小结与复习第三十二章投影与视图要点梳理考点讲练课堂小结课后作业 一、平行投影和中心投影要点梳理由形成的投影是平行投影．由形成的投影叫做中心投影．投影线投影面产生的投影叫做正投影．平行光线同一点发出的光线垂直于【注意】(1)在实际制图中，经常采用正投影．(2)当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同．(3)阳光下同一时刻不同物体及影长与光线构成的三角形相似． 二、视图三视图是、、的统称．三视图位置有规定，主视图要在，它的下方应是，坐落在右边．三视图的对应规律主视图和俯视图；主视图和左视图；左视图和俯视图.【注意】(1)在画图时，看得见部分的轮廓线通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线．(2)画三视图要认真准确，特别是宽相等．主视图俯视图左视图左上方俯视图左视图长对正高平齐宽相等 1.直棱柱的侧面展开图是矩形，其面积=直棱柱的底面周长×直棱柱的高.2.圆锥侧面积公式：S侧=πrl（r为底面圆半径，l为母线长）3.圆锥全面积公式：S全=(r为底面圆半径，l为母线长）三、直棱柱和圆锥的侧面展开图 考点一平行投影的应用例1某校墙边有两根木杆．(1)某一时刻甲木杆在阳光下的影子如图所示，你能画出乙木杆的影子吗？(用线段表示影子)(2)在图中，当乙木杆移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？(3)在你所画的图中有相似三角形吗？为什么？考点讲练 【解析】所要画出的乙木杆的影子与甲木杆形成的影子是同一时刻，根据同一时刻两物体的高度比等于其影长的比，同时，在同一时刻太阳光线是互相平行的，平行移动乙杆，使乙杆顶端的影长恰好抵达墙角． 解：(1)如图①，过E点作直线DD′的平行线，交AD′所在直线于E′，则BE′为乙木杆的影子．(2)平移由乙杆、乙杆的影子和太阳光线所构成的图形(即△BEE′)，直到其影子的顶端E′抵达墙角(如图②)．(3)△ADD′与△BEE′相似．理由略． 由一物体及其影长，画出同一时刻另一物体的影子，其作法是：(1)过已知物体的顶端及其影长的端点作一直线，再过另一物体的顶端作之前所作的直线的平行线，交已知物体的影子所在直线于一点，则该点到该物体的底部的线段即为影长．但应注意以下两点：①两物体必须在同一平面内；②所求物体的影子必须在已知的影子所在的直线上．(2)在同一时刻，不同物体的底部中点、顶端的中心及影子的端点所构成的三角形是相似三角形．方法总结 1.如图，小明与同学合作利用太阳光线测量旗杆的高度，身高1.6m的小明落在地面上的影长为BC=2.4m．（1）请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下落在地面上的影子EG；（2）若小明测得此刻旗杆落在地面的影长EG=16m，请求出旗杆DE的高度.针对训练 【解析】（1）连结AC，过D点作DG∥AC交BC于G点，则GE为所求；（2）先证明Rt△ABC∽Rt△DGE，然后利用相似比计算DE的长解：（1）影子EG如图所示；（2）∵DG∥AC，∴∠G=∠C，∴Rt△ABC∽△RtDGE，∴，即，解得，∴旗杆的高度为m． 考点二中心投影的应用例2如图，圆桌面（桌面中间有一个直径为0.4m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为1.2m，桌面离地面1m，若灯泡离地面3m，则地面圆环形阴影的面积是（　　）【解析】先根据AC⊥OB，BD⊥OB可得出△AOC∽△BOD，由相似三角形的对应边成比例可求出BD的长，进而得出BD′=0.3m，再由圆环的面积公式即可得出结论．A．0.324πm2B．0.288πm2C．1.08πm2D．0.72πm2 解：如图所示：∵AC⊥OB，BD⊥OB，∴△AOC∽△BOD，∴，即，解得：BD=0.9m，同理可得：AC′=0.2m，则BD′=0.3m，∴S圆环形阴影=0.92π﹣0.32π=0.72π（m2）．故选：D． 2.如图，路灯(P点)距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部(O点)20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？针对训练解：小明的身影变短了.∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP,∴△MAC∽△MOP即解得MA=5.同理，由△MAC∽△MOP可得NB=1.5.所以小明的身影变短了5－1.5=3.5（米）. 考点三几何体的三视图例3如下方左图，是由大小相同的5个小正方体搭成的几何体，则它的主视图是().【解析】B根据三视图的定义，几何体的主视图应该从前面向后看，所以本题看到的平面图形应该是选项B，选项A是该几何体的左视图，选项C是该几何体的俯视图． 根据几何体选择视图，观察几何体时，要正对着几何体，视线要与放置几何体的平面持平，俯视图反映了物体的长和宽，主视图反映了物体的长和高，左视图反映了物体的高和宽．方法总结针对训练3.下列立体图形中，俯视图是正方形的是（　　）A．B．C．D．A 考点四根据三视图判断立体图形例4已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是()A．棱柱B．圆柱C．圆锥D．球【解析】B由三个方向看到的平面图形说出立体图形，首先抓住俯视图，再结合另两个视图就得出立体图形的名称．平时要多注意积累常见的几何体的三视图，并进行适当的分类．如视图可能是圆的有球、圆柱、圆锥等，可能是三角形的有圆锥、棱锥，可能是长方形的有长方体、圆柱等．方法总结 4.如图，是一个带有方形空洞和圆形空洞的儿童玩具，如果用下列几何体作为塞子，那么既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞的几何体是（　　）针对训练A．B．C．D．【解析】圆柱从上边看是一个圆，从正面看是一个正方形，既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞，故选：B． 考点五由三视图确定立方体的个数例5由一些大小相同的小正方体组成的几何体三视图如图所示，那么，组成这个几何体的小正方体的个数是()A．7B．6C．5D．4 【解析】C由主视图和俯视图可知，俯视图右边两个方格的位置上各放置了一个正方体，所以在这两个方格里分别填入数字1(如图)；由主视图和俯视图又知，俯视图左边一列上两个方格每格上最多有2个正方体；又由左视图和俯视图知，俯视图中左边一列下边一个方格中应该只有一个正方体，故应填入数字1，上边应有2个正方体，故填入数字2.所以组成这个几何体的小正方体的个数有2＋1＋1＋1＝5(个)． 由三视图判断组成原几何体的小正方体的块数的一般解法是：(1)数出主视图各列(竖为列)上正方形的个数，将数字分别填在俯视图所对应的列中；(2)再数出左视图各列上正方形的个数，将数字分别填在俯视图所对应的行(横为行)中；(3)在俯视图中的同一个小正方形中，前后两次数字相同的只取一个数，前后两次数字不同的取较小的数，最后将俯视图中各小正方形上的数字相加所得结果就是组成原几何体的小正方体的总块数．方法总结 例6某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图，请你按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积．分析：对于某些立体图形，沿着其中一些线（例如棱柱的棱）剪开，可以把立体图形的表面展开成一个平面图形——展开图．在实际的生产中，三视图和展开图往往结合在一起使用．解决本题的思路是，由三视图想象出密封罐的立体形状，再进一步画出展开图，从而计算面积．1005050100考点六由三视图求面积或体积 解：由三视图可知，密封罐的现状是正六棱柱．密封罐的高为50mm，店面正六边形的直径为100mm，边长为50mm，图是它的展开图．由展开图可知，制作一个密封罐所需钢板的面积为（mm2） 课堂小结中心投影视图与投影视图投影平行投影灯光与影子，视点、视线和盲区圆柱、圆锥、球、直三棱柱、直四棱柱等简单几何体的三视图