19.2一次函数19.2.3一次函数与方程、不等式人教版数学八年级下册 今天数学王国搞了个家庭聚会，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时来了“x+y=5”.二元一次方程一次函数x+y=5到我这里来到我这里来导入新知这是怎么回事？x+y=5应该坐在哪里呢？ 1.认识一次函数与一元（二元）一次方程（组）、一元一次不等式之间的联系．2.会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义.素养目标3.经历用函数图象表示方程、不等式解的过程，进一步体会“以形表示数，以数解释形”的数形结合思想. 我们先来看下面两个问题：（1）解方程2x+20=0.（2）当自变量x为何值时函数y=2x+20的值为0？问题：1.对于2x+20=0和y=2x+20，从形式上看，有什么相同和不同？2.从问题本质上看，（1）和（2）有什么关系？探究新知知识点1一次函数与一元一次方程 作出函数y=2x+20的图象.【思考】函数图象哪一个点的坐标表示函数值为0?与x轴的交点(-10,0).即当x=-10时，函数y=2x+20的值为0，这说明方程2x+20=0的解是x=-10.方程的解是函数与x轴的交点的横坐标.20-100xy问题(1)解方程2x+20=0，得x=-10.所对应的（）为何值？实质上这可以通过解方程2x+20=0,得出x=-10.因此，这两个问题实际上是同一个问题.问题(2)就是要考虑当函数y=2x+20的值为（）时，自变量x0从图象上看：探究新知 【思考】由上面两个问题的关系，能进一步得到解方程ax+b=0（a，b为常数）与求自变量x为何值时，一次函数y=ax+b的值为0有什么关系？探究新知由上面问题可以得到,一元一次方程的求解与解相应的一次函数问题相一致.由于任何一个一元一次方程都可转化ax+b=0(a,b为常数,a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数值y为0时，求相应的自变量x的值.从图象上看,这相当于已知直线y=ax+b,确定它与x轴交点的横坐标的值. 求ax+b=0(a,b是常数，a≠0)的解x为何值y=ax+b的值为0求ax+b=0(a,b是常数，a≠0)的解确定直线y=ax+b与x轴交点的横坐标从数的角度看从形的角度看探究新知一次函数与一元一次方程的关系 以下的一元一次方程与一次函数问题是同一问题序号一元一次方程问题一次函数问题1解方程3x－2=0当x为何值时,y=3x－2的值为02解方程8x+3=03当x为何值时,y=-7x+2的值为04解方程3x-2=8x+3当x为何值时,y=8x+3的值为0解方程-7x+2=0当x为何值时,y=-5x-5的值为0巩固练习 例一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度为17米/秒？(从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答)解法1：设再过x秒它的速度为17米/秒，由题意得2x+5=17,解得x=6.答：再过6秒它的速度为17米/秒.探究新知素养考点1利用一次函数、方程及图象解答问题 解法2：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数y=2x+5.由2x+5=17,得2x－12=0.由右图看出直线y=2x－12与x轴的交点为（6，0），得x=6.Oxy6－12y=2x－12探究新知 解法3：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数y=2x+5.由右图可以看出当y=17时，x=6.y=2x+5xyO6175－2.5探究新知 当自变量x的取值满足什么条件时，函数y=2x+8的值满足下列条件？(1)y=0；(2)y=-8.已知方程ax+b=0的解是-2，下列图象一定不是直线y=ax+b的是()0xy0xy0xy0xy-2-2-2-2-2ABCDB(1)x=-4；(2)x=-8.巩固练习解: 【讨论】观察下面3个不等式有什么共同点与不同点？（1）＞2；（2）＜0；（3）＜-1.3个不等式相同的特点是：不等号左边都是；不同点是：不等号及不等号右边分别是，，.20-1探究新知知识点2一次函数与一元一次不等式 【讨论】你能从函数的角度对以上3个不等式进行解释吗？的函数值分别为、、时，求自变量x的取值范围.解释1：这3个不等式相当于在一次函数小于-1大于2小于0探究新知 yxO-2-11212-1-2解释2：在直线上取纵坐标分别满足条件、、的点，看它们的横坐标分别满足什么条件.大于2小于0小于-1探究新知y=3x+2 探究新知归纳总结因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b＞0或ax+b＜0（a≠0）的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的值或时,求自变量x的.取值范围大于0小于0 求kx+b＞0(或<0）(k≠0)的解集y=kx+b的值大于(或小于)0时，x的取值范围从“函数值”看求kx+b＞0(或<0）(k≠0)的解集确定直线y=kx+b在x轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围从“函数图象”看一次函数与一元一次不等式的关系探究新知 例画出函数y=-3x+6的图象，结合图象求：（1）不等式-3x+6>0和-3x+6<0的解集;（2）当x取何值时，y<3?解：作出函数y=-3x+6的图象，如图所示，图象与x轴交于点B(2，0).xOB(2,0)A(0,6)y探究新知素养考点1利用一次函数的图象解一元一次不等式 解：（1）由图象可知，不等式-3x+6>0的解集是图象位于x轴上方的x的取值范围,即x<2；不等式-3x+6<0的解集是图象位于x轴下方的x的取值范围，即x>2；xOB(2,0)A(0,6)31(1,3)y（2）由图象可知，当x>1时，y<3.（1）不等式-3x+6>0和-3x+6<0的解集;（2）当x取何值时，y<3?探究新知 如图，已知直线y=kx+b与x轴交于点(-4,0)，则当y>0时，x的取值范围是（）A.x>-4B.x>0C.x<-4D.x<0C巩固练习yy=kx+bx 已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b＞0的解集是（）A．x＞-2 B．x＜-2C．x＞-1    D．x＜-1B巩固练习-2-1xy0y=kx+b 1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升．两个气球都上升了1h．(1)请用解析式分别表示两个气球所在位置的海拔y(m)与气球上升时间x(min)的函数关系．h1h2气球1海拔高度：y=x+5；气球2海拔高度：y=0.5x+15．探究新知解:知识点3一次函数与二元一次方程组 【讨论】一次函数与二元一次方程有什么关系？一次函数二元一次方程一次函数y=0.5x+15二元一次方程y-0.5x=15二元一次方程y=0.5x+15用方程观点看用函数观点看从式子（数）角度看：探究新知 由函数图象的定义可知：直线y=0.5x+15上的每个点的坐标(x，y)都能使等式y=0.5x+15成立，即直线y=0.5x+15上的每个点的坐标都是二元一次方程y=0.5x+15的解.【讨论】从形的角度看，一次函数与二元一次方程有什么关系？15105-5510Oxyy=0.5x+15探究新知 从数的角度看：就是求自变量为何值时，两个一次函数y=x+5，y=0.5x+15的函数值相等，并求出函数值．解方程组y=x+5y=0.5x+15h1h2(2)什么时刻，1号气球的高度赶上2号气球的高度？这时的高度是多少？请从数和形两方面分别加以研究.气球1海拔高度：y=x+5气球2海拔高度：y=0.5x+15探究新知 二元一次方程组的解就是相应的两个一次函数图象的交点坐标．A（20，25）302520151051020y=x+5y=0.5x+15155Oxy从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？探究新知 探究新知归纳总结一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线．方程组的解对应两条直线交点的坐标. 观察函数图象，直接回答下列问题：（1）在什么时候，1号气球比2号气球高？（2）在什么时候，2号气球比1号气球高？气球1海拔高度：y=x+5气球2海拔高度：y=0.5x+15（1）20min后，1号气球比2号气球高.（2）0~20min时，2号气球比1号气球高.探究新知 例如图，求直线l1与l2的交点坐标.分析：由函数图象可以求直线l1与l2的解析式，进而通过方程组求出交点坐标.探究新知素养考点1一次函数的图象与二元一次方程组 解方程组y=2x+2，y=-x+3，解：因为直线l1过点(-1，0)，(0，2)，用待定系数法可求得直线l1的解析式为y=2x+2.同理可求得直线l2的解析式为y=-x+3.得即直线l1与l2的交点坐标为探究新知 如图，一次函数y=ax+b与y=cx+d的图象交于点P，则方程组的解是多少？解：此方程组的解是123-1-2-3-1-3-4-52O-214-6xyPy=ax+by=cx+d巩固练习 B1.若以二元一次方程x+2y﹣b=0的解为坐标的点（x，y）都在直线上，则常数b=（　　）A．B．2C．﹣1D．12.如图所示，直线l1：与直线l2：交于点P（﹣2，3），不等式的解集是（　　）A．x＞﹣2B．x≥﹣2C．x＜﹣2D．x≤﹣2A连接中考 1.直线与x轴的交点是（ ）A．（0，-3）B．（-3，0）C．（0，3）D．（0，-3）2.方程的解是，则函数在自变量x等于时的函数值是8.Bx=22基础巩固题课堂检测 3.直线在坐标系中的位置如图，则方程的解是x=___.-22xy0-2课堂检测0 4.根据图象，你能直接说出一元一次方程的解吗？解：由图象可知x+3=0的解为x=−3．3xy0-3从“形”上看直线y=x+3的图象与x轴交点坐标为（-3,0），这说明方程x＋3＝0的解是x=-3.课堂检测0 5.当自变量取何值时，函数与的值相等？这个函数值是多少？解：由已知可得：2.5x+1=5x+17,解得：x=-6.4y=5×(-6.4)+17y=-15课堂检测 6.用函数图象来解5x+6>3x+10.解：化简，得2x-4>0.画出直线y=2x-4的图象.-42yx0y=2x-4可以看出，当x＞2时，这条直线上的点在x轴的上方，即这时y=2x-4>0.所以不等式的解集是x>2.课堂检测 一次函数y1=4x+5与y2=3x+10的图象如图所示,则4x+5>3x+10的解集是（）A.x<5B.x>5C.x>-5D.x>251B课堂检测能力提升题y=4x+5y=3x+10xy 直线y=3x+6与x轴的交点的横坐标的值是方程2x+a=0的解，求a的值.解：由题意可得：当直线y=3x+6与x轴相交时，y=0则3x+6=0,解得：x=-2,当x=-2时，2×(-2)+a=0，解得：a=4.课堂检测拓广探索题 一次函数与方程、不等式解一元一次方程对应一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标.解一元一次不等式对应一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围，即在x轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围.解二元一次方程组求对应两条直线交点的坐标.课堂小结 课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习 七彩课堂伴你成长