30.4二次函数的应用导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时抛物线形问题第三十章二次函数 学习目标1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．(重点)2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．(重、难点) 导入新课问题引入如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米.现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能想出办法来吗？ 讲授新课利用二次函数解决实物抛物线形问题一建立函数模型这是什么样的函数呢？拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数你能想出办法来吗？合作探究 怎样建立直角坐标系比较简单呢？以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，如图．从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？由于顶点坐标系是（0.0），因此这个二次函数的形式为 xOy-2-421-2-1A如何确定a是多少？已知水面宽4米时，拱顶离水面高2米，因此点A（2，-2）在抛物线上，由此得出因此，，其中｜x｜是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化．解得 由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是：水面宽3m时从而因此拱顶离水面高1.125m现在你能求出水面宽3米时，拱顶离水面高多少米吗？ 知识要点建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？实际问题建立二次函数模型利用二次函数的图象和性质求解实际问题的解 例1某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m才能使喷出的水流不致落到池外？典例精析 解：建立如图所示的坐标系，根据题意得，A点坐标为(0，1.25)，顶点B坐标为(1，2.25).数学化●B(1,2.25)(0,1.25)●C●DoAxy 根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外.当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0);同理，点D的坐标为(-2.5,0).设抛物线为y=a(x+h)2+k，由待定系数法可求得抛物线表达式为：y=－(x-1)2+2.25.●B(1,2.25)(0,1.25)●DoAxy●C 利用二次函数解决运动中抛物线型问题二例2：如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？ 解：如图，建立直角坐标系.则点A的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度时的位置为B（0，3.5）.以点C表示运动员投篮球的出手处.xyO 解得a=－0.2，k=3.5，设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为y=a(x-0)2+k，即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有所以该抛物线的表达式为y=－0.2x2+3.5.当x=－2.5时，y=2.25.故该运动员出手时的高度为2.25m.2.25a+k=3.05，k=3.5，xyO 拱桥问题三问题1图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度增加多少？互动探究 （1）求宽度增加多少需要什么数据？（2）表示水面宽的线段的端点在哪条曲线上？（3）如何求这组数据？需要先求什么？（4）图中还知道什么？（5）怎样求抛物线对应的函数的解析式？想一想 问题2如何建立直角坐标系？l问题3解决本题的关键是什么？yxo解：如图建立直角坐标系.解：建立合适的直角坐标系. lyxo解：如图建立直角坐标系.根据题意可设该拱桥形成的抛物线的解析式为y=ax2+2.∵该抛物线过(2,0),∴0=4a+2，a=∵水面下降1m，即当y=-1时，∴水面宽度增加了米. 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m．如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的解析式；OACDByx20mh解：设该拱桥形成的抛物线的解析式为y=ax2.∵该抛物线过(10,-4),∴-4=100a，a=-0.04∴y=-0.04x2.练一练 利用二次函数解决实物抛物线形问题四例3如果要使运动员坐着船从圣火的拱形桥下面穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面2m,水面宽4m,为了船能顺利通过，需要把水面下降1m,问此时水面宽度增加多少?xyO-3(-2,-2)●●(2,-2)4米 当时，所以，水面下降1m，水面的宽度为m.所以水面的宽度增加了m.解：建立如图所示坐标系,由抛物线经过点（2，-2），可得所以，这条抛物线的解析式为当水面下降1m时，水面的纵坐标为-3xyO(-2,-2)●●(2,-2)设二次函数解析式为 xyxy如果要使运动员坐着船从圣火的拱形底座下穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面2m,水面宽4m,为了船能顺利通过，需要把水面下降1m,问此时水面宽度增加多少?4m4m请同学们分别求出对应的函数解析式.OO解：设y=-ax2+2将（-2,0）代入得a=∴y=+2；设y=-a（x-2）2+2将（0,0）代入得a=∴y=+2； 当堂练习1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在s后落地.42.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式为，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为米.xyO2 3.公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O点恰在水面中心，OA=1.25米，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下.为使水流较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流落不到池外？OA1.25米 OBCA解：如图建立坐标系，设抛物线顶点为B，水流落水与x轴交于C点.由题意可知A（0，1.25）、B（1，2.25）、C（x0，0）.xy设抛物线为y=a(x－1)2+2.25(a≠0),点A坐标代入，得a=－1；当y=0时，x１=－0.5（舍去），x２=2.5∴水池的半径至少要2.5米.∴抛物线为y=-(x-1)2+2.25.1.25 课堂小结实际问题数学模型转化回归（二次函数的图像和性质）拱桥问题运动中的抛物线问题（实物中的抛物线形问题）转化的关键建立恰当的直角坐标系能够将实际距离准确的转化为点的坐标；选择运算简便的方法.