5.3平行线的性质5.3.2命题、定理、证明人教版数学七年级下册 小明的百米成绩有进步，已达到9秒9.有一位田径教练向领导汇报训练成绩；相传,阎锡山在观看士兵篮球赛,双方争抢非常激烈.于是命令:导入新知好！继续努力,争取超过10秒.“不要再抢啦！每个人发一个球！” 1.理解命题，定理及证明的概念，会区分命题的题设和结论.2.会判断真假命题，知道证明的意义及必要性，了解反例的作用.素养目标3.理解证明要步步有据，培养学生养成科学严谨的学习态度. 请同学读出下列语句：（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；（3）对顶角相等；（4）等式两边都加同一个数，结果仍是等式．像这样判断一件事情的语句，叫做命题.探究新知知识点1命题的概念 2.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.如：画线段AB=CD.1.只要对一件事情作出了判断,不管正确与否,都是命题.如：相等的角是对顶角.注意：探究新知 例判断下列四个语句中，哪个是命题，哪个不是命题？并说明理由：（1）对顶角相等吗？（2）画一条线段AB=2cm;（3）两条直线平行，同位角相等；（4）相等的两个角，一定是对顶角.解：（3）（4）是命题，（1）（2）不是命题.理由如下：（1）是问句，故不是命题；（2）是做一件事情，也不是命题.探究新知素养考点1命题的识别 下列语句在表述形式上，哪些是命题？哪些不是命题？（1）对顶角相等；（2）画一个角等于已知角；（3）两直线平行，同位角相等；（4）a、b两条直线平行吗？（5）温柔的李明明；（6）玫瑰花是动物；（7）若a2＝4，求a的值；（8）若a2＝b2，则a＝b.否是否否是否是是巩固练习 观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？与同伴交流.（1）如果两个三角形的三条边相等，那么这两个三角形的周长相等；（2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等；（3）如果一个数的平方等于9，那么这个数是3.都是“如果……那么……”的形式.知识点2命题的构成探究新知 命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式.1.“如果”后接的部分是题设,2.“那么”后接的部分是结论.如命题：熊猫没有翅膀.改写为：如果这个动物是熊猫，那么它就没有翅膀.注意：添加“如果”“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套.探究新知 命题题设结论已知事项由已知事项推出的事项两直线平行，同位角相等题设（条件）结论命题的组成：探究新知 例分别把下列命题写成“如果……那么……”的形式.(1)两点确定一条直线；(2)等角的补角相等；(3)内错角相等.解：(1)如果有两个定点，那么过这两点有且只有一条直线；(2)如果两个角分别是两个等角的补角，那么这两个角相等；(3)如果两个角是内错角，那么这两个角相等.素养考点1命题表述形式的变换探究新知 请将它们改写成“如果……，那么……”的形式.（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；（3）互为相反数的两个数相加得0；（4）同旁内角互补；（5）对顶角相等．如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补；如果等式两边都加同一个数，那么结果仍是等式；如果两个数互为相反数，那么这两个数相加得0；如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补；如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等．巩固练习 有些命题如果题设成立，那么结论一定成立；而有些命题题设成立时，结论不一定成立.正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题.如命题：“如果两个角互补，那么它们是邻补角”就是一个错误的命题.如命题：“如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除”就是一个正确的命题.确定一个命题真假的方法：利用已有的知识，通过观察、验证、推理、举反例等方法.探究新知知识点3真假命题的概念 例下列命题哪些命题是正确的，哪些命题是错误的？（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；（3）互为相反数的两个数相加得0；（4）同旁内角互补；（5）对顶角相等．√√√探究新知真假命题的识别素养考点1×× 下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题？（1）猪有四只脚；（2）内错角相等；（3）画一条直线；（4）四边形是正方形；（5）你的作业做完了吗？（6）同位角相等，两直线平行；（7）同角的补角相等；（8）同垂直于一直线的两直线平行；（9）过点P画线段MN的垂线；（10）x＞2.是真命题否是假命题是假命题否是真命题是真命题是真命题否否巩固练习 “因为早上我发现王五从苹果园那边过来，把一袋东西背回家，还发现我果园的苹果被人偷了，我知道王五家没有苹果树.所以我家苹果肯定是王五偷的.”情节1：一天早上，张老汉来到公安局里告状说：王五刚刚在他地里偷了一袋子苹果.文局长立即派干警将王五传唤到公安局审讯:文局长问张老汉：“你怎知是王五偷了你的苹果?”这种从已知条件出发（列出理由），推断出结论的证明方法，叫综合法.综合法是最常用的证明方法.知识点4证明和反证法（举反例）探究新知张老汉想证明什么？他是怎么证明的？根据张老汉的证明，你能断定苹果是王五偷的吗？你觉得有疑点吗？ 情节2：文局长一时拿不定主意，就问旁边的梁副局长：“梁局长，你怎么看？”梁局长说“这事要证明是王五干的，还得弄清那袋子里装的是不是刚摘的苹果，还要看看地里的脚印是不是王五的才行.如果袋子里装的是刚摘的苹果，且地里的脚印是王五的，那就一定是他偷的.”从结论出发，逆着寻找所需要的条件的思考过程，叫分析.在分析的过程中，如果发现所需要的条件，都已具备或可从已知条件中推得.那么证明就很容易了.探究新知 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.注意：证明的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.证明的概念探究新知 确定一个命题是假命题的方法：例如，要判定命题“相等的角是对顶角”是假命题，可以举出如下反例：如图，OC是∠AOB的平分线，∠1=∠2，但它们不是对顶角.））12AOCB只要举出一个例子（反例）：它符合命题的题设，但不满足结论即可.【讨论】如何判定一个命题是假命题呢？举反例探究新知 分析：要证明AB，CD平行，就需要同位角相等的条件，图中∠1与∠3就是同位角.我们只要找到：能说明它们相等的条件就行了.从图中，我们可以发现：∠2与∠3是对顶角，所以∠3=∠2.这样我们就找到了∠1与∠3相等的确切条件了.例如图，∠1=∠2，试说明直线AB，CD平行.素养考点1利用证明推理解决问题探究新知证明：∵∠2与∠3是对顶角，∴∠3=∠2.又∵∠1=∠2,∴∠1=∠3.∴AB∥CD.BDCEAF123 如图所示，直线AB和直线CD，直线BE和直线CF都被直线BC所截，在下面三个式子中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并写出对应的推理过程①AB∥CD，②BE∥CF，③∠1＝∠2题设(已知)；.结论(求证)：.①②③巩固练习 理由：证明：∵AB∥CD，∠ABC＝∠DCB，又∵BE∥CF.∴∠EBC＝∠FCB.∵∠ABC－∠EBC＝∠DCB－∠FCB，∴∠1＝∠2.巩固练习 数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.两点确定一条直线.两点间线段最短.经过直线外的一点有且仅有一条直线与已知直线平行.直线公理：线段公理：平行线公理：公理的概念探究新知知识点5公理和定理的概念 有些命题是基本事实，还有些命题它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.定理也可以作为继续推理的依据.同角或等角的补角相等.（2）余角的性质：同角或等角的余角相等.（4）垂线的性质：①在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（1）补角的性质：（3）对顶角的性质：对顶角相等.②垂线段最短.学过的定理：定理的概念探究新知 例已知：b∥c，a⊥b．求证：a⊥c．证明：∵a⊥b（已知）,∴∠1=90°（垂直的定义）.又∵b∥c（已知）,∴∠2=∠1=90°（两直线平行，同位角相等）.∴a⊥c（垂直的定义）.abc12探究新知素养考点1利用公理定理进行推理 填空:已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：EG∥FH．证明：∵∠1=∠2（已知）,∠AEF=∠1（）,∴∠AEF=∠2（）．∴AB∥CD（）．∴∠BEF=∠CFE（）．∵∠3=∠4（已知）,∴∠BEF－∠4=∠CFE－∠3．即∠GEF=∠HFE（）．∴EG∥FH（）．对顶角相等等量代换同位角相等，两直线平行两直线平行，内错角相等等式性质内错角相等，两直线平行巩固练习 给出下列说法:(1)两条直线被第三条直线所截,同位角相等;(2)平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交,则它与另一条也相交;(3)相等的两个角是对顶角;(4)从直线外一点到这条直线的垂线段,叫做这点到直线的距离.其中正确的命题有(　　)A.0个B.1个C.2个D.3个B√×××连接中考 1.如图所示，从①∠1＝∠2②∠C＝∠D③∠A＝∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.3D课堂检测基础巩固题 2.下列命题：①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③对顶角相等；④内错角相等；其中真命题的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个C课堂检测 3.下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是锐角”是假命题的反例的是()A.∠A＝30°，∠B＝40°B.∠A＝30°，∠B＝110°C.∠A＝30°，∠B＝70°D.∠A＝30°，∠B＝90°C课堂检测 4.下列命题是真命题的是()A.相等的角是对顶角B.如果一个数能被3整除，那么它也能被6整除C.同旁内角互补D.同位角相等，两直线平行D课堂检测 5.如图所示，已知AC与BD相交于点O，OE是∠AOD的平分线，可以作为假命题“相等的角是对顶角”的反例的是()A.∠AOB＝∠DOCB.∠EOC＜∠DOCC.∠EOB＝∠EOCD.∠EOC＞∠DOCC课堂检测 6.在下面的括号内，填上推理的依据.如图，AB∥CD,CB∥DE,求证：∠B+∠D=180°证明：∵AB∥CD,∴∠B=∠C().∵CB∥DE,∴∠C+∠D=180°().∴∠B+∠D=180°().等量代换两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补课堂检测ABCDE (1)如图所示，若∠1＝∠2，则AB∥CD，试判断该命题的真假：(填“真”或“假”).(2)若上述命题为真命题，请说明理由，若上述命题为假命题，请你再添加一条件，使该命题成为真命题，并说明理由.假解：加条件：BE∥FD.理由如下：∵BE∥FD，∴∠EBD＝∠FDN(两直线平行，同位角相等).又∵∠1＝∠2，∴∠ABD＝∠CDN.∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行).能力提升题课堂检测 证明：∵AB∥CD(已知)，∴∠BPQ＝∠CQP(两直线平行,内错角相等)．又∵PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP(已知)，∴∠GPQ＝∠BPQ,∠HQP＝∠CQP(角平分线的定义)，∴∠GPQ＝∠HQP(等量代换)，∴PG∥HQ(内错角相等，两直线平行)．如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被直线MN所截，交点分别为P，Q，PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP，求证：PG∥HQ.ABCDMNPQHG拓广探索题课堂检测 真命题假命题公理定理（只需举一个反例）（不需证明）（由推理证实）1.命题的定义:2.命题的组成:3.命题的分类：判断一件事情的句子题设和结论课堂小结 课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习