16.1二次根式（第1课时）人教版数学八年级下册 电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径r（单位：km）之间存在近似关系，其中地球半径R≈6400km．如果两个电视塔的高分别是h1km、h2km，那么它们的传播半径之比是.公式中中的表示什么意义？式子表示什么？导入新知 1.理解二次根式的概念.2.掌握二次根式有意义的条件，能运用二次根式的概念求被开方数中字母的取值范围.素养目标3.会利用二次根式的双重非负性解决相关问题. （1）面积为3的正方形的边长为_______，面积为S的正方形的边长为_______．（2）一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为______m．（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含有h的式子表示t，则t为_____．探究新知知识点1二次根式的定义和有意义的条件用带根号的式子填空，看一看写出的结果有何特点: （1）这些式子分别表示什么意义？分别表示3，S，65，的算术平方根．①根指数都为2;②被开方数为非负数.（2）这些式子有什么共同特征？探究新知在前面的问题中，得到的结果分别是：，，，． 根据你的理解，猜想一下二次根式的定义应该有哪些条件？我们知道，一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方的时候，被开方数只能是正数或0.探究新知 一般地，我们把形如的式子叫做二次根式.“”称为二次根号.两个必备特征①外貌特征：含有“”②内在特征：被开方数a≥0注意：a可以是数，也可以是式.探究新知归纳总结 例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+4属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.是否含二次根号被开方数是不是非负数二次根式不是二次根式是是否否分析：探究新知素养考点1利用二次根式的定义识别二次根式（1）；（2）81；（3）；（4）;（5）;（6）；（7）. 下列各式是二次根式吗?是是是是是巩固练习（1）（2）（3）（4）（6）（5）（7）（8）（9）（10）不是不是不是不是不是 例2当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?解：由x-2≥0，得x≥2.当x≥2时，在实数范围内有意义.【思考】1.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解：由题意得x-1＞0，∴x＞1.探究新知素养考点2利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围（1）; 解：∵被开方数需大于或等于零，∴x+3≥0，∴x≥-3.∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1.∴x≥-3且x≠1.归纳小结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.探究新知（2）. 【思考】2.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解：(1)∵无论x为任何实数，∴当x=1时，在实数范围内有意义.(2)∵无论x为任何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0，∴无论x为任何实数，在实数范围内都无意义.探究新知归纳小结：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.（1）（2） (1)单个二次根式如有意义的条件：A≥0；(3)多个二次根式相加如有意义的条件：(2)二次根式作为分式的分母如有意义的条件：A＞0；(4)二次根式与分式的和如有意义的条件：A≥0且B≠0.探究新知归纳总结二次根式有意义的条件应用的不同类型： x取何值时,下列二次根式有意义?巩固练习（1）（2）x≥1x≤0（3）（4）x为全体实数x>0（5）（6）x≥0x≠0x≥-1且x≠2(7)（9）x>0x为全体实数(8) 【新知思考】当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？探究新知知识点2二次根式的双重非负性【回顾思考】二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？因为x²≥0，所以x可以为任意实数.要使x³≥0，必须x≥0.当a＞0时，表示a的算术平方根，因此；当a=0时，表示0的算术平方根，因此.这就是说，当a≥0时，.呢？ 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式，必须满足以下两条：（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；（2）表示一个数或式的算术平方根，可知≥0.探究新知二次根式的双重非负性二次根式的被开方数非负二次根式的值非负归纳总结 解：由题意可知a+3=0,b-2=0,c-1=0,解得a=-3,b=2,c=1.所以2a-b+3c=-3×2-2+3×1=-5.探究新知素养考点1利用二次根式的双重非负性求字母的值例1若，求2a-b+3c的值.提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式. 已知|3x-y-1|和互为相反数，求x+4y的平方根．解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．解得x=1，y=2．∴x+4y=1+2×4=9，∴x+4y的平方根为±3.巩固练习 探究新知素养考点2二次根式的双重非负性和不等式求字母的值例2已知实数x、y满足等式，求x2-2xy+y2的值.解：由题意得解得：x=3.把x=3,代入得y=-5.所以x2-2xy+y2=(x-y)2=(3+5)2=64.总结：若，则根据被开方数大于等于0，可得a=0. 已知y=,求3x+2y的算术平方根.解：由题意得∴x=3，∴y=8，∴3x+2y=3×3＋2×8=25.∵25的算术平方根为5，∴3x+2y的算术平方根为5．巩固练习 C1.使有意义的x的取值范围是（　　）A．x＞3B．x＜3C．x≥3D．x≠3A2.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）A．x≥1且x≠2B．x≤1C．x＞1且x≠2D．x＜1连接中考 3.若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）A．B．C．D．D连接中考 AD-13.当x=____时，二次根式取最小值，其最小值为______．0课堂检测基础巩固题1.下面的式子是二次根式的是(　　)A.B.C.D.a2.二次根式中的x的取值范围是（　　）A．x＜﹣2B．x≤﹣2C．x＞﹣2D．x≥﹣2 4.(1)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______;(2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________.x≥1x≥0且x≠2课堂检测 5.(1)若二次根式有意义，求m的取值范围．解：由题意得m-2≥0且m2-m-2≠0，解得m≥2且m≠-1，m≠2，(2)无论x取任何实数，代数式都有意义，求m的取值范围．解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.课堂检测∴m＞2．∵(x+3)2≥0，∴m-9≥0，即m≥9. 已知a，b为等腰三角形两条边长，且a，b满足，求此三角形的周长．解：由题意得∴a=3，∴b=4.当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．能力提升题课堂检测 先阅读，后回答问题：当x为何值时，有意义？解：由题意得x(x-1)≥0由乘法法则得解得x≥1或x≤0即当x≥1或x≤0时，有意义.课堂检测拓广探索题 体会解题思想后，试着解答：当x为何值时，有意义？解：由题意得则解得x≥2或x＜，即当x≥2或x＜时，有意义．课堂检测 二次根式有意义的条件和非负性二次根式的定义在有意义条件下求字母的取值范围抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式或不等式组求出其解集二次根式的双重非负性二次根式中,a≥0且≥0课堂小结形如的式子叫做二次根式 课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习