆，一面利用墙（墙的最大长度为15米），围成中间隔有一道铁栏杆的长方形花圃．设花圃中垂直于墙AD的一边AB的长为米，花圃的总面积为平方米．（1）求与之间的函数关系式；（2）如果花圃的总面积为36平方米，求AB的长；（3）能否围成面积比45平方米更大的花圃？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．二、课堂小结求二次函数y=ax2+bx+c的最值两个方法（1）配方成y=a(x-h)2+h的形式；（2）公式法一个注意注意自变量的取值范围是否为全体实数，若不是，则需结合函数的增减性来判断图形面积的最大值问题一个关键依据常见几何图形的面积公式建立函数关系式一个注意最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定当堂检测1.二次函数y=（x+1）2-2的最小值是（　　）A．-2B．-1C．1D．22.二次函数y=-2x2-4x+3（x≤-2）的最大值为________.3.已知直角三角形的两直角边之和为8，则该三角形的面积的最大值是________.4.如图，将边长为40cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折成一个无盖的盒子．（纸板的厚度忽略不计）（1）若该无盖盒子的底面积为900cm2，求剪掉的正方形的边长；（2）求折成的无盖盒子的侧面积的最大值． 5.如图，某公司要建一个矩形的产品展示台，展示台的一边靠着长为9m的宣传版（这条边不能超出宣传版），另三边用总长为40m的红布粘贴在展示台边上．设垂直于宣传版的一边长为xm.（1）当展示台的面积为128m2时，求x的值；（2）设展示台的面积为ym2，求y的最大值．参考答案自主学习一、知识链接（1）（10-x）x(10-x)0＜x＜10（2）（10-x）x（10-x）0＜x＜（3）（20-2x）x(20-2x)0＜x＜106≤x＜10二、新知预习(1)h小kh大k(2)小大练习：1.3(-14)小-142.大合作探究一、要点探究探究点1：求二次函数的最大(或最小)值做一做1.解：如图①所示.（1）当x取任意实数时，二次函数在x=2时取得最小值，此时y=1.（2）由图象可知，当-3≤x≤1时，二次函数在x=-3处取得最大值，此时y=26. 图①图②2.解：如图②所示.（1）当x取任意实数时，二次函数y=-x2-2x+3在x=-1时取得最大值，此时y=4.（2）由图象可知，当-3≤x≤4时，二次函数y=-x2-2x+3在x=-1时取得最大值，此时y=4.【典例精析】例1解：（1）当x＜3时,y随x的增大而减小.∵-1≤x≤2，则当x=-1时，y取得最大值，此时y=6；当x=2时，y取得最小值，此时y=-9.(2)y=-100x2+100x+200=-100(x2-x+)+25+200=-100(x-)2+225.∵0≤x≤2，∴当x=时，y取得最大值，此时y=225.当x=2时，y取最小值，此时y=0.(3)∵-3≤x≤2,则当x=-2时，y取得最大值，此时y=5.当x=2时，y取得最小值，此时y=-3.探究点2：二次函数与几何图形面积的最值问题（20-x）x(20-x)0＜x＜20x(20-x)x-1010010100变式（40-2x）x(40-2x)0＜x＜20x(40-2x)-2x-1020010200想一想（1）解：由可利用的墙的长度为24m，可得40-2x≤24，则8≤x＜20.因为y=-2(x-10)2+200,∴当x=10时，y取得最大值，此时围成的花圃的最大面积为200m2.（2）解：由可利用的墙的长度为16m，可得40-2x≤16，则12≤x＜20.因为y=-2(x-10)2+200,∴当x＞10时，y随x的增大而减小，则当x=12时，y有最大值，此时围成的花圃的最大面积为192m2.【典例精析】例2解：（1）由题意可得S=x•=-x2+9x.（2）由题意可得，2≤x＜，解得2≤x＜3.6.∵S=-x2+9x=-（x-3）2+,∴当x=3时，S取得最大值，此时S=，当x=2时，S取得最小值，此时S=12.答：窗户总面积S的最大值是m2、最小值是12m2．【针对训练】解：（1）花圃的宽AB为x米，则BC=（24-3x）米，∴S=x（24-3x），即S=-3x2+24x（3≤x＜8）；（2）当S=36时，-3x2+24x=36，解得x1=2，x2=6，当x=2时，24-3x=18＞15，不合题意，舍去；当x=6时，24-3x=6＜15，符合题意，故AB的长为6米．（3）S=-3x2+24x=-3（x-4）2+48，∵3≤x＜8，∴能围成面积比45平方米更大的花圃，当x=4米时面积最大，最大面积为48平方米． 当堂检测1.A2.53.84.解：（1）设剪掉的正方形的边长为x cm，则（40-2x）2=900，即40-2x=±30，解得x1=35（不合题意，舍去），x2=5.答：剪掉的正方形边长为5cm；（2）设剪掉的正方形的边长为x cm，盒子的侧面积为y cm2，则y与x的函数关系式为y=4（40-2x）x，即y=-8x2+160x，y=-8（x-10）2+800.∵-8＜0，∴y有最大值，∴当x=10时，y最大=800；答：折成的长方体盒子的侧面积有最大值，这个最大值是800cm2．5.解：（1）由题意x（40-2x）=128，解得x=4或16，当x=4时，40-2x=32＞9，不合题意.∴x的值为16.（2）由题意y=x（40-2x）=-2x2+40x=-2（x-10）2+200．∵40-2x≤9，∴x≥，∴当x=时，y=-2（-10）2+200=139.5．∴y的最大值为139.5．