30.2二次函数的图像和性质导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时二次函数y=ax²的图像和性质第三十章二次函数 学习目标1.正确理解抛物线的有关概念.（重点）2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图像，概括出图像的特点.（难点）3.掌握形如y=ax²的二次函数图像的性质，并会应用.（难点） 导入新课情境引入 讲授新课二次函数y=ax2的图像一x…-3-2-10123…y=x2……例1画出二次函数y=x2的图像.9410194典例精析1.列表：在y=x2中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值： 24-2-4o369xy2.描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=x2的图像． -33o369当取更多个点时，函数y=x2的图像如下：xy二次函数y=x2的图像形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 练一练：画出函数y=-x2的图像.y24-2-40-3-6-9xx…-3-2-10123…y=-x2…-9-4-10-1-4-9… 根据你以往学习函数图像性质的经验，说说二次函数y=x2的图像有哪些性质，并与同伴交流.xoy=x2议一议1.y＝x2是一条抛物线;2.图像开口向上;3.图像关于y轴对称;4.顶点（0，0）;5.图像有最低点．y 说说二次函数y=-x2的图像有哪些性质,与同伴交流.oxyy=-x21.y＝-x2是一条抛物线;2.图像开口向下;3.图像关于y轴对称;4.顶点（0，0）;5.图像有最高点． 1.顶点都在原点;3.当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下．二次函数y=ax2的图像性质：知识要点2.图像关于y轴对称; 观察下列图像，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的关系是什么？二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.xyOy=ax2y=-ax2交流讨论 二二次函数y=ax2的性质问题1：观察图形，y随x的变化如何变化？(-2,4)(-1,1)(2,4)(1,1) 对于抛物线y=ax2（a＞0）当x＞0时，y随x取值的增大而增大；当x<0时，y随x取值的增大而减小.知识要点 (-2,-4)(-1,-1)(2,-4)(1,-1)问题2：观察图形，y随x的变化如何变化？ 对于抛物线y=ax2（a＜0）当x＞0时，y随x取值的增大而减小；当x<0时，y随x取值的增大而增大.知识要点 解：分别填表，再画出它们的图像，如图x···－4－3－2－101234·········x···－2－1.5－1－0.500.511.52·········84.520.5084.520.584.520.5084.520.5例2在同一直角坐标系中，画出函数的图像． xyO-222464-48思考1：从二次函数开口大小与a的大小有什么关系？当a>0时，a越大，开口越小. 练一练：在同一直角坐标系中，画出函数的图像．x···－4－3－2－101234·········x···－2－1.5－1－0.500.511.52·········-8-4.5-2-0.50-8-4.5-2-0.5-8-4.5－2－0.50－8－4.5－2－0.5 xyO－22－2－4－64－4－8当a<0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小.思考2从二次函数开口大小与a的大小有什么关系？对于抛物线y=ax2，｜a｜越大，抛物线的开口越小． y＝ax2a>0a<0图像位置开口方向对称性顶点最值增减性开口向上,在x轴上方开口向下,在x轴下方a的绝对值越大，开口越小关于y轴对称，对称轴是直线x＝0顶点坐标是原点（0，0）当x=0时，y最小值=0当x=0时，y最大值=0在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减知识要点yOxyOx 例1已知二次函数y=x2．（1）判断点A（2，4）在二次函数图像上吗？（2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标；（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图像上吗？在二次函数y=－x2的图像上吗？典例精析 （1）判断点A（2，4）在二次函数图像上吗？解：（1）当x=2时，y=x2=4，所以A（2，4）在二次函数图像上；（2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标；（2）点A关于x轴的对称点B的坐标为（2，-4），点A关于y轴的对称点C的坐标为（-2，4），点A关于原点O的对称点D的坐标为（-2，-4）； （3）点B、C、D在二次函数y=x2的图像上吗？在二次函数y=－x2的图像上吗？当x=－2时，y=x2=4，所以C点在二次函数y=x2的图像上；当x=2时，y=－x2=－4，所以B点在二次函数y=－x2的图像上；当x=－2时，y=－x2=－4，所以D点在二次函数y=－x2的图像上． 已知是二次函数，且当x＞0时，y随x增大而增大，则k=.分析：是二次函数，即二次项的系数不为0，x的指数等于2.又因当x＞0时，y随x增大而增大,即说明二次项的系数大于0.因此，解得k=22练一练 例3.已知二次函数y＝2x2.(1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图像上，则y1_____y2；(填“>”“＝”或“<”)；(2)如图，此二次函数的图像经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图像上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和．分析：(1)把两点的横坐标代入二次函数表达式求出纵坐标，再比较大小即可得解；(2)由于函数图像经过点B，根据点B的横坐标为2，代入表达式可求出点C的纵坐标，再根据二次函数图像关于y轴对称求出OA＝OB，即图像左边部分与右边部分对称，两个阴影部分面积相加等于右边第一象限内的矩形面积．< (2)解：∵二次函数y＝2x2的图像经过点B，∴当x＝2时，y＝2×22＝8.∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它们的对称轴，∴OA＝OB，∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积，∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16. 二次函数y＝ax2的图像关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图像中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图像中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解．方法总结 当堂练习1.函数y=2x2的图像的开口,对称轴,顶点是;在对称轴的左侧，y随x的增大而,在对称轴的右侧,y随x的增大而.2.函数y=-3x2的图像的开口,对称轴,顶点是;在对称轴的左侧,y随x的增大而,在对称轴的右侧,y随x的增大而.向上向下y轴y轴(0,0)(0,0)减小减小增大增大xxyyOO 3、如右图，观察函数y=（k-1）x2的图像,则k的取值范围是.xyk>14、说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：开口方向对称轴顶点向上向下向下向上y轴y轴y轴y轴（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）O 5.若抛物线y=ax2（a≠0），过点（-1，2）.（1）则a的值是；（2）对称轴是，开口.（3）顶点坐标是，顶点是抛物线上的最值.抛物线在x轴的方（除顶点外）.(4)若A（x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上，且x1<x2<0,则y1y2.2y轴向上（0,0）小上> 6.已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m的取值范围．解：∵二次函数y=x2，∴当x=0时，y有最小值，且y最小值=0，∵当x≥m时，y最小值=0，∴m≤0． 7.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．解：由题意得解得所以此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.∴S△ACO＝·CO·4＝8，S△BOC＝×4×1＝2，∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10. 课堂小结二次函数y=ax2的图像及性质画法描点法以对称轴为中心对称取点图像抛物线轴对称图形性质重点关注4个方面开口方向及大小对称轴顶点坐标增减性