26.2实际问题与反比例函数第一课时第二课时人教版数学九年级下册 实际生活中的反比例函数第一课时返回 你吃过拉面吗？你知道在做拉面的过程中渗透着数学知识吗？（1）体积为20cm3的面团做成拉面，面条的总长度y（单位：cm）与面条粗细（横截面积）s（单位：cm2）有怎样的函数关系？（2）某家面馆的师傅手艺精湛，他拉的面条粗1mm2，面条总长是多少？导入新知（s>0） 1.灵活运用反比例函数的意义和性质解决实际问题.2.能从实际问题中寻找变量之间的关系，建立数学模型，解决实际问题.素养目标3.能够根据实际问题确定自变量的取值范围. 例1市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室.(1)储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）有怎样的函数关系?解：根据圆柱体的体积公式，得Sd=104，∴S关于d的函数解析式为探究新知知识点1利用反比例函数解决实际问题素养考点1利用反比例函数解答几何图形问题 (2)公司决定把储存室的底面积S定为500m2，施工队施工时应该向地下掘进多深?解得d=20（m）.如果把储存室的底面积定为500m²，施工时应向地下掘进20m深.解：把S=500代入，得探究新知 (3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15m时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为15m.相应地，储存室的底面积应改为多少(结果保留小数点后两位)?解得S≈666.67(m²).当储存室的深度为15m时，底面积应改为666.67m².解：根据题意，把d=15代入，得探究新知 第（1）问的解题思路是什么？第（2）问和第（3）问与过去所学的解分式方程和求代数式的值的问题有何联系？方法点拨：第（1）问首先要弄清此题中各数量间的关系，然后根据圆柱的体积公式：圆柱的体积＝底面积×高，由题意知S是函数，d是自变量，改写后所得的函数关系式是反比例函数的形式.第（2）问实际上是已知函数S的值，求自变量d的取值，第（3）问则是与第（2）问相反．探究新知【思考】 1.我们学习过反比例函数，例如，当矩形面积一定时，长a是宽b的反比例函数，其函数关系式可以写为（s为常数，s≠0）．请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数关系式．实例：；函数关系式：．解：本题通过范例，再联系日常生活、生产或学习可以举出许许多多与反比例函数有关的例子来，例如：实例，三角形的面积S一定时，三角形底边长y是高x的反比例函数，其函数关系式可以写为（s为常数，s≠0）．巩固练习 2.如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1L(1L＝1dm3)的圆锥形漏斗．（1）漏斗口的面积S(单位：dm2)与漏斗的深d(单位：dm)有怎样的函数关系?d解：（2）如果漏斗的深为10cm，那么漏斗口的面积为多少dm2？解：10cm=1dm，把d=1代入解析式，得S=3.所以漏斗口的面积为3dm2.巩固练习 (3)如果漏斗口的面积为60cm2，则漏斗的深为多少?解：60cm2=0.6dm2，把S=0.6代入解析式，得d=5.所以漏斗的深为5dm.巩固练习 例2码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间.(1)轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v(单位：吨/天)与卸货天数t之间有怎样的函数关系?解：设轮船上的货物总量为k吨，根据已知条件得k=30×8=240，所以v关于t的函数解析式为探究新知素养考点2利用反比例函数解答运输问题分析：根据“平均装货速度×装货天数=货物的总量”，可以求出轮船装载货物的总量；再根据“平均卸货速度=货物的总量÷卸货天数”，得到v关于t的函数解析式. (2)由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨?从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸载完，则平均每天卸载48吨.而观察求得的反比例函数的解析式可知，t越小，v越大.这样若货物不超过5天卸载完，则平均每天至少要卸载48吨.解：把t=5代入，得探究新知（吨／天） 【讨论】题目中蕴含的等量关系是什么？我们知道“至少”对应于不等号“≥”，那么需要用不等式来解决第（2）问吗？方法点拨：此题类似应用题中的“工程问题”，关系式为工作总量＝工作速度×工作时间，题目中货物总量是不变的，两个变量分别是速度v和时间t，因此具有反比关系．第（2）问涉及了反比例函数的增减性，即当自变量t取最大值时，函数值v取最小值．探究新知 3.学校锅炉旁建有一个储煤库，开学时购进一批煤，现在知道：按每天用煤0.6吨计算，一学期（按150天计算）刚好用完.若每天的耗煤量为x吨，那么这批煤能维持y天.（1）则y与x之间有怎样的函数关系？（2）画出函数图象；（3）若每天节约0.1吨，则这批煤能维持多少天？巩固练习 解：（1）煤的总量为：0.6×150=90（吨），∵x•y=90，∴．（2）函数的图象为：（3）∵每天节约0.1吨煤，∴每天的用煤量为0.6-0.1=0.5（吨），∴（天），∴这批煤能维持180天．巩固练习 例3一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用6小时到达乙地.（1）甲、乙两地相距多少千米？解：80×6=480（千米）答：甲、乙两地相距480千米.（2）当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？解：由题意得vt=480，整理得（t＞0）.探究新知素养考点3利用反比例函数解答行程问题 4.A、B两城市相距720千米，一列火车从A城去B城.（1）火车的速度v（千米/时）和行驶的时间t（时）之间的函数关系是．（2）若到达目的地后，按原路匀速返回，并要求在3小时内回到A城，则返回的速度不能低于．240千米/时巩固练习 （2018•杭州）已知一艘轮船上装有100吨货物，轮船到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为v（单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为t（单位：小时）．（1）求v关于t的函数表达式．（2）若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？巩固练习连接中考 连接中考巩固练习解：（1）由题意可得：100=vt，则；（2）∵不超过5小时卸完船上的这批货物，∴t≤5，则，答：平均每小时至少要卸货20吨． 1．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系为（　　）A．B．v+t=480C．D．A课堂检测基础巩固题 2.体积为20cm3的圆柱体，圆柱体的高为y(单位：cm）与圆柱的底面积S(单位：cm2）的函数关系，若圆柱的底面面积为10mm2，则圆柱的高是cm.200课堂检测基础巩固题 课堂检测基础巩固题3.有x个小朋友平均分20个苹果，每人分得的苹果y（个/人）与x（个）之间的函数是________函数，其函数关系式是_______________．当人数增多时，每人分得的苹果就会减少，这正符合函数（k＞0），当x＞0时，y随x的增大而_______的性质.反比例减少 刘东家离工作单位的距离为7200米，他每天骑自行车上班时的速度为v米/分，所需时间为t分钟．(1)速度v与时间t之间有怎样的函数关系？(2)若刘东到单位用30分钟，那么他骑车的平均速度是多少？能力提升题课堂检测解：解：把t=30代入函数的解析式，得：答：他骑车的平均速度是240米/分. (3)如果刘东骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位?解：把v=300代入函数解析式得：解得：t=24．答：他至少需要24分钟到达单位．能力提升题课堂检测 在某村河治理工程施工过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（天）与每天完成的工程量x（m/天）的函数关系图象如图所示.（1）请根据题意，求y与x之间的函数表达式；5024x(m/天)y(天)O解：课堂检测拓广探索题 (2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠15m，问该工程队需用多少天才能完成此项任务？解：由图象可知共需开挖水渠24×50=1200(m)，2台挖掘机需要1200÷(2×15)=40(天).课堂检测拓广探索题 (3)如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内(按30天计算)完成任务，那么每天至少要完成多少m？解：1200÷30=40(m)，故每天至少要完成40m．课堂检测拓广探索题 实际问题中的反比例函数过程：分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题注意：实际问题中的两个变量往往都只能取非负值；作实际问题中的函数图象时，横、纵坐标的单位长度不一定相同.课堂小结 物理学科中的反比例函数第二课时返回UR~ 给我一个支点，我可以撬动地球！──阿基米德1．你认为可能吗？2．大家都知道开啤酒的开瓶器，它蕴含什么科学道理？3．同样的一块大石头，力量不同的人都可以撬起来，是真的吗？导入新知 2.掌握反比例函数在其他学科中的运用，体验学科的整合思想.1.体验现实生活与反比例函数的关系，通过“杠杆定律”解决实际问题，探究实际问题与反比例函数的关系.素养目标 阻力动力阻力臂动力臂公元前3世纪,古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”:若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比,则杠杆平衡.通俗一点可以描述为:阻力×阻力臂=动力×动力臂探究新知支点 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m.（1）动力F与动力臂l有怎样的函数关系?当动力臂为1.5m时，撬动石头至少需要多大的力?解：根据“杠杆原理”，得Fl=1200×0.5，∴F关于l的函数解析式为对于函数，当l=1.5m时，F=400N，此时杠杆平衡.因此撬动石头至少需要400N的力.探究新知知识点1反比例函数与力学当l=1.5m时，(N) （2）若想使动力F不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少?分析：对于函数，F随l的增大而减小.因此，只要求出F=200N时对应的l的值，就能确定动力臂l至少应加长的量.300－1.5=1.5（m）.对于函数，当l＞0时，l越大，F越小.因此，若想用力不超过400N的一半，则动力臂至少要加长1.5m.探究新知解：当时，由，得 【讨论】1.什么是“杠杆定律”？已知阻力与阻力臂不变，设动力为F，动力臂为L，当F变大时，L怎么变？当F变小时，L又怎么变？2.在第（2）问中，根据第（1）问的答案，可得F≤200，要求出动力臂至少要加长多少，就是要求L的什么值？由此判断我们在使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？探究新知 1.小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为100牛和0.2米，那么动力F和动力臂L之间的函数关系式是________．2.小强欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1000牛顿和0.5米，则当动力臂为1米时，撬动石头至少需要的力为________牛顿．500巩固练习 某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地.当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)也随之变化.如果人和木板对湿地地面的压力合计为600N，那么(1)用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？解：由得p是S的反比例函数，因为给定一个S的值，对应的就有唯一的一个p值和它对应，根据函数定义，则p是S的反比例函数．探究新知 (2)当木板面积为0.2m2时，压强是多少？解：当S＝0.2m2时，故当木板面积为0.2m2时，压强是3000Pa．探究新知 (3)如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？解：当p=6000时，由得对于函数，当S＞0时，S越大，p越小.因此，若要求压强不超过6000Pa，则木板面积至少要0.1m2.探究新知 (4)在直角坐标系中，作出相应的函数图象．20000.10.5O0.60.30.20.410003000400050006000S/m2p/Pa解：如图所示.探究新知 3.在对物体做功一定的情况下，力F（单位：N）与此物体在力的方向上移动的距离s（单位：m）成反比例关系，其图象如图所示，点P（5，1）在图象上，则当力F达到10N时，物体在力的方向上移动的距离是________m.巩固练习0.5 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110～220Ω.已知电压为220V，这个用电器的电路图如图所示.(1)功率P与电阻R有怎样的函数关系?解：根据电学知识，当U=220时，得探究新知知识点2反比例函数与电学U~R (2)这个用电器功率的范围是多少?解：根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小.把电阻的最小值R=110代入求得的解析式，得到功率的最大值把电阻的最大值R=220代入求得的解析式，得到功率的最小值因此用电器功率的范围为220~440W.探究新知 【讨论】根据物理知识可以判断：当用电器两端的电压一定时，用电器的输出功率与它的电阻之间呈什么关系？这一特征说明用电器的输出功率与它的电阻之间满足什么函数关系？探究新知 解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，进一步根据题意求解答案．其中往往要用到电学中的公式PR＝U2，P指用电器的输出功率（瓦），U指用电器两端的电压（伏），R指用电器的电阻（欧姆）．探究新知方法点拨 4.在公式中，当电压U一定时，电流I与电阻R之间的函数关系可用图象大致表示为（）D巩固练习ABCD 5.在某一电路中，保持电压不变，电流I(安培)和电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R＝5欧姆时，电流I＝2安培．(1)求I与R之间的函数关系式；(2)当电流I＝0.5时，求电阻R的值．解：(1)设∵当电阻R=5欧姆时，电流I=2安培，∴U=10．∴I与R之间的函数关系式为(2)当I=0.5安培时，，解得R=20(欧姆)．巩固练习 1.（2018•聊城）春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒．在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过5min的集中药物喷洒，再封闭宿舍10min，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y（mg/m3）与药物在空气中的持续时间x（min）之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示．下面四个选项中错误的是（　　）巩固练习连接中考CA．经过5min集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到10mg/m3B．室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11minC．当室内空气中的含药量不低于5mg/m3且持续时间不低于35分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．此次消毒完全有效D．当室内空气中的含药量低于2mg/m3时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到2mg/m3开始，需经过59min后，学生才能进入室内 1.如果等腰三角形的底边长为x，底边上的高为y，则它的面积为定值S时，y与x的函数关系为（）A.B.C.D.C课堂检测基础巩固题 2.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应()A.不大于B.小于C.不小于D.大于CO60V/m3p/kPa1.6课堂检测基础巩固题 C课堂检测3.某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例.下图表示的是该电路中电流I与电阻R之间的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（）基础巩固题 4.受条件限制，无法得知撬石头时的阻力，小刚选择了动力臂为1.2米的撬棍，用了500牛顿的力刚好撬动；小明身体瘦小，只有300牛顿的力量，他该选择动力臂为的撬棍才能撬动这块大石头呢.2米课堂检测基础巩固题 如图所示，重为8牛顿的物体G挂在杠杆的B端，O点为支点，且OB=20cm．（1）根据“杠杆定律”写出F与h之间的函数解析式；（2）当h=80cm时，要使杠杆保持平衡，在A端需要施加多少牛顿的力？能力提升题课堂检测 解：（1）F•h=8×20=160所以（2）当h=80cm时，所以在A端需要施加2牛顿的力.课堂检测能力提升题 蓄电池的电压为定值．使用此电源时，电流I(A)是电阻R(Ω)的反比例函数，其图象如图所示．(1)求这个反比例函数的表达式；解：设，把M(4，9)代入得k=4×9=36.∴这个反比例函数的表达式为.O9I(A)4R(Ω)M(4，9)课堂检测拓广探索题 (2)当R=10Ω时，电流能是4A吗？为什么？解：当R=10Ω时，I=3.6≠4，∴电流不可能是4A．课堂检测拓广探索题 物理学科中的反比例函数知识小结与其他知识的综合思想方法小结建模—反比例函数的数学思想方法“杠杆原理”：动力×动力臂=阻力×阻力臂与力学的综合与电学的综合课堂小结 课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习