17.1勾股定理（第1课时）人教版数学八年级下册 数学家曾建议用这个图作为与“外星人”联系的信号.导入新知你知道这是为什么吗？ 1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理.2.能用勾股定理解决一些简单问题.素养目标3.通过用多种方法证明勾股定理，培养学生发散思维能力. 相传两千五百年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察一下图案，看看你能发现什么数量关系？探究新知知识点1勾股定理的认识与证明 ABC2.由这三个正方形A，B，C的边长构成的等腰直角三角形三条边长度之间有怎样的特殊关系？【思考】1.三个正方形A，B，C的面积有什么关系？SA+SB=SC探究新知 （图中每个小方格是1个单位面积）A中含有____个小方格，即A的面积是个单位面积．B的面积是个单位面积．C的面积是个单位面积．99189ABC图1结论：图1中三个正方形A，B，C的面积之间的数量关系是:SA+SB=SC【讨论】1.三个正方形A，B，C的面积有什么关系？探究新知 【讨论】2.SA+SB=SC在图2中还成立吗？ABC图2结论：仍然成立.A的面积是个单位面积．B的面积是个单位面积．C的面积是个单位面积．25169（图中每个小方格是1个单位面积）探究新知你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流交流． ABC问题2式子SA+SB=SC能用直角三角形的三边a、b、c来表示吗?问题4那么直角三角形三边a、b、c之间的关系式是:abc至此，我们在网格中验证了:直角三角形两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即SA+SB=SC.a2+b2=c2a2+b2=c2问题1去掉网格结论会改变吗？问题3去掉正方形结论会改变吗？探究新知 命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b,斜边长为c，那么a2+b2=c2.abc猜想：拼图证明是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？光靠实验和猜想还不能把问题彻底搞清楚.这就需要我们对一般的直角三角形进行证明．下面我们就一起来探究，看一看我国古代数学家赵爽是怎样证明这个命题的．探究新知 以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形，把两个正方形如图1连在一起，通过剪、拼把它拼成图2的样子.你能做到吗？试试看.赵爽拼图证明法：c图1黄实朱实朱实朱实朱实图2c小组活动：仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将两个连体正方形，拼成一个新的正方形.探究新知 黄实朱实朱实朱实朱实ba〓MNP剪、拼过程展示：探究新知 “赵爽弦图”黄实朱实朱实朱实朱实cab探究新知∵S大正方形＝c2，S小正方形＝(b-a)2,∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，证明： 毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.探究新知 aaaabbbbcccc∴a2+b2+2ab=c2+2ab，∴a2+b2=c2.证明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,S大正方形=4S直角三角形+S小正方形=4×ab+c2=c2+2ab，探究新知 aabbcc∴a2+b2=c2.美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2+b2=c2.证明：探究新知∵,, 勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.abc勾股弦abc表示为：Rt△ABC中，∠C=90°,则.探究新知ABC ABC勾股定理给出了直角三角形三边之间的关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方.cbaa2+b2=c2a2=c2－b2b2=c2-a2探究新知公式变形 求下列图中字母所表示的正方形的面积.=625225400A22581B=144巩固练习 例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）若a=b=5,求c;（2）若a=1,c=2,求b.解：(1)据勾股定理得(2)据勾股定理得CAB利用勾股定理求直角三角形的边长素养考点1cba探究新知 设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.（1）已知a=6，c=10，求b；（2）已知a=5，b=12，求c；（3）已知c=25，b=15，求a.解：由勾股定理得52+122=c2,c=13;解：由勾股定理得62+b2=102,b=8;解：由勾股定理得a2+152=252,a=20.acb巩固练习abc （1）若a：b=1：2，c=5,求a;（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.例2在Rt△ABC中，∠C=90°.解：(1)设a=x,b=2x,根据勾股定理建立方程得x2+(2x)2=52，解得(2)因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得(2x)2-x2=152，解得提示：已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.探究新知勾股定理和方程相结合求直角三角形的边长素养考点2（舍去）（舍去） 求出下列直角三角形中未知边的长度：68x5x13解：（1）由勾股定理得：=36+64=100x2=62+82x=10;∵x2+52=132∴x2=132-52=169-25=144x=12.（2）由勾股定理得：巩固练习 1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（）A．5B．6C．7D．8A2.如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（　　）A．B．3C．D．5B连接中考E 1.若一个直角三角形的两直角边长分别为9和12，则斜边的长为（）A.13B.17C.15D.182.若一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，则另一直角边长为（）A.8B.40C.50D.363.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a︰b=3︰4，c=100，则a=_____，b=______.CA6080课堂检测基础巩固题 ABCD7cm4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2．49课堂检测 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.解：本题斜边不确定，需分类讨论：当AB为斜边时，如图，当BC为斜边时，如图，43ACB43CAB图图提示：当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.课堂检测能力提升题 已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.解：由勾股定理可得AB2=AC2+BC2=25，即AB=5.根据三角形面积公式，∴AC×BC=AB×CD.∴CD=.ADBC34提示：由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．课堂检测拓广探索题 勾股定理内容在Rt△ABC中，∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.注意在直角三角形中看清哪个角是直角已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论课堂小结证明 课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习