第三十章二次函数30.1二次函数1．理解、掌握二次函数的概念和一般形式；(重点)2．会利用二次函数的概念解决问题；(重点)3．列二次函数表达式解决实际问题．(难点)一、情境导入已知长方形窗户的周长为6m，窗户面积为ym2，窗户宽为xm，你能写出y与x之间的函数关系式吗？它是什么函数呢？二、合作探究探究点一：二次函数的概念【类型一】二次函数的识别下列函数中是二次函数的有(　　)①y＝x＋；②y＝3(x－1)2＋2；③y＝(x＋3)2－2x2；④y＝＋x.A．4个B．3个C．2个D．1个解析：①y＝x＋，④y＝＋x的右边不是整式，故①④不是二次函数；②y＝3(x－1)2＋2，符合二次函数的定义；③y＝(x＋3)2－2x2＝－x2＋6x＋9，符合二次函数的定义．故选C.方法总结：判定一个函数是否是二次函数常有三个标准：①所表示的函数关系式为整式；②所表示的函数关系式有唯一的自变量；③所含自变量的关系式最高次数为2，且函数关系式中二次项系数不等于0.【类型二】利用二次函数的概念求字母的值当k为何值时，函数y＝(k－1)xk2＋k＋1为二次函数？解析：根据二次函数的概念，可得k2＋k＝2且同时满足k－1≠0即可解答．解：∵函数y＝(k－1)xk2＋k＋1为二次函数，∴解得∴k＝－2.方法总结：解答本题要考虑两方面：一是x的指数等于2；二是二次项系数不等于0.【类型三】二次函数相关量的计算已知二次函数y＝－x2＋bx＋3，当x＝2时，y＝3.则x＝1时，y＝________．解析：∵二次函数y＝－x2＋bx＋3，当x＝2时，y＝3，∴3＝－22＋2b＋3，解得b＝2.∴这个二次函数的表达式是y＝－x2＋2x＋3.将x＝1代入得y＝4.故答案为4.方法总结：解题的关键是先确定解析式，再代入求值． 【类型四】二次函数与一次函数的关系已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋m＋1.(1)若这个函数是一次函数，求m的值；(2)若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？解析：根据二次函数与一次函数的定义解答．解：(1)根据一次函数的定义，得m2－m＝0，解得m＝0或m＝1.又∵m－1≠0，即m≠1，∴当m＝0时，这个函数是一次函数；(2)根据二次函数的定义，得m2－m≠0，解得m≠0或m≠1，∴当m≠0或m≠1时，这个函数是二次函数．方法总结：熟记二次函数与一次函数的定义，另外要注意二次函数的二次项的系数不等于零．探究点二：从实际问题中抽象出二次函数解析式【类型一】从几何图形中抽象出二次函数解析式如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则菜园的面积y(单位：米2)与x(单位：米)的函数关系式为多少？解析：根据已知由AB边长为x米可以推出BC＝(30－x)，然后根据矩形的面积公式即可求出函数关系式．解：∵AB边长为x米，而菜园ABCD是矩形菜园，∴BC＝(30－x)，∴菜园的面积＝AB×BC＝(30－x)·x，则菜园的面积y与x的函数关系式为y＝－x2＋15x.方法总结：函数与几何知识的综合问题，关键是掌握数与形的转化．有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．【类型二】从生活实际中抽象出二次函数解析式某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式；(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．解析：(1)每件的利润为6＋2(x－1)，生产件数为95－5(x－1)，则y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]；(2)由题意可令y＝1120，求出x的实际值即可．解：(1)∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天产量减少5件，∴第x档次，提高的档次是(x－1)档，利润增加了2(x－1)元．∴y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]，即y＝－10x2＋180x＋400(其中x是正整数，且1≤x≤10)；(2)由题意可得－10x2＋180x＋400＝1120，整理得x2－18x＋72＝0，解得x1＝6，x2＝12(舍去)．所以，该产品的质量档次为第6档．方法总结：解决此类问题的关键是要吃透题意，确定变量，建立函数模型．三、板书设计 二次函数1．二次函数的概念2．从实际问题中抽象出二次函数解析式二次函数是一种常见的函数，应用非常广泛，它是客观地反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型．许多实际问题往往可以归结为二次函数加以研究．本节课是学习二次函数的第一节课，通过实例引入二次函数的概念，并学习求一些简单的实际问题中二次函数的解析式．在教学中要重视二次函数概念的形成和建构，在概念的学习过程中，让学生体验从问题出发到列二次函数解析式的过程，体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义.