18.1平行四边形18.1.2平行四边形的判定（第2课时）人教版数学八年级下册 取两根等长的木条AB,CD，将它们平行放置，再用两根木条BC,AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？导入新知DCBA 2.会综合运用平行四边形的判定方法和性质来证明问题.1.掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法.素养目标3.进一步培养学生演绎推理的能力. 以小组讨论的形式探讨这一问题.我们知道两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形.请同学们猜想一下，如果只考虑四边形的一组对边，当它满足什么条件时这个四边形是平行四边形？探究新知知识点平行四边形的判定定理4问题1一组对边平行的四边形是平行四边形吗？如果是，请给出证明，如果不是，请举出反例说明.xk小学学习过的梯形满足一组对边平行的条件，但梯形不是平行四边形. 问题2满足一组对边相等的四边形是平行四边形吗？如图1，这个四边形EFGH满足一组对边EF=HG相等的条件，但它不是平行四边形.探究新知问题3如果一组对边平行，而另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？如图2，等腰梯形属于一组对边平行（上底和下底），而另一组对边相等（两腰），但是等腰梯形不是平行四边形．图2EFGH图1 我们在方格纸上利用手中的木棍，做一个满足一组对边平行且相等的四边形，并判断所做的四边形是否是平行四边形.请你猜想，这个命题成立吗？命题：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．探究新知 命题：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.请你将上述命题改写成已知、求证，并画出图形，然后思考如何证明.已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD.求证：四边形ABCD是平行四边形.探究新知BDAC 证明：方法1：如图，连接AC.∵AB//CD，∴∠1=∠2．又∵AB=CD，AC=CA，∴△ABC≌△CDA．∴BC=DA．∴四边形ABCD是平行四边形．探究新知BDAC21 证明：方法2：∵AB//CD，∴∠1=∠2．又∵AB=CD，AC=CA，∴△ABC≌△CDA．∴∠BCA=∠DAC．∴AD//BC．∴四边形ABCD是平行四边形．如图，连接AC．探究新知BDAC21 平行四边形的判定定理4：在四边形ABCD中，∵AB//CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形．符号语言：提示：同一组对边平行且相等.探究新知BDAC一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，EB//FD．又∵EB=AB，FD=CD，∴EB=FD．∴四边形EBFD是平行四边形．例1如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：四边形EBFD是平行四边形.探究新知素养考点1直接利用平行四边形的判定定理4判定平行四边形证明： ABCDEF证明：∵四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，∴AD∥EF，AD=EF，EF∥BC，EF=BC.∴AD∥BC，AD=BC.∴四边形ABCD是平行四边形.四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形.巩固练习 例2如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．求证：四边形BFCE是平行四边形．∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，在△ACE和△DBF中，AC＝DB,∠A＝∠D,AE＝DF,∴△ACE≌△DBF(SAS).∴CE=BF，∠ACE=∠DBF.∴CE∥BF.∴四边形BFCE是平行四边形．素养考点2探究新知平行四边形的判定定理4和全等三角形判定平行四边形证明： 如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE．（1）求证：△ACD≌△CBE.（2）求证：四边形CBED是平行四边形．证明：（1）∵点C是AB的中点，∴AC=BC.在△ADC与△CEB中，AD＝CE,CD＝BE,AC＝CB,∴△ADC≌△CEB（SSS）.（2）∵△ADC≌△CEB，∴∠ACD=∠CBE.∴CD∥BE.又∵CD=BE，∴四边形CBED是平行四边形．巩固练习 例3如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DF∥BC，EF∥AC，试问BF与CE相等吗？为什么？探究新知素养考点3平行四边形的性质和判定的综合题目解：BF＝CE．理由如下：∵DF∥BC，EF∥AC，∴四边形FECD是平行四边形，∠FDB=∠DBE.∴FD=CE.∵BD平分∠ABC，∴∠FBD=∠EBD.∴∠FBD=∠FDB.∴BF=FD.∴BF＝CE. 如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，EF，BF，写出图中除▱ABCD以外的所有的平行四边形.解：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC，AD=BC.∵E，F分别是AB，CD的中点，∴AE=EB=DF=FC.∴四边形ADFE是平行四边形，四边形EFCB是平行四边形，四边形BEDF是平行四边形.巩固练习 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到E，使CE＝BC，连接AE交CD于点F，点F是CD的中点．求证：（1）△ADF≌△ECF;（2）四边形ABCD是平行四边形．连接中考证明：（1）∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠E，∵点F是CD的中点，∴DF＝CF，在△ADF与△ECF中，∴△ADF≌△ECF（AAS）；（2）∵△ADF≌△ECF，∴AD＝EC.∵CE＝BC，∴AD＝BC.∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∠DAF=∠E，DF=CF，∠AFD=∠EFC， 1.已知四边形ABCD中有四个条件：AB∥CD，AB=CD，BC∥AD，BC=AD，从中任选两个，不能使四边形ABCD成为平行四边形的选项是（　　）A．AB∥CD，AB=CDB．AB∥CD，BC∥ADC．AB∥CD，BC=ADD．AB=CD，BC=ADC课堂检测基础巩固题 2.四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有()A．3种B．4种C．5种D．6种BODACB课堂检测 3.在▱ABCD中，E,F分别在BC，AD上，若想要使四边形AFCE为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不可以是（　　）A．AF=CEB．AE=CFC．∠BAE=∠FCDD．∠BEA=∠FCEB课堂检测 4.如图，点E，C在线段BF上，BE=CF，∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，求证：四边形ABED为平行四边形．∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC．即BC=EF．又∵∠B=∠DEF,∠ACB=∠F，∴△ABC≌△DEF.∴AB=DE.∵∠B=∠DEF，∴AB∥DE．∴四边形ABED是平行四边形．课堂检测证明： 如图，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE．求证：四边形BCED′是平行四边形.由题意，得∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E，∵DE∥AD′，∴∠DEA=∠EAD′.∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA.∴∠DAD′=∠DED′.∴四边形DAD′E是平行四边形.∴DE=AD′.课堂检测能力提升题证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=DC.∴CE∥D′B，CE=D′B.∴四边形BCED′是平行四边形. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，BC=15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t(s)．（1）用含t的代数式表示：AP=_____；DP=________；BQ=________；CQ=________；tcm(12-t)cm(15-2t)cm2tcm课堂检测拓广探索题 （2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？解：根据题意有AP=tcm，CQ=2tcm，PD=(12-t)cm，BQ=(15-2t)cm．∵AD∥BC，∴当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形．∴t=15-2t，解得t=5．∴t=5时四边形APQB是平行四边形.课堂检测 解：由PD=(12-t)cm，CQ=2tcm，∵AD∥BC，∴当PD=QC时，四边形PDCQ是平行四边形．即12-t=2t，解得t=4s，∴当t=4s时，四边形PDCQ是平行四边形．（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？课堂检测 平行四边形的判定平行四边形的性质与判定的综合运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形课堂小结 课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习