27.2相似三角形第一课时第二课时第三课时第四课时人教版数学九年级下册27.2.1相似三角形的判定,平行线分线段成比例定理及其推论第一课时返回,1.相似多边形的特征是什么？2.怎样判定两个多边形相似？3.什么叫相似比？4.相似多边形中，最简单的就是相似三角形．如果∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，，那么△ABC与△A1B1C1相似吗？我们还有其他方法判定两个三角形相似吗？导入新知ABCA1B1C1,1.理解相似三角形的概念，并会用以证明和计算.2.体会用相似符号“∽”表示的相似三角形之间的边，角对应关系.素养目标3.掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应用，会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算.,请分别度量l3,l4,l5.在l1上截得的两条线段AB,BC和在l2上截得的两条线段DE,EF的长度,AB：BC与DE：EF相等吗？任意平移l5,再量度AB,BC,DE,EF的长度,它们的比值还相等吗？????猜想ABCDEFl2探究新知l1除此之外，还有其他对应线段成比例吗？l2l3l4l5知识点1平行线分线段成比例定理若，那么若，那么即,事实上，当l3//l4//l5时，都可以得到，还可以得到，，等.ABCDEFl3l4l5l1l2通过探究，你得到了什么规律呢？探究新知,一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.符号语言：若a∥b∥c，则，，归纳：A1A2A3B1B2B3bca探究新知,1.如何理解“对应线段”？2.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？【想一想】探究新知,1.如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是()A.B.C.D.DACEBDFl2l1l3巩固练习,如图，直线l3∥l4∥l5，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，ABCDEFl4l5l1l2l3把直线l1向左或向右任意平移，这些线段依然成比例.探究新知知识点2平行线分线段成比例定理的推论,【思考】如果把图1中l1,l2两条直线相交，交点A刚好落到l3上，如图2（1），所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？ABCDEFl3l4l5l1l2探究新知图1图2（1）A（D）EFCB,【思考】如果把图1中l1,l2两条直线相交，交点A刚好落到l4上，如图2（2）所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？探究新知图1图2（2）ABCDEFl3l4l5l1l2BCEADl1l2l3l4l5,l2l3l1l3ll平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.ABCDEl2ABCDEl1ll探究新知归纳：,巩固练习2.如图,l1∥l2∥l3，，DE＝6，求DF的长．解：∵l1∥l2∥l3，∴.又∵，DE＝6，∴，解得EF＝4.∴DF＝DE＋EF＝6＋4＝10.l1l2l3,例1如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4，AB=3，EC=1.求AD和BD.∴AE=3.解：∵AC=4，EC=1，∵DE∥BC，∴∴AD=2.25，∴BD=0.75.探究新知素养考点1利用平行线分线段成比例定理及推论求线段,3.如图，在△ABC中，EF∥BC，AE=2cm，BE=6cm，FC=3cm，AF的长为_______．1cm巩固练习,如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.问题1△ADE与△ABC的三个角分别相等吗？问题2分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边长是否对应成比例？BCADE探究新知知识点3相似三角形的判定定理,问题3你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？通过度量，我们发现△ADE∽△ABC，且只要DE∥BC，这个结论恒成立.探究新知BCADE,【思考】1.我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽△ABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？2.由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？探究新知用相似的定义证明△ADE∽△ABCBCADE,ABCDE证明:在△ADE与△ABC中，∠A=∠A∵DE//BC∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C，过E作EF//AB交BC于F,∵四边形DBFE是平行四边形F∴DE=BF∴△ADE∽△ABC探究新知∴∴则已知：如图，在△ABC中，DE//BC，且DE分别交AB，AC于点D、E．求证：△ADE∽△ABC.,“A”型“X”型（图2）DEOBCABCDE（图1）探究新知定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.符号语言：∵DE//BC∴△ADE∽△ABC．,【讨论】过点D作与AC平行的直线与BC相交，可否证明△ADE∽△ABC？如果在三角形中出现一边的平行线，那么你应该联想到什么？【方法总结】过点D作与AC平行的直线与BC相交，仍可证明△ADE∽△ABC，这与教材第31页证法雷同．题目中有平行线，可得相似三角形，然后利用相似三角形的性质，可列出比例式．探究新知,4.已知：如图，AB∥EF∥CD，图中共有___对相似三角形.3CDABEFO相似具有传递性巩固练习,连接中考巩固练习（2018•临安区）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，若AD=4，DB=2，则DE：BC的值为（　　）A．B．C．D．A,1.如图，在△ABC中，EF∥BC，AE=2cm，BE=6cm，BC=4cm，EF长（）AA.1cmB.cmC.3cmD.2cmABCEF课堂检测基础巩固题,2.如图，DE∥BC，，；FG∥BC，，则.ABCEDFG课堂检测基础巩固题,3.如图，在△ABC中，EF∥BC.（1）如果E、F分别是AB和AC上的点，AE=BE=7，FC=4，那么AF的长是多少？ABCEF解：∵∴解得AF=4.课堂检测基础巩固题,(2)如果AB=10，AE=6，AF=5，那么FC的长是多少？解：∵∴基础巩固题解得.ABCEF课堂检测,如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，OC上，且DF∥AC，EF∥BC．求证：OD∶OA＝OE∶OB证明：∵DF∥AC，∵EF∥BC，课堂检测能力提升题,如图，已知菱形ABCD内接于△AEF，AE=5cm，AF=4cm，求菱形的边长.解：∵四边形ABCD为菱形，BCADEF∴CD∥AB，∴设菱形的边长为xcm，则CD=AD=xcm，DF=(4－x）cm，∴解得∴菱形的边长为cm.课堂检测拓广探索题,两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例.相似三角形判定的引理平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.基本事实平行线分线段成比例课堂小结,三边成比例的两个三角形相似第二课时返回ABCDEDEOBC,学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证明对应角相等．对应边相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS、SAS、ASA、AAS）．类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边来判断两个三角形相似呢？探究探究！讨论一下？导入新知,2.会运用“三组对应边的比相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并能进行相关计算与推理.1.复习已经学过的三角形相似的判定定理.素养目标,1.定义法:对应角相等，对应边的比相等的两个三角形相似.如何判断两个三角形是否相似?∵DE∥BC∴△ADE∽△ABCDEABCABCDE2.平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.A型X型探究新知知识点1三边对应成比例的两三角形相似还有没有其他简单的判断方法呢？,是否有△ABC∽△A′B′C′？ABC三边对应成比例探究新知C′B′A′,ABCC′B′A′通过测量不难发现∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，又因为两个三角形的边对应成比例，所以△ABC∽△A′B′C′.下面我们用前面所学的定理证明该结论.探究新知,已知:如图，在△ABC和△A′B′C′中，A′B′:AB=A′C′:AC=B′C′:BC.求证:△ABC∽△A′B′C′证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,A′B′C′ABCDE过点D作DE∥BC交AC于点E.又A′B′:AB=B′C′:BC=C′A′:CA∴AD:AB=AE:AC=DE:BC,△ADE∽△ABC∵AD=A′B′∴AD:AB=A′B′:AB∴DE:BC=B′C′:BC,EA:CA=C′A′:CA.因此DE=B′C′,EA=C′A′.∴△A′B′C′∽△ABC∴△ADE≌△A′B′C′探究新知,由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形相似．归纳：∵，∴△ABC∽△A′B′C.符号语言：探究新知,【讨论】在用三边的比判定两个三角形相似时，如何寻找对应边？【方法点拨】利用三边的比判定两个三角形相似时，应先将两个三角形的三边按大小顺序排列，然后分别计算它们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似．探究新知,例1已知AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm，A′B′=12cm，B′C′=18cm，A′C′=24cm，试说明△ABC∽△A′B′C′.∴△ABC∽△A′B′C′＇探究新知素养考点1利用三边成比例判断三角形相似解：∵∴,探究新知方法点拨判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等，计算时最大边与最大边对应，最短边与最短边对应.,1.在△ABC和△DEF中，如果AB＝4，BC＝3，AC＝6；DE＝2.4，EF＝1.2，FD＝1.6，那么这两个三角形能否相似的结论是______，理由是_________________．2.如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）相似C三组对应边的比相等巩固练习A.①和②B.②和③C.①和③D.②和④,例2如图，在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，且求证：△A′B′C′∽△ABC.证明：由已知条件得AB=2A′B′，AC=2A′C′，∴BC2=AB2－AC2=(2A′B′)2－(2A′C′)2=4A′B′2－4A′C′2=4(A′B′2－A′C′2)=4B′C′2=(2B′C′)2.∴△A′B′C′∽△ABC.∴BC=2B′C′，探究新知素养考点2判断三角形相似,3.如图，△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，求证：△ABC∽△EFD．∴△ABC∽△EFD.证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴∴巩固练习,试说明∠BAD=∠CAE.ADCEB∴ΔABC∽ΔADE∴∠BAC=∠DAE∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC即∠BAD=∠CAE例3如图已知：解：∵探究新知素养考点3利用三角形相似求角相等,解：相等的角有∠BAC=∠DAE，∠B=∠ADE，∠C=∠E，∠BAD=∠CAE.理由如下：在△ABC和△ADE中，∵AB:AD=BC:DE=AC:AE，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠ADE，∠C=∠E.∴∠BAC－∠CAD=∠DAE－∠CAD，∴∠BAD=∠CAE.故图中相等的角有∠BAC=∠DAE，∠B=∠ADE，∠C=∠E，∠BAD=∠CAE.4.如图，已知AB:AD=BC:DE=AC:AE，找出图中相等的角(对顶角除外)，并说明你的理由.ABCDE巩固练习,（2018•临安）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）A．B．C．D．连接中考巩固练习B,1．下列各组三角形一定相似的是（）A．两个直角三角形B．两个钝角三角形C．两个等腰三角形D．两个等边三角形D2.下列判断，不正确的是（）A．两条直角边分别是3、4和6、8的两个直角三角形相似.B．斜边长和一条直角边长分别是、4和、2的两个直角三角形相似.C．两条边长分别是7、4和14、8的两个直角三角形相似.D．斜边长和一条直角边长分别是5、3和2.5、1.5的两个直角三角形相似.C课堂检测基础巩固题,3.如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，下列结论正确的是（）A.△PAB∽△PCAB.△PAB∽△PDAC.△ABC∽△DBAD.△ABC∽△DCAACBPDC课堂检测基础巩固题,4.判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．ABC33.54DFE1.82.12.4课堂检测基础巩固题,解：在△ABC中，AB>BC>CA，在△DEF中，DE>EF>FD.∴△DEF∽△ABC.∵，，，∴.课堂检测基础巩固题DFE1.82.12.4ABC33.54,要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两条边长应当是多少？你有几个答案？方案(1)解：设另外两条边长分别为x,y方案(2)方案(3)课堂检测能力提升题,如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知AB=14千米，AD=28千米，BD=21千米，DC=31.5千米，公路AB与CD平行吗？说出你的理由.ACBD2814214231.5解：公路AB与CD平行.∵∴△ABD∽△BDC，∴∠ABD=∠BDC，∴AB∥DC.课堂检测拓广探索题,三边成比例两个三角形相似利用三边判定两个三角形相似相似三角形的判定定理的运用课堂小结,两边成比例且夹角相等的两个三角形相似第三课时返回B'A'C'BAC,1.两个三角形全等有哪些判定方法？2.我们学习过哪些判定三角形相似的方法？SSS、SAS、ASA、AAS、HL(1)通过定义（三边对应成比例，三角分别相等）(2)平行于三角形一边的直线(3)三边对应成比例导入新知,类似于判定三角形全等的SAS方法，我们能不能通过两边和夹角来判断两个三角形相似呢？探究导入新知,1.探索“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理并且会运用.2.会运用“两边成比例且夹角相等”判定两个三角形相似，并进行相关计算与推理.素养目标,改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？实际上，我们有利用两边和夹角判定两个三角形相似的方法.等于k∠B=∠B'∠C=∠C'改变k的值具有相同的结论利用刻度尺和量角器画△ABC和△A'B'C'，使∠A＝∠A'，量出它们第三组对应边BC和B'C'的长，它们的比等于k吗？另外两组对应角∠B与∠B'，∠C与∠C'是否相等？探究新知知识点1两边成比例且夹角相等的两个三角形相似,A'B'C'ABC∠A＝∠A'如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．类似于证明通过三边判定三角形相似的方法，我们试证明这个结论．△ABC∽△A'B'C'探究新知,已知：如图，△A'B'C'和△ABC中，∠A'=∠A，A'B'：AB=A'C'：AC求证：△A'B'C'∽△ABC证明：在△ABC的边AB、AC（或它们的延长线）上分别截取AD＝A'B'，AE＝A'C'，连结DE，因∠A'=∠A，这样△A'B'C'≌△ADE∴DE//BC∴△ADE∽△ABC∴△A'B'C'∽△ABCA'B'C'ABCDE探究新知,由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．符号语言：∵∠A=∠A′，BACB'A'C'∴△ABC∽△A′B′C′.归纳：探究新知,【思考】对于△ABC和△A′B′C′，如果A′B′:AB=A′C′:AC.∠C=∠C′，这两个三角形一定会相似吗？不一定，如下图，因为能构造符合条件的三角形有两个，其中一个和原三角形相似，另一个不相似.ABCA′B′B″C′探究新知,探究新知归纳总结如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.,已知∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A'＝120°，A'B'＝3cm，A'C'＝6cm，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由.∵又∠A＝∠A'∴△ABC∽△A'B'C'例1探究新知素养考点1利用两边成比例且夹角相等识别三角形相似两三角形的相似比是多少？△ABC∽△A'B'C'.理由如下：解：∴,1.已知∠A=40°，AB=8，AC=15，∠A'=40°，A'B'=16，A'C'=30，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由.解：∴△ABC∽△A'B'C'巩固练习△ABC∽△A'B'C'.理由如下：∴∠A=∠A'又∵∵,解：∵AE=1.5，AC=2，ACBED例2如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且，求DE的长.∴又∵∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△ABC，∴∴探究新知素养考点2利用三角形相似求线段的长度提示：解题时要找准对应边.,2.如图，在△ABC中，AC＞BC，D是边AC上一点，连接BD．（1）要使△CBD∽△CAB，还需要补充一个条件是;（只要求填一个）（2）若△CBD∽△CAB，且AD＝2，,求CD的长．巩固练习ABCD解：（1）CD:CB＝BC:AC（2）设CD＝x,则CA＝x＋2．当△CBD∽△CAB，且AD＝2，,有CD:CB＝BC:AC，即,所以x２＋2x－3＝0．解得x１＝1，x２＝－3．但x２＝－3不符合题意,应舍去．所以CD＝1．,证明：∵CD是边AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°.∴△ADC∽△CDB，∴∠ACD=∠B，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=90°.ABCD例3如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，且，求证：∠ACB=90°．∵探究新知素养考点3利用三角形相似求角方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等.,3.如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，D、E分别是AB、AC上的点，AE：AD＝AB：AC．试问:DE与AB垂直吗?为什么?ABCDE证明：DE⊥AB．理由如下:∵AE：AD＝AB：AC,∴　．又　∠A＝∠A,∴　△ABC∽△AED．∴　∠ADE＝∠C＝90°．∴DE与AB垂直．巩固练习,1.（2017•同仁）如图，已知：∠BAC=∠EAD，AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40．求证：△ABC∽△AED．连接中考巩固练习证明：∵AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40．∵∠BAC=∠EAD，∴△ABC∽△AED．∴，，∴，,1.如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是（）A.AC:BC=AD:BDB.AC:BC=AB:ADC.AB2=CD·BCD.AB2=BD·BCDABCD课堂检测基础巩固题,2.在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=70°，AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm.求证：△DEF∽△ABC.ACBFED证明：∵AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm，又∵∠C=∠F=70°，∴△DEF∽△ABC.∴课堂检测基础巩固题,3.如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE.求证：△ABC∽△ADE.证明：∵AD=AE，AB=AC，∴又∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，∴△ABC∽△ADE.ABCDE课堂检测基础巩固题,如图，在四边形ABCD中，已知∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，，求AD的长．ABCD解：∵AB=6，BC=4，AC=5，，∴又∵∠B=∠ACD，∴△ABC∽△DCA，∴，∴课堂检测能力提升题,如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AB=7.8，BD=4.8，AC=6，AE=3.9，试判断△ADE与△ABC是否相似，某同学的解答如下：解：∵AB=AD+BD，而AB=7.8，BD=4.8，∴AD=7.8-4.8=3.∵∴这两个三角形不相似.你同意他的判断吗？请说明理由.拓广探索题课堂检测,解：他的判断是错误的.∵AB=AD+BD，而AB=7.8，BD=4.8，∴AD=7.8-4.8=3.∵，，∴．又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB．拓广探索题课堂检测,两边成比例且夹角相等的两个三角形相似利用两边及夹角判定三角形相似相似三角形的判定定理的运用课堂小结,两角分别相等的两个三角形相似第四课时返回,观察两副三角尺如图，其中同样角度（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的．一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？导入新知,1.掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法.2.能够运用三角形相似的条件解决简单的问题.素养目标3.掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算与推理.,作△ABC和△A'B'C'，使得∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，这时它们的第三个角满足∠C＝∠C'吗？分别度量这两个三角形的边长，计算，你有什么发现？满足：∠C=∠C'探究新知知识点1两角分别相等的两个三角形相似这两个三角形是相似的,把你的结果与邻座的同学比较，你们的结论一样吗？△ABC和△A'B'C'相似吗？一样△ABC和△A'B'C'相似探究新知你能试着证明△A′B′C′∽△ABC吗？,如图，已知△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A',∠B=∠B'，求证:△ABC∽△A'B'C'证明：在△ABC的边AB（或延长线）上，截取AD=A'B'，过点D作DE//BC，交AC于点E，则有△ADE∽△ABC∵∠ADE=∠B,∠B=∠B'∴∠ADE=∠B'又∵∠A=∠A'，AD=A'B'∴△ADE≌△A'B'C'∴△A'B'C'∽△ABCABCDEA'B'C'探究新知,由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似.∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴△ABC∽△A'B'C'.符号语言：CABA'B'C'归纳：探究新知,例1如图所示，在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝90°，∠A＝∠A′，判断这两个三角形是否相似．C'B'A'CBA解：∵∠B＝∠B′＝90°，∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′探究新知利用两角相等判断三角形相似素养考点1,ABDCACDACBBADC巩固练习1.如图，点D在AB上，当∠＝(或∠＝∠)时，△ACD∽△ABC；,例2弦AB和CD相交于⊙O内一点P,求证:PA·PB=PC·PDACD证明:连接AC、BD∵∠A、∠D都是弧CB所对的圆周角∴∠A=∠D同理:∠C=∠B∴△PAC∽△PDB即PA·PB=PC·PDABPOODCBP探究新知素养考点2利用三角形相似求等积式∴,2.如图，⊙O的弦AB，CD相交于点P，若PA=3，PB=8，PC=4，则PD=.6ODCBAP巩固练习,∴解：∵ED⊥AB，∴∠EDA=90°.又∠C=90°，∠A=∠A，∴△AED∽△ABC.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8.E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为D.求AD的长.DABCE∴探究新知知识点2两直角三角形相似的判定,由此得到一个判定直角三角形相似的方法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似.归纳：探究新知,已知：△ABC∽△A1B1C1.求证：你能证明吗？可要仔细哟！HLABCA1B1C1Rt△ABC和Rt△A1B1C1，探究新知,如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=90°，∠C′=90°，.求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.CAA'BB'C'要证明两个三角形相似，即是需要证明什么呢？目标：探究新知,证明：设，则AB=kA′B′，AC=kA′C′.由，得∴.∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.勾股定理∴CAA'BB'C'探究新知,如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.判定两直角三角形相似的定理HLABC△ABC∽△A1B1C1.即如果那么√A1B1C1Rt△ABC和Rt△A1B1C1.探究新知,例3如图，已知：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，，当AB的长为时，△ACB与△ADC相似．CABD探究新知素养考点1直角三角形相似的判定,解析：∵∠ADC=90°，AD=2，，要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有AC:AD＝AB:AC，即，解得AB=3；∴CABD2探究新知,（2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有AC:CD＝AB:AC，即，解得．∴当AB的长为3或时，这两个直角三角形相似．探究新知CABD2,3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D.若AB=6，AD=2，则AC=，BD=，BC=.18DBCA巩固练习,1.（2018•永州）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC的长为（　　）A．2B．4C．6D．8巩固练习连接中考B,2.（2018•绍兴）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（）A．0.2mB．0.3mC．0.4mD．0.5m连接中考巩固练习C,1.如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD:DE=3:5，AE=8，BD=4，则DC的长等于（）A.B.C.D.ACABDE课堂检测基础巩固题,2.如图，在△ABC和△A'B'C'中，若∠A=60°，∠B=40°，∠A'=60°，当∠C'=时，△ABC∽△A'B'C'.CABB'C'A'80°基础巩固题课堂检测,3.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC.AEFBCD证明:∵DE∥BC，EF∥AB，∴∠AED＝∠C，∠A＝∠FEC.∴△ADE∽△EFC.基础巩固题课堂检测,证明：∵在△ABC中，∠A=40°，∠B=80°，∴∠C=180°－∠A－∠B=60°.∵在△DEF中，∠E=80°，∠F=60°.∴∠B=∠E，∠C=∠F.∴△ABC∽△DEF.4.如图，△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°．求证：△ABC∽△DEF.ACBFED基础巩固题课堂检测,证明：∵△ABC的高AD、BE交于点F，∴∠FEA=∠FDB=90°，∠AFE=∠BFD（对顶角相等）∴△FEA∽△FDB，∴1.如图，△ABC的高AD、BE交于点F．求证：DCABEF课堂检测能力提升题,解：∵∠A=∠A,∠ABD=∠C,∴△ABD∽△ACB,∴AB:AC=AD:AB,∴AB2=AD·AC.∵AD=2,AC=8,∴AB=4.2.已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2,AC=8，求AB.课堂检测能力提升题,如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高，求证：AC·BC=BE·CD.ODCBAE证明：连接CE，又∵BE是△ABC的外接圆O的直径，∴∠BCE=90°=∠ADC，∴∴AC·BC=BE·CD.课堂检测拓广探索题∴△ACD∽△EBC.∵∠A=∠E，∠BCE=∠ADC，则∠A=∠E.,两角分别相等的两个三角形相似利用两角判定三角形相似直角三角形相似的判定课堂小结,课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习