14.1勾股定理一、课内训练:1．在△ABC中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（）A．BC2=AB2+AC2;B．AB2=AC2+BC2;C．AB2=BC2-AC2;D．AC2=BC2-AB22．填空:（1）一个直角三角形的三边从小到大依次为x，16，20，则x=_______；（2）在△ABC中∠C=90°，AB=10，AC=6，则另一边BC=________，面积为______，AB边上的高为________；（3）若一个矩形的长为5和12，则它的对角线长为_______．3．判断题:（1）三角形三边长分别为7、24、25，则这个三角形的面积为168；（）（2）三角形的三边长分别为9、16、25，则此三角形为直角三角形；（）（3）若三角形三边长分别为n-1、n、（n+1）（n>1），则此三角形为直角三角形（）4．三角形三边之比分别为①1：2：3，②3：4：5；③1.5：2：2.5，④4：5：6，其中可以构成直角三角形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．三角形三边长分别为6、8、10，那么它最短边上的高为______．6．如图，设火柴盒ABCD的两边之长为a与b，对角线长为c，推倒后的火柴盒是AB′C′D′，试利用该图验证勾股定理的正确性． 7．如图（1）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，如图（2）是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形；（2）用这个图形证明勾股定理；（3）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图．（无需证明）8．如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，求四边形ABCD的面积．（提示：直角三角形中，30°角所对边是斜边的一半）9．细心观察图，认真分析各式，然后解答问题．（）2+1=2，S1=；（）2+1=3，S2=；（）2+1=4，S3=；…（1）请用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律； （2）推算出OA10的长；（3）求S12+S22+S32+…+S102的值．二、课外演练：1．若线段a、b、c能构成直角三角形，则它们的比为（）A．2：3：4B．3：4：6C．5：12：13D．4：6：72．一直角三角形的斜边长比一条直角边大2，另一条直角边长为6，则斜边长为（）A．4B．8C．10D．123．若直角三角形两角边的比为5：12，则斜边与较小直角边的比为（）A．13：12B．169：25C．13：5D．12：54．在下列各组长度的线段中，能构成直角三角形的是（）A．0.2，0.4，0.5B．6，8，10C．4，5，6D．，5．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（）A．0.7米B．0.8米C．0.9米D．1.0米6．已知一直角三角形两边长分别为3和4，则第三边的长为______．7．若等腰直角三角形斜边长为2，则它的直角边长为_______．8．测得一个三角形花坛的三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个花坛的面积是________．9．已知△ABC的三边a、b、c满足（a-5）2+（b-12）2+c2-26c+169=0，则△ABC是（）A．以a为斜边的直角三角形B．以b为斜边的直角三角形 C．以c为斜边的直角三角形D．不是直角三角形10．矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE=_______cm．11．如图在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个正方形中，与众不同的是_________，不同之处：_________．12．如图，△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高AD．13）如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了500米到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500米到达目的地C点，求A、C两点间的距离．14．阅读材料并解答问题： 我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方，勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”．关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在《几何》课本中我们已经了解到，“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”，以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法：方法1：若m为奇数（m≥3），则a=m，b=（m2-1）和c=（m2+1）是勾股数．方法2：若任取两个正整数m和n（m>n），则a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2是勾股数．（1）在以上两种方法中任选一种，证明以a，b，c为边长的△ABC是直角三角形；（2）请根据方法1和方法2按规律填写下列表格：勾m3511…股（m2-1）41260…弦（m2+1）51361…m233444556…n121321435…a=m2-n23587121591611…b=2mn412624168403060…c=m2+n251310252017413461… （3）某园林管理处要在一块绿地上植树，使之构成如图所示的图案景观，该图案由四个全等的直角三角形组成，要求每个三角形顶点处都植一棵树，各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，且每个三角形的各边长之比为5：12：13，那么这四个直角三角形的边长共需植树______棵．15．如图，△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图（1），根据勾股定理，则a2+b2=c2，若△ABC不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论． 答案:一、课内训练:1．B点拨：BC是斜边，在应用勾股定理时，应分清斜边和直角边．2．（1）12；（2）8244.8点拨：两直角边的积=斜边×斜边上的高；（3）13．3．（1）×（2）×（3）×点拨：（1）是直角三角形，面积为×7×24=84；（2）不能构成三角形；（3）中（n-1）2+n2≠（n+1）2．4．B点拨：②③可构成直角三角形；①不能构成三角形；④不能构成直角三角形．5．8点拨：此三角形为直角三角形．6．点拨：可看成火柴盒ABCD绕A点旋转90°后得到△AB′C′D′，有∠CAC′=90°，△ACC′为等腰直角三角形，运用不同的方法求出该三角形的面积即可．7．（1）是直角梯形；（2）因为S梯形=（a+b）（a+b）=（a+b）2，S=2×ab+c2=ab+c2，所以（a+b）2=ab+c2，即a2+b2=c2．（3）如图所示． 8．点拨：延长AD、BC交于点E，S四边形ABCD=S△AEB-S△EDC．9．（1）（）2+1=n+1，Sn=；（2）OA10=．二、课外演练：1．C2．C点拨：设斜边长为x，有x2=（x-2）2+62，x=10．3．C点拨：设两直角边为5x，12x，则斜边为=13x．4．B5．A点拨：=0.7．6．5或点拨：分4为斜边长和直角边长解．7．点拨：设直角边长为x，有x2+x2=22，x=．8．30cm2点拨：此三角形为直角三角形，且两直角边长分别为5cm，12cm．9．C点拨：把c2-26c+169变为（c-13）2，则（a-5）2（b-12）2，（c-13）2都是非负数，它们和为0，即（a-5）2=0，（b-12）2=0，（c-13）2=0，所以a=5，b=12，c=13，有c2=a2+b2．10．点拨：设DE=x，则DE=BE=x，AE=AB-BE=10-x；在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2， 所以x2=（10-x）2+16，即x=．11．AA不是直角三角形，B、C、D是直角三角形点拨：先观察得出A不是直角三角形，对于其他三角形，设每一个小正方形边长为1，利用勾股定理求出各三角形的边长，再验证．12．解：设BD=x，则CD=14-x，在Rt△ABD中，AD2+x2=132，在Rt△ADC中，AD2=152-（14-x）2，所以有132-x2=152-（14-x）2，解得x=5，在Rt△ABD中，AD==12．13．解：过点B作NM垂直于正东方向，垂足为M，则∠ABM=60°．因为∠NBC=30°，所以∠ABC=90°．在Rt△ABC中，AC==1000（米）．14．（1）方法1c-a=（m2+1）-m=（m2-2m+1）=（m-1）2>0，c-b=1>0，所以c>a，c>b．而a2+b2=m2+[（m2-1）]2=（m4-2m2+1）+m2=（m4+2m2+1）=[（m2+1）]2=c2，所以以a、b、c为边的三角形是直角三角形．同理可证方法2．（2）方法1中自上而下：7、24、25；9、40、41．方法2中自上而下：5、2、21、20、29；5、1、24、10、26．（3）120．15．解：若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2>c2；若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2<c2．证明：①当△ABC是锐角三角形时， 过点A作AD⊥CB，垂足为D，设CD为x，则有DB=a-x，根据勾股定理，得b2-x2=c2-（a-x）2．即b2-x2=c2-a2+2ax-x2，∴a2+b2=c2+2ax．∵a>0，x>0，∴2ax>0，∴a2+b2>c2．②当△ABC是钝角三角形时，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，设CD为x，则BD2=a2-x2．根据勾股定理，得（b+x）2+a2-x2=c2．即b2+2bx+x2+a2-x2=c2．∴a2+b2+2bx=c2．∵b>0，x>0，∴2bx>0，∴a2+b2<c2．