16.3梯形的性质一、课内训练：1．下列说法正确的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形;B．有两个角相等的梯形一定是等腰梯形;C．一组对边平行但不相等的四边形一定是梯形;D．一组对边相等，而另一组对边不相等的四边形一定是梯形2．四边形四个内角度数之比为2：2：1：3，则此四边形是（）A．任意四边形B．任意梯形C．等腰梯形D．直角梯形3．有两个角相等的梯形是（）A．等腰梯形B．直角梯形C．一般梯形D．等腰梯形或直角梯形4．如图，等腰梯形ABCD的面积为100cm2，AB∥CD，AC⊥BD，求它的高．5．（一题多解）已知等腰梯形的一个锐角等于60°，它的两底分别为20cm和42cm，求它的腰长．6．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，AE⊥BC，且AE=AD=2cm，求这个梯形的面积． 7．在周长为40cm的梯形ABCD中，AD∥BC，AE∥DC交BC于E，AD=5cm，△ABE的周长为（）A．40cmB．30cmC．20cmD．15cm8．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=CD，连接CE，求证：CE=CA．9．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC=BC+AD，求∠DBC的度数．10．（05年陕西省中考·课改卷）如图是用12个全等的等腰梯形镶嵌（密铺）成的图形，这个图形中等腰梯形的上底长与下底长的比是________． 11．请你想一想，能否将一个梯形纸片剪接成一个三角形？平行四边形？矩形？二、课外演练：1．下列说法正确的是（）A．平行四边形是一种特殊的梯形；B．等腰梯形两底角相等C．等腰梯形不可能是直角梯形；D．有两邻角相等的梯形是等腰梯形2．如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=BC．若梯形的周长是30cm，则AD=________cm，∠B=______．（1）（2）（3）（4）3．等腰梯形的一个锐角等于60°，它的上底是3cm，腰长是4cm，则下底是____．4．梯形的上底长为6cm，过上底一个顶点引一腰的平行线，交下底所得的三角形的周长是19cm，那么这个梯形的周长是（）A．31cmB．25cmC．19cmD．28cm5．（06年温州市中考）如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，CD=5，则AD的长是（）A．6B．5C．4D．36．如果等腰梯形两底差的一半等于它的高，则这个梯形的一个底角等于（）A．30°B．45°C．60°D．75° 7．如图3所示，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，则∠EAB的度数为_______．8．（05年佛山市中考·课改卷）如图4，是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案，则这个图案中的等腰梯形的底角（指锐角）是______度．9．（综合题）梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，∠B=60°，CD=3cm，AD=10cm，则AB的长是________cm．10．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD+BC=26，求梯形ABCD的高．11．如图，已知M是梯形ABCD一腰CD的中点，MN⊥AB，垂足为N．求证：S梯形ABCD=AB·MN． 答案:一、课内训练：1．C点拨：A也可能是平行四边形；B也可能是直角梯形，由相等的两个角的位置不同决定着；D如图四边形ABCD中，AB=CD，AD≠BC，而四边形ABCD不是梯形．2．D点拨：设四个内角度数分别为2x，2x，x，3x，由四边形内角和知2x+2x+x+3x=360°，解得x=45°，此梯形有两个角是直角，故选D．3．D点拨：可以是同一底边上的两个角相等，此时梯形是等腰梯形，也可以是邻角相等，此时梯形是直角梯形．4．解：如图，过点C作CF⊥AB于F，作CE∥DB交AB的延长线于E．∵CE∥DB，AB∥CD，∴四边形BECD是平行四边形．∴CE=BD，BE=CD．∴AE=AB+BE=AB+CD．∴S△AEC=AE·CF=（AB+CD）·CF=S梯形面积=100cm2，∵AD=BC，BD=AC，∴CE=AC，∵AC⊥BD，CE∥BD，∴AC⊥CE，∴△AEC是等腰直角三角形．∵CF⊥AE，∴F是AE中点．CF=AE．∴S△AEC=AE·CF=CF2=100cm2，∴CF=10cm．点拨：由梯形面积公式联想到构造一个一条边等于梯形ABCD的上底与下底之和，且与梯形等高的三角形，把梯形转化为三角形问题，为此过C为CE∥ DB交AB的延长线于E，易知四边形BECD为平行四边形，BE=CD，所以AE=AB+CD，可见△AEC与梯形ABCD等高，所以它们的面积相等，至此，问题变成了已知三角形面积求高．5．如图，解法一：如图（1），过A作AE∥CD交BC于E，得等边三角形ABE，AB=BE=BC-AD=42-20=22（cm）．解法二：如图（2），延长BA、CD交于点O，得等腰三角形OBC和OAD，AB=OB-OA=BC-AD=42-20=22（cm）．解法三：如图（3），作AM⊥BC，DN⊥BC，垂足为M，N，得矩形AMND，在Rt△ABM中，∠BAM=90°-60°=30°，BM=（BC-AD）=11cm，因此AB=2BM=22cm．点拨：根据已知条件及求解的问题，有三种辅助线．6．解：∵AE⊥BC，∠B=45°，∴BE=AE=2cm，过D作DF⊥BC于F．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠C=45°．∴四边形AEFD是矩形．∴EF=AD=2cm，CF=DF=AE=2cm．∴BC=BE+EF+FC=2+2+2=6．∴S梯形ABCD=（AD+BC）·AE=×（2+6）×2=8（cm）2．7．B点拨：△ABE的周长等于梯形周长减去10． 8．连接BD，∵梯形ABCD是等腰梯形，又∵AB∥CD，CD=BE．∴四边形BECD是平行四边形．∴CE=BD．又∵四边形ABCD是等腰梯形，∴BD=AC，∴AC=CE．9．解：过D作DE∥AC交BC的延长线于E．∵AD∥BC，∴四边形ACED是平行四边形．∴DE=AC，AD=CE．又∵四边形ABCD是等腰梯形．∴AC=BD．又∵AC=BC+AD，∴AC=BC+CE=BE．∴BD=BE=DE．∴△BDE是等边三角形．∴∠DBC=60°．10．1：2点拨：此等腰梯形是有一内角为60°且两腰与上底相等的．11．一个梯形纸片可以剪拼成一个三角形、平行四边形或矩形，剪拼方法如图所示，其中虚线与实线的交点都为梯形腰的中点．二、课外演练：1．C点拨：B选项必须是同一底边上的两底角相等；D选项是直角梯形．2．6，60°点拨：作DF∥AB交BC于F，则AD=BF=BC，所以AD==6．△DCF是等边三角形，所以∠B=∠C=60°． 3．7cm点拨：由底角为60°，腰长为4，则下底的长为2+2+3=7（cm）．4．A点拨：梯形的周长等于所得三角形周长加上上底的2倍．5．B点拨：∵∠DCA=∠ACB，∠ACB=∠DAC，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD=5．6．B点拨：过梯形上底两顶点作下底的垂线，等腰梯形被分割成了一个矩形和两个等腰直角三角形，故底角是45°．7．35°点拨：过E作EF⊥AD，垂足为F，因为DE平分∠ADC，所以FE=CE，又因为E为BC中点，所以FE=BE，故AE平分∠BAD．所以2（∠EAB+∠ADE）=180°，而∠ADE=∠EDC=90°-35°=55°，故∠EAB=35°．8．60点拨：三个等腰梯形的钝角和为360°．9．13点拨：作梯形的两条高DE、CF，由∠A=∠B=60°，所以AE=BF=5，故AB=13．10．解：过D作DF∥AC交BC的延长线于F，作DE⊥BC于E，则四边形ACFD是平行四边形，所以AC=DF，AD=CF．又因为四边形ABCD是等腰梯形，所以AC=BD．所以BD=DF．因为AC⊥BD，DF∥AC，所以BD⊥DF．所以△BDF是等腰直角三角形，所以∠F=∠DBF=45°．又因为DE⊥BC，所以BE=EF，∠BED=90°，所以∠DBE=∠BDE=45°，所以DE=BE=BF=（BC+CF）=（BC+CA）=×26=13．点拨：当梯形的对角线相等或垂直时，常作梯形对角线的平行线，构造平行四边形，等腰三角形或直角三角形．14．解法一：∵M是CD的中点，故连接并延长AM交BC的延长线于点E，易知△ADM与△ECM关于点M成中心对称．∴S梯形ABCD=S△ABE．连接BM，由BM是△ABE的中线， ∴S△ABE=2·S△ABM=2·AB·MN=AB·MN．解法二：∵M是CD的中点，故过M作PQ∥AB，PQ分别与AD的延长线及BC相交于点P、Q，得ABQP，△PDM与△QCM关于点M成中心对称．∴S梯形ABCD=SABCD=AB·MN．点拨：利用中心对称思想方法，将原来的图形进行部分或整体的割补，把梯形问题转化为三角形问题或平行四边形问题来解决．