16.1二次根式（第2课时）人教版数学八年级下册 【思考】下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？算术平方根之门平方之门0-4-1aa≥01导入新知我们都是非负数哟！ 【思考】若下列数字想从客厅出来，谁能顺利通过两扇门出来呢？算术平方根之门平方之门0-4-111641aa为任意数【想一想】你发现了什么？导入新知我们都是非负数，可出来之前我们有正数，零和负数. 2.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.素养目标1.经历探索性质=a（a≥0）和=a（a≥0）的过程，并理解其意义，体验归纳、猜想的思想方法.3.了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. （2）什么是一个数的算术平方根？如何表示？（1）什么叫做一个数的平方根？如何表示？一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.若一个正数的平方等于a，则这个数就叫做a的算术平方根.a的平方根是用(a≥0)表示.知识点1（a≥0)性质探究新知 （1）填空：（2）通过（1）的计算，你能确定()²（a≥0）的化简结果吗？说说你的理由.40探究新知2 是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4的非负数，因此有()²=4.同理，分别是的算术平方根.因此,,()²=2()²=()²=0探究新知 的性质：一般地，＝a(a≥0).即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式有意义的前提条件.探究新知归纳： 例1计算：解：积的乘方：（ab）2=a2b2探究新知素养考点1利用的性质进行计算（1）；（2）.（1）;（2）(2)可以用到幂的哪条基本性质呢？ 解:巩固练习计算：（1）;（2）.（1）;（2） 解：探究新知素养考点2利用的性质分解因式总结：本题逆用了在实数范围内分解因式.例2在实数范围内分解因式：（1）4x2-5;(2)m4-6m2+9.（1）;（2）. 巩固练习在实数范围内分解因式：（1）x2-11;(2)x4-14x2+49.解：（1）x2-11=(x+)(x-);(2)x4-14x2+49=(x2-7)2=(x-)2(x+)2. 20.10化简下列根式，想一想知识点2的性质探究新知化简后，你能确定的化简结果吗？ ...平方运算算术平方根20.10...a(a≥0)2...观察两者有什么关系？填一填：＝a(a≥0).探究新知 ...平方运算算术平方根-2-0.1...2...观察两者有什么关系？a(a＜0)【猜一猜】当a＜0时，=？-a探究新知 a(a≥0)-a(a＜0)即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.探究新知归纳：的性质： 解：探究新知素养考点1利用的性质进行计算警示：而3.14＜π，要注意a的正负性.例1化简：（1）;（2）;（3）;（4）.(1);(2);(3);(4). 【讨论】（1）在中，可否去掉“a≥0”？如果去掉“a≥0”,结论将会发生怎样的变化？（2）第二小题中的能否直接使用性质进行化简？探究新知 探究新知方法点拨计算一般有两个步骤:①去根号及被开方数的指数,写成绝对值的形式,即;②去掉绝对值符号,即. 请同学们快速分辨下列各题的对错．（）××√√巩固练习（）（）（） 37481巩固练习化简：（1）=;（2）=;（3）=;（4）=;（5）=______;（6）=_______.0.610-3 【议一议】如何区别与？从运算顺序看从取值范围看从运算结果看先开方,后平方先平方，后开方a≥0a取任何实数a|a|意义表示一个非负数a的算术平方根的平方表示一个实数a的平方的算术平方根探究新知 解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0，∴原式=|a|-|b|+|a-b|=-a-b-（a-b）=-2a.例2实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:ab探究新知素养考点2几何图形与的性质相结合的题目 -1012a实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果是.1巩固练习实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示,化简的结果是(　　)A.-2a+bB.2a-bC.-bD.bAab0 （1）含有数或表示数的字母；（2）用基本运算符号连接数或表示数的字母．（a≥0）回顾我们学过的式子，如，这些式子有哪些共同特征？知识点3代数式的定义探究新知 用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把或连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.数表示数的字母【想一想】到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？代数式整式分式二次根式探究新知归纳： 探究新知素养考点1利用代数式的定义判断代数式例1下列式子:(1)x;(2)a-b;(3);(4);(5)m=1+n;(6)2x>1;(7)-2.其中是代数式的有()A.4个B.5个C.6个D.7个B 下列式子是代数式的有()①a2+b2;②;③13;④x=2;⑤3×（4－5）;⑥x－1≤0;⑦10x+5y=15;⑧A.3个B.4个C.5个D.6个C巩固练习 解：（1）船在这条河中顺水行驶的速度是km/h，逆水行驶的速度是km/h．例2（1）一条河的水流速度是2.5km/h，船在静水中的速度是vkm/h，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度；（2）如图，小语要制作一个长与宽之比为5:3的长方形贺卡，若面积为S，用代数式表示出它的长.（2）设贺卡的长为5x,则宽为3x.依题意得15x2=S，所以所以它的长为探究新知素养考点2列代数式 探究新知列代数式的要点：①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；②理清语句层次明确运算顺序；③牢记一些概念和公式．方法点拨 如图，是一个圆形挂钟，正面面积为S，用代数式表示出钟的半径为__________.巩固练习 42.下列等式正确的是（　　）A．B．C．D．A1.计算的结果是____．连接中考 C2.当1<x<3时，的值为（）A.3B.-3C.1D.-1D课堂检测基础巩固题B3.在下列各式中，不是代数式的是（　　）A.7B.3＞2C.D．1.化简的结果是（　　）A．﹣2B．±2C．2D．4 4.计算：解:课堂检测（1）;（2）;（3）;（4）.（1）;（2）;（3）;（4）. 5.在实数范围内分解因式：解：课堂检测（1）x2-3;(2)y4-4y2+4.（1）x2-3=;(2)y4-4y2+4=(y2-2)2==. 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：.解：根据数轴可知b＜a＜0，∴a+2b＜0，a-b＞0，则=|a+2b|+|a-b|=-a-2b+a-b=-3b．能力提升题课堂检测ab0 已知a、b、c是△ABC的三边长，化简：解：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴a+b+c＞0，b+c＞a，b+a＞c，∴原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|=a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c）=a+b+c-b-c+a+b+a-c=3a+b-c．分析：利用三角形三边关系三边长均为正数，a+b+c＞0两边之和大于第三边，b+c-a＞0，c-b-a＜0课堂检测拓广探索题 二次根式性质(a≥0)拓展性质课堂小结（a为全体实数） 课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习