26.1反比例函数第一课时第二课时人教版数学九年级下册26.1.2反比例函数的图象和性质 初步认识反比例函数的图象和性质第一课时返回 导入新知（2）试一试，你能在坐标系中画出这个函数的图象吗？刘翔在2004年雅典奥运会110m栏比赛中以12.91s的成绩夺得金牌，被称为中国“飞人”.如果刘翔在比赛中跑完全程所用的时间为ts，平均速度为vm/s.（1）你能写出用t表示v的函数表达式吗? 2.结合图象分析并掌握反比例函数的性质.1.会用描点法画反比例函数的图象.素养目标3.体会函数的三种表示方法，领会数形结合的思想方法. 画出反比例函数与的图象.探究新知知识点1反比例函数的图象和性质【想一想】用“描点法”画函数图象都有哪几步？列表描点连线 解：列表如下：x…－6－5－4－3－2－1123456……………－1－1.2－1.5－2－3－66321.51.21－2－2.4－3－4－66432.42探究新知－1212注：x的值不能为零，但可以以零为基础，左右均匀、对称地取值。 O－2描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出各点．56xy4321123456－3－4－1－5－6－1－2－3－4－5－6连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得的图象．探究新知 x增大O－256xy4321123456－3－4－1－5－6－1－2－3－4－5－6观察这两个函数图象，回答问题：【思考】(1)每个函数图象分别位于哪些象限？(2)在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？y减小探究新知 (3)对于反比例函数(k＞0)，考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗？Oxy探究新知 （1）由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限，它们与x轴、y轴都不相交；（2）在每个象限内，y随x的增大而减小.反比例函数(k＞0)的图象和性质：归纳：探究新知Oxy 1.(1)函数图象在第_______象限，在每个象限内，y随x的增大而______.一、三减小巩固练习(2)已知反比例函数在每一个象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围是_____.m＞2 A.y1>y2B.y1=y2C.y1<y2D.无法确定C例1反比例函数的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且点A，B均在该函数图象的第一象限部分，若x1＞x2，则y1与y2的大小关系为（　　）解析：因为8＞0，且A，B两点均在该函数图象的第一象限部分，根据x1＞x2，可知y1，y2的大小关系.探究新知素养考点1利用反比例函数的性质比较大小 观察与思考当k=－2，－4，－6时，反比例函数的图象，有哪些共同特征？yxOyxOyxO探究新知 回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数(k＞0)的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数(k＜0)的图象和性质吗？yxOyxOyxO探究新知 反比例函数(k＜0)的图象和性质：（1）由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限，它们与x轴、y轴都不相交；（2）在每个象限内，y随x的增大而增大.归纳：探究新知yxO 反比例函数的图象和性质形状位置增减性图象的发展趋势对称性由两支曲线组成的.因此称它的图象为双曲线;当k>0时,两支双曲线分别位于第一、三象限内;当k<0时,两支双曲线分别位于第二、四象限内;当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小;当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大.反比例函数的图象无限接近于x、y轴,但永远不能到达x、y轴.（1）反比例函数的图象是轴对称图形，也是中心对称图形.直线y=x和y=-x都是它的对称轴；（2）反比例函数与的图象关于x轴对称,也关于y轴对称.探究新知 2.（1）已知点A（－3，a），B（－2，b），在双曲线，则a___b(填>、=或<).>巩固练习（2）已知点(-1,y1),(2,y2),(3,y3)在反比例函数（k≠0)的图象上,则下列结论中正确的是(　　)A.y1>y2>y3B.y1>y3>y2C.y3>y1>y2D.y2>y3>y1B 例2已知反比例函数，在每一象限内，y随x的增大而增大，求a的值.解：由题意得a2+a－7=－1，且a－1<0．解得a=－3.探究新知素养考点2利用反比例函数的图象和性质求字母的值 3.已知反比例函数在每个象限内，y随着x的增大而减小，求m的值．解：由题意得m2－10=－1，且3m－8＞0．解得m=3.巩固练习 1.（2018•怀化）函数y=kx﹣3与（k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（　　）A．B．C．D．巩固练习连接中考B 连接中考2.（2018•德州）给出下列函数：①y=﹣3x+2；②；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条件“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大”的是（　　）A．①③B．③④C．②④D．②③巩固练习连接中考B 1.（2018•香坊区）对于反比例函数，下列说法不正确的是（　　）A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上B．它的图象在第一、三象限C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＜0时，y随x的增大而减小C课堂检测基础巩固题 2.（2018•上海）已知反比例函数（k是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是________．3.下列关于反比例函数的图象的三个结论：(1)经过点(－1，12)和点(10，－1.2)；(2)在每一个象限内，y随x的增大而减小；(3)双曲线位于二、四象限.其中正确的是(填序号).(1)k＜1课堂检测基础巩固题(3) 1.已知点都在反比例函数的图象上,则y1、y2与y3的大小关系(从大到小)为.A(-2,y1),B(-1,y2),C(4,y3)y3＞y1＞y2课堂检测能力提升题 2.已知反比例函数y=mxm²－5，它的两个分支分别在第一、第三象限，求m的值.解：因为反比例函数y=mxm²－5的两个分支分别在第一、第三象限，所以有m2－5=－1，m＞0，解得m=2.课堂检测能力提升题 点(a－1，y1)，(a＋1，y2)在反比例函数(k＞0)的图象上，若y1＜y2，求a的取值范围.解：由题意知，在图象的每一支上，y随x的增大而减小.∴a－1＞a+1，无解；②当这两点分别位于图象的两支上时，∵y1＜y2，∴必有y1＜0＜y2.∴a－1＜0，a+1＞0，解得：－1＜a＜1.故a的取值范围为：－1＜a＜1．课堂检测拓广探索题①当这两点在图象的同一支上时，∵y1＜y2， 解析式图象所在象限渐进性k>0，一、三象限双曲线k﹤0，二、四象限xyoxyo当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小当k﹤0时,在每一象限内,y随x的增大而增大增减性双曲线的两支无限靠近坐标轴，但无交点对称性既是轴对称图形也是中心对称图形与的图象关于x轴对称,也关于y轴对称课堂小结或或 反比例函数的图象和性质的综合运用第二课时返回 二、四象限一、三象限函数正比例函数反比例函数解析式图象形状K>0K<0位置增减性位置增减性y=kx(k≠0)直线双曲线y随x的增大而增大一、三象限在每个象限，y随x的增大而减小二、四象限y随x的增大而减小在每个象限，y随x的增大而增大正比例函数和反比例函数的区别用对比的方法去记忆效果如何？导入新知yxoyxooyxoyx 3.深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法.1.理解反比例函数的系数k的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中.2.能解决反比例函数与一次函数的综合问题．素养目标 已知反比例函数的图象经过点A(2，6).(1)这个函数的图象分布在哪些象限?y随x的增大如何变化?(2)点B(3，4)、C(）和D（2，5）是否在这个函数的图象上？探究新知知识点1利用待定系数法确定反比例函数解析式解：（1）因为点A（2,6）在第一象限，所以这个函数的图象在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。 解：（2）设这个反比例函数的解析式为，因为点A(2，6)在其图象上，所以有，解得k=12.因为点B，C的坐标都满足该解析式，而点D的坐标不满足，所以点B，C在这个函数的图象上，点D不在这个函数的图象上.所以反比例函数的解析式为.探究新知 方法总结：已知反比例函数图象上一点，可以根据坐标确定点所在的象限，然后确定反比例函数的性质.或用待定系数法求出反比例函数的解析式，再判断图象性质；要判断所给的点是否在该图象上，可以将其坐标代入求得的反比例函数解析式中，若满足左边＝右边，则在；若不满足左边＝右边，则不在．【讨论】已知反比例函数图象上的一点,如何确定其图象的性质?以及所给的点是否在该图象上?探究新知 1.已知反比例函数的图象经过点A(2，3)．(1)求这个函数的表达式；解：∵反比例函数的图象经过点A(2，3)，∴把点A的坐标代入表达式，得，解得k=6.∴这个函数的表达式为.巩固练习 (2)判断点B(－1，6)，C(3，2)是否在这个函数的图象上，并说明理由；解：分别把点B，C的坐标代入反比例函数的解析式，因为点B的坐标不满足该解析式，点C的坐标满足该解析式，所以点B不在该函数的图象上，点C在该函数的图象上．巩固练习 (3)当－3<x<－1时，求y的取值范围．解：∵当x=－3时，y=－2；当x=－1时，y=－6，且k>0，∴当x<0时，y随x的增大而减小，∴当－3<x<－1时，－6<y<－2.巩固练习 解：（１）反比例函数图象的分布只有两种可能，分布在第一、第三象限，或者分布在第二、第四象限.这个函数的图象的一支在第一象限，则另一支必在第三象限．∵函数的图象在第一、第三象限，∴m－５＞０，解得m＞５．探究新知知识点2如图是反比例函数的图象一支，根据图象回答下列问题：（1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？（2）在这个函数图象的某一支上任取点A（a，b）和B（a′，b′），如果a>a′，那么b和b′有怎样的大小关系？反比例函数的综合性题目（２）∵m－５＞０，在这个函数图象的任一支上，y随x的增大而减小，∴当a＞a′时，b＜b′． 【思考】根据反比例函数的部分图象，如何确定其完整图象的位置以及比例系数的取值范围?注：由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内，因此函数y随x的增减性就不能连续的看，一定要强调“在每一象限内”，否则，笼统说k＜0时，y随x的增大而增大，从而出现错误.探究新知 2.如图，是反比例函数的图象的一个分支，对于给出的下列说法：①常数k的取值范围是；②另一个分支在第三象限；③在函数图象上取点和，当时，；④在函数图象的某一个分支上取点和，当时，．其中正确的是____________（在横线上填出正确的序号）．①巩固练习②④Oxy 在反比例函数的图象上分别取点P，Q向x轴、y轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写下页表格：知识点3反比例函数中k的几何意义探究新知 51234－15xyOPS1S2P(2，2)Q(4，1)S1的值S2的值S1与S2的关系猜想S1，S2与k的关系44S1=S2S1=S2=k－5－4－3－21432－3－2－4－5－1Q探究新知 S1的值S2的值S1与S2的关系猜想与k的关系P(－1，4)Q(－2，2)若在反比例函数中也用同样的方法分别取P，Q两点，填写表格：44S1=S2S1=S2=－kyxOPQS1S2探究新知 由前面的探究过程，可以猜想：若点P是图象上的任意一点，作PA垂直于x轴，作PB垂直于y轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形AOBP=|k|.探究新知 yxOPS我们就k<0的情况给出证明：设点P的坐标为(a，b)AB∵点P(a，b)在函数的图象上，∴，即ab=k.∴S矩形AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k；若点P在第二象限，则a<0，b>0，若点P在第四象限，则a>0，b<0，∴S矩形AOBP=PB·PA=a·(－b)=－ab=－k.BPA综上，S矩形AOBP=|k|.自己尝试证明k>0的情况.探究新知 点Q是其图象上的任意一点，作QA垂直于y轴，作QB垂直于x轴，矩形AOBQ的面积与k的关系是S矩形AOBQ=.推理：△QAO与△QBO的面积和k的关系是.Q对于反比例函数，AB|k|yxO反比例函数的面积不变性探究新知要点归纳 3.如图，点B在反比例函数(x>0）的图象上，横坐标是1，过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足为A、C，则矩形OABC的面积为（）A.1B.2C.3D.4B巩固练习 例1如图，点A在反比例函数的图象上，AC垂直x轴于点C，且△AOC的面积为2，求该反比例函数的表达式．解：设点A的坐标为(xA，yA)，∵点A在反比例函数的图象上，∴xA·yA＝k，∴反比例函数的表达式为探究新知素养考点1通过图形面积确定k的值∴，∴k＝4， 巩固练习4.如图所示，过反比例函数（x>0）的图象上一点A，作AB⊥x轴于点B，连接AO.若S△AOB=3,则k的值为（）A.4B.5C.6D.7C 例2如图，P，C是函数(x>0)图象上的任意两点，PA，CD垂直于x轴.设△POA的面积为S1，则S1=；梯形CEAD的面积为S2，则S1与S2的大小关系是S1S2；△POE的面积S3和S2的大小关系是S2S3.2S1S2＞＝S3探究新知素养考点2利用k的性质判断图形面积的关系 A.SA>SB>SCB.SA<SB<SCC.SA=SB=SCD.SA<SC<SB5.如图，在函数(x＞0)的图象上有三点A，B，C，过这三点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为SA，SB，SC，则()yxOABCC巩固练习 yDBACx例3如图，点A是反比例函数(x＞0)的图象上任意一点，AB//x轴交反比例函数(x＜0)的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中点C，D在x轴上，则S四边形ABCD=___.325探究新知素养考点3根据k的几何意义求图形的面积方法总结：解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换，转化为较容易求面积的图形. 6.如图，函数y＝－x与函数的图象相交于A，B两点，过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则四边形ACBD的面积为()A.2B.4C.6D.8DyxOCABD44巩固练习 在同一坐标系中，函数　和y=k2x+b的图象大致如下，则k1、k2、b各应满足什么条件？k2>0b>0k1>0k2>0b<0k1>0①xyOxyO②探究新知知识点4一次函数与反比例函数的组合图形 k2<0b<0k1<0k2<0b>0③xyOk1>0④xyO探究新知在同一坐标系中，函数　和y=k2x+b的图象大致如下，则k1、k2、b各应满足什么条件？ 例4函数y=kx－k与的图象大致是()D.xyOC.yyA.xB.xyODOOk＜0k＞0×××√k＞0k＜0由一次函数增减性得k＞0由一次函数与y轴交点知－k＞0，则k＜0x提示：可对k的正负性进行分类讨论.探究新知素养考点1根据k的值识别函数的图形 7.在同一直角坐标系中，函数与y=ax+1(a≠0)的图象可能是()A.yxOB.yxOC.yxOD.yxOB巩固练习 例5如图是一次函数y1=kx+b和反比例函数的图象，观察图象，当y1﹥y2时，x的取值范围为.－23yx0－2<x<0或x>3解析：y1﹥y2即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时.观察右图，探究新知素养考点2通过函数图形确定字母的取值范围方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加简洁明了.可知－2<x<0或x>3. 8.如图，直线y=k1x+b与双曲线交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式的解集是_________．1＜x＜5巩固练习 例6已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点P(－3，4).试求出它们的解析式，并画出图象.由于这两个函数的图象交于点P(－3，4)，则点P的坐标分别满足这两个解析式.解：设y=k1x和.所以，.解得.探究新知素养考点3利用函数的交点解答问题 则这两个函数的解析式分别为和，它们的图象如图所示.这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？【想一想】探究新知 9.反比例函数的图象与正比例函数y=3x的图象的交点坐标为．(2，6)，(－2，－6)解析：联立两个函数解析式解方程得：巩固练习解得： 连接中考巩固练习1.（2019•兰州）如图，矩形OABC的顶点B在反比例函数（x＞0）的图象上S矩形OABC＝6，则k＝．yxO6ABC 2.（2018•岳阳）如图，某反比例函数图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的右侧），作BC⊥y轴，垂足为点C，连结AB，AC．（1）求该反比例函数的解析式；（2）若△ABC的面积为6，求直线AB的表达式．连接中考巩固练习 解：（1）由题意得，k=xy=2×3=6，∴反比例函数的解析式为．（2）设B点坐标为（a，b），如图，作AD⊥BC于D，则D（2，b）∵反比例函数的图象经过点B（a，b），∴S△ABC.设AB的解析式为y=kx+b，将A（2，3），B（6，1）代入函数解析式，得解得，连接中考巩固练习∴．∴，解得a=6，∴．∴B（6，1）．直线AB的解析式为.D 1.（2018•无锡）已知点P（a，m），Q（b，n）都在反比例函数的图象上，且a＜0＜b，则下列结论一定正确的是（　　）A．m+n＜0B．m+n＞0C．m＜nD．m＞n课堂检测D基础巩固题 2.（2018•连云港）已知A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是反比例函数图象上的两个点，则y1与y2的大小关系为_________．y1＜y2课堂检测基础巩固题 3.在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是_______．k>9课堂检测基础巩固题 1.如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点A（2，3）．（1）求k、m的值；（2）写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围．（2）由图象可知，正比例函数值大于反比例函数值时：x＞2.能力提升题课堂检测解：（1）将A（2，3）分别代入y=kx和可得：3=2k和解得：，m=6. 2.（2018•贵港）如图，已知反比例函数（x＞0）的图象与一次函数的图象交于A和B（6，n）两点．（1）求k和n的值；（2）若点C（x，y）也在反比例函数（x＞0）的图象上，求当2≤x≤6时，函数值y的取值范围．课堂检测能力提升题 课堂检测能力提升题解：（1）当x=6时，，∴点B的坐标为（6，1）．∵反比例函数过点B（6，1），∴k=6×1=6．（2）∵k=6＞0，∴当x＞0时，y随x值增大而减小，∴当2≤x≤6时，1≤y≤3． 如图，反比例函数与一次函数y=－x+2的图象交于A，B两点.(1)求A，B两点的坐标；AyOBx解：y=－x+2，解得x=4，y=－2所以A(－2，4)，B(4，－2).或x=－2，y=4.课堂检测拓广探索题 作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则AC=4，BD=2.(2)求△AOB的面积.解：∵一次函数与x轴的交点为M(2，0)，∴OM=2.OAyBxMCD∴S△OMB=OM·BD÷2=2×2÷2=2，∴S△OMA=OM·AC÷2=2×4÷2=4，∴S△AOB=S△OMB+S△OMA=2+4=6.课堂检测拓广探索题 面积问题与一次函数的综合反比例函数图象和性质的综合运用课堂小结面积不变性反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意b的正负 课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习