17.2勾股定理的逆定理（第1课时）人教版数学八年级下册 按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？古埃及人曾用下面的方法得到直角：用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.导入新知 1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、互逆定理的概念、关系及勾股数.2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.素养目标 据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角.这种方法对吗？探究新知知识点1勾股定理的逆定理 345三边分别为3，4，5，满足关系：32+42=52，则该三角形是直角三角形．探究新知 问题1用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？是做一做：下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形(单位：cm).①5，12，13；②7，24，25；③8，15，17．探究新知 下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c:①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.问题2这三组数在数量关系上有什么相同点？①5,12,13满足52+122=132,②7,24,25满足72+242=252,③8,15,17满足82+152=172.问题3古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？∵32+42=52，∴满足.a2+b2=c2探究新知 问题4据此你有什么猜想呢?由上面几个例子，我们猜想：命题2如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.探究新知我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体. 已知：如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，并且.ABbcab证明：作∆A1B1C1,在△ABC和△A1B1C1中，Ca求证：∠C=90°.使∠C1=90°,根据勾股定理，则有∠C=∠C1=90°.探究新知BAB1C1=a，C1A1=b.A1B12=B1C12+C1A12=a2+b2.∵a2+b2=c2,∴A1B1=c，∴AB=A1B1.≌∴∆ABC∆A1B1C1.A1C1B1AB=A1B1.CA=C1A1,BC=B1C1, 符号语言：在△ABC中，若a2+b2=c2则△ABC是直角三角形.探究新知如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.勾股定理的逆定理：bcCaBA 探究新知方法点拨勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形，最长边所对应的角为直角. 例1下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？(1)a=15，b=8，c=17;解：(1)∵152+82=289，172=289，(2)a=13，b=14，c=15.(2)∵132+142=365，152=225，总结：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.探究新知素养考点1利用勾股定理的逆定理判断直角三角形∴152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角.∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，∴这个三角形不是直角三角形. DCDC巩固练习下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是()A.1,2,3B.2,3,4C.4,5,6D.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是()A.三个内角比为1：2：1B.三边之比为1：2：C.三边之比为D.三个内角比为1：2：3 例2若△ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,c=，试说明△ABC是直角三角形.解：∵a+b=4,ab=1,∴a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.又∵c2=14,∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形.探究新知素养考点2勾股定理的逆定理和乘法公式判断三角形 若△ABC的三边a,b,c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.试判断△ABC的形状.解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，∴a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0.即(a－3)²+(b－4)²+(c－5)²=0.∴a=3,b=4,c=5，即a2+b2=c2.∴△ABC是直角三角形.巩固练习 探究新知知识点2勾股数如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.常见勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数. 下列各组数是勾股数的是()A.3，4，6B.6，7，8C.0.3，0.4，0.5D.5，12，13D巩固练习方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可. 命题1如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.命题2如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.看下面的两个命题：探究新知知识点3互逆命题和互逆定理你发现了什么？ 命题1：直角三角形a2+b2=c2命题2：直角三角形a2+b2=c2题设结论它们是题设和结论正好相反的两个命题.发现1两个命题的条件和结论如下所示：发现2两个命题的条件和结论有如下联系：探究新知 归纳总结：一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.探究新知 说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题是真命题吗？（1）两条直线平行，内错角相等；逆命题：内错角相等，两直线平行．真命题．（2）对顶角相等；逆命题：相等的角是对顶角．假命题．（3）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．逆命题：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．真命题．任何一个命题都有逆命题；原命题是真命题，其逆命题不一定是真命题．巩固练习 已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形B连接中考 1.下列各组数是勾股数的是()A.3，4，7B.5，12，13C.1.5，2，2.5D.1，3，52.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形()A.是直角三角形B.可能是锐角三角形C.可能是钝角三角形D.不可能是直角三角形BA课堂检测基础巩固题 3.写出下列命题的逆命题，并判断其逆命题的真假性.(1)如果两个角是直角，那么它们相等.(2)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.(3)如果，那么a≥0.解：(1)如果两个角相等，那么这两个角是直角.假命题.(2)在角的内部，角的平分线上的点到两边的距离相等.真命题.(3)如果a≥0，那么.真命题.课堂检测 4.若△ABC的三边a,b,c满足a:b:c=3:4:5，试判断△ABC的形状.解：设a=3k,b=4k,c=5k(k＞0),∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,∴(3k)2+(4k)2=(5k)2,∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角.课堂检测 A,B,C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向？解：∵AB2+BC2＝122+52=144+25=169，AC2=132=169，∴AB2+BC2=AC2，∴△ABC为直角三角形，且∠B=90°，由于A地在B地的正东方向，所以C地在B地的正北方向.课堂检测能力提升题 解：AF⊥EF.理由如下：设正方形的边长为4a,则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边．如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由．课堂检测拓广探索题∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF. 勾股定理的逆定理内容作用从三边数量关系判定一个三角形是否是直角形三角形.如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.注意最长边不一定是c，∠C也不一定是直角.勾股数一定是正整数课堂小结勾股数互逆命题和互逆定理 课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习