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人教版数学七年级下册:6.3实数的概念教案

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教学基本信息课题实数的概念学科数学学段:初中年级初一教材书名:数学七年级下册出版社:人民教育出版社出版日期:2012年10月教学目标及教学重点、难点本节课涉及到的知识要素是无理数概念、实数概念、有限小数、无限循环小数、有理数概念等,主要是在数的开方基础上引进无理数概念,类比有理数分类得到实数分类,在课程中主要培养学生归纳概括能力.本节课教学将数从有理数范围扩充到实数范围,实数内容的教学十分重要,它为后续的二次根式、一元二次方程以及三角函数学习奠定基础,包括在高中的函数、不等式中都经常使用。由于我教的两个班学生对有理数的掌握程度较好,所以我采用与有理数对比的方式引入无理数教学,揭示出有理数与无理数的联系与区别,有助于学生加深对实数的认识。基于此,本节课的教学重点是了解无理数和实数的概念,并会判断一个数是否是无理数.无理数是从现实世界中抽象出来的一种数,学生对无理数几乎没有任何感性认识,尤其是对无理数的存在还有质疑,基于此分析,本节课教学难点是对无理数的认识.本节课教学目标:1.了解无理数和实数的概念,学生会辨析一个实数是有理数还是无理数;2.理解实数的分类原则,初步形成对实数的整体认识;3.学生亲身经历无理数的发现过程,体会无理数引入的必要性,引导学生自己发现问题,提出猜想,建构新的知识体系.13 教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入(一)复习引入:从讲起在前几课中我们学习了平方根、立方根的概念,并对“有多大?”进行了探究。教师提出问题1:现在我们来思考一个问题是不是我们之前学过的有理数呢?我们知道是无限不循环小数,有理数分为整数和分数,它们之间有什么区别与联系呢?从学生刚熟悉的数入手,激发思考。若学生不知如何回答,教师可以提示学生先回忆有理数分类新课(二)探究活动请把下列分数写成小数形式,你有什么发现?,,,,,要求:学生可以独立在笔记本上进行计算,然后归纳自己的发现.若学生不能正确寻找结论,教师可以增加追问:我们将计算结果的小数形式全列出来对比一下,看能否从这些数的小数形式特点加以说明?,,,,,我们发现:这些分数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式.让学生从探究活动开始,体会有限小数(循环节为0)和无限循环小数与分数的联系,体会转化的数学思想.13 教师再追加一个结论:其实整数也可以看成小数点后是0的小数,比如3看成3.0,-5看成-5.0.归纳小结:任何一个有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式;反之,任何一个有限小数或者无限循环小数都是有理数.教师总结:的小数点后面有无数位,它是无限不循环的小数,既不属于整数也不属于分数,所以它不是有理数,教师提出问题2:那到底是什么数呢?还是回到有理数无理数的小数形式,像这样的数还有无限多个,前面我们学习的很多数的平方根、立方根都是无限不循环小数,比如:,,,还有圆周率,我们把具有这种特点的数都叫做无理数.(三)对无理数的认识1、引出概念:无理数定义:无限不循环小数叫做无理数.解读无理数概念揭示的特点:①首先是小数;②其次是无限小数;③最后是不循环的无限小数.教师分层次解释无理数的特点,对学生理解很有好处.而、、、都是无理数,这样的无理数还有很多个.为教师引出无理数概念做准备.13 2、典型例题例1:判断下列这组数中,哪些是无理数?,,,,辨析:中的分子是无限不循环小数,除以3后结果还是无限不循环小数,所以也是无理数;同理也是无理数;与很相近,但它还是个有限小数,小数点后有7位数,所以是有理数;是循环节为1和9,是无限循环小数,是有理数;是问立方运算后的3的数,即3的立方根,这是一个无限不循环小数,所以是无理数.总之,判断是否是无理数一定要扣住定义去辨析.拓广探索例2:已知数,它的特点是从左向右看,相邻的两个1之间依次多一个0,这个数是有理数还是无理数,为什么?辨析:还是扣住定义,这是个无限不循环小数,应该是无理数.再追问一下,你能编出类似的数吗?例3:辨析概念,并说明理由.分层记忆概念,可降低难点,达到突出重点的目的.结合数学史上关于无理数的故事,激发学生的兴趣.13 ①无理数都是无限小数;②无限小数都是无理数;③带根号的数都是无理数.分析:①无理数都是无限小数。这句话的题设是“无理数”,结论是“无限小数”,根据定义,无理数是无限不循环小数,无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数,无理数范围小,无限小数范围大,无理数是包含在无限小数范围内的,所以无理数是无限小数这句话是正确的。②无限小数是无理数。通过对比发现,这句话与第一句话交换了题设和结论的位置,无限小数的范围是比无理数的范围更大些的,比如无限小数里有一类“无限循环小数”是属于有理数范围的,而不是无理数,所以无限小数都是无理数这句话是错误的;③带根号的数都是无理数。大家想想“带根号的数”是什么数,我们可以先举一些的具体数,比如之类的,是无理数,而是求4的算术平方根,可以化简为有理数2,是求9的算术平方根,可以化简为有理数3,所以“带根号的数”既包含有理数,也包含无理数,所以带根号的数都是无理数这句话是错误的。实际上还有一种快速判断的方法,只要举出一个反例,比如,因为这个数满足“是个带根号”的数的题设,但不符合是“无理数”的结论,就可以说明这个命题不正确了。在今后的练习中大家可以尝试使用不同的方法进行判断.通过自己编无理数的环节,加深学生对概念的理解。学生抓住特点,还可以编出这样的无理数.总之概念是判断命题真假的重要依据.13 (四)对实数的认识1、实数的概念讲解:在我们认识的数里,有理数可以写成有限小数、无限循环小数,新学的无理数是无限不循环小数,但它们都是对现实世界中客观存在的量的反映。所以我们将无理数与有理数归为一类,统称实数。现在我们之前的有理数的体系被大大的扩充了,在“实数”范围内继续研究及解决问题就是我们这一章的学习重点.我们继续思考,实数可以怎么分类呢?我们类比有理数的分类,“有理数分为整数和分数”将实数分分类.2、实数的分类有理数里分为正有理数、0、负有理数,同样无理数里也分为正无理数、负无理数,注意0不可以归为无理数中.教师提问题3:因为非零有理数和无理数都有正负之分,那么你能类比有理数的分类方法,按大小关系对实数重新分类吗?加深学生对无理数实数的认识,初步形成对实数的整体认识。13 讲解:注意分类的原则是“大小关系”,要按这个标准不重不漏的进行。实数的分类可以有不同的方法.预计:学生讨论交流,得到如下分类:3、典型例题例:判断正误,并说明理由.①是无理数②0既不是有理数也不是无理数.辨析:(1)因为是分数,它=0.142857142857循环,是无限循环的小数,属于有理数,所以这句话错误.第二句话,实数按有理数、无理数的形式分类时,0既不是正有理数也不是负有理数,但0是属于有理数的,所以这句话是错的。总结:判断一个数到底属于哪一类数系,要深入理解实数的分类体系.例:在0.23,,,,0.2020020002…(相邻的两个2之间依次多一个0)这五个数中,既是正实数也是无理数的数有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:符合题意得为0.2020020002…,选A13 例题:把下列各数分别填到相应的集合中:.有理数集合无理数集合例题有一个数值转换器,操作如下图所示,则当输入的x为81时,输出的y是().A.B.C.3D.9分析:仔细阅读操作图,我们先来理解这个操作过程,输入一个x(x>0),求它的算术平方根,如果这个算术平方根是无理数,则输出结果,如果是有理数,则返回,再次求这个有理数的算术平方根;如果是无理数则输出结果,如果还是有理数,则再次返回,一直到算术平方根是无理数,输出为止,也就是说y一定是个无理数,这题最后应选B.4、认识实数价值回顾一下我们对数的认识过程,引入负数后我们将数系扩充到有理数范围,引入无理数后我们将数系扩充到实数范围.数的范围不断扩大体现了人类认识的不断进步,实数的概念就是数学发展史的一个重要里程碑.讲解无理数历史:公元前6世纪古希腊毕达哥拉斯学派的年轻数学家希帕索斯发现不是有理数,并由此引发了第一次数学危机,大家课下可以去阅读一下教材中13 58的资料,更详细了解有关无理数的历史知识.事实上无理数只是一个命名,并非“无理”,它和有理数一样,都是现实世界中客观存在的量的反映.无理数的发现引发了数学史上的第一次微机,是数学发展史的重要里程碑,引入无理数,经历了一个漫长而艰苦的过程,这个过程现了人类为追求真理而不懈努力的精神.例题巩固练习练习1.下列各数中的无理数是().A.B.3.14C.D.分析:这题主要依据是实数的概念及分类。让学生能结合概念解决简单的问题,会辨析概念.13 第一个数是,它可以化简为5,从而判断是个有理数;3.14很明显是有限小数,属于有理数;但是遇到分数比如,要知道分数还是有理数分类中的一类,可以马上判断是有理数,虽然还可以写出它的小数形式,发现它是无限循环小数,但显然时间会花费较多,所以还是依据分类判断会快点;最后一个是+1,是个无限不循环小数,而+1的结果应该还是一个无限不循环小数。最终这道题的答案是选“D”.2.判断正误,并说明理由.①实数包括正实数、0、负实数;②无理数包括正无理数、0、负无理数;③不带根号的数都是有理数.分析:①实数按大小分类,0是其中一类,可以判断这句话是正确的;②根据实数的分类,0属于有理数,所以这句话是错误的③反例:像0.1010010001(每隔两个1多一个0)…这个数是不带根号,它不是有理数,所以这句话是错误的.3.下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数?-3.14,,1.732,,,,,18,,0.3131131113…(两个3之间依次多一个1).讲解:本题主要考查学生是否了解无理数及实数概念的含义,会对有关概念进行辨析.本题主要考查学生是否会对实数进行分类.13 这题主要是对概念要充分的理解,从数的小数形式入手更好,但是遇到分数比如,要知道分数还是有理数分类中的一类,可以马上判断是有理数.其余的我们一一来分析。最终这里有三个无理数:,其余的都是有理数。(练习3的备用题)把下列各数填入相应的集合内:.①无理数集合:{…};②负实数集合:{…}.解答:①无理数集合:{…};②负实数集合:…}.在挑正负实数时注意0既不是正数也不是负数,观察符号将这些数正确分类放入相应的集合中(点一下)负实数集合:{}.;正实数集合:4.在下列每个圈里,至少填入三个适当的数.有理数集合无理数集合解释:如果是自己选三个适当的数,那要注意选用简洁的、熟悉的数字填入对应的集合中。5.有一个数值转换器,操作如下图所示,则当输入的x为64时,输出的数值是__________.学生积极建构知识的训练.13 仔细阅读操作图,我们先来理解这个操作过程,输入一个x,求它的立方根,如果立方根是无理数,则输出结果,如果是有理数,则返回,再次求这个有理数的立方根;如果是无理数则输出结果,如果还是有理数,则再次返回,一直到立方根是无理数,输出为止.答案是:6.在实数0,1,2,3,4,5,6,7,8,9的平方根及立方根中,哪些是有理数?哪些是无理数?注意:数比较多,先列表整理,再观察求值,然后判断类型.实际上学生在做这道题时将常用的无理数进行了梳理.总结1.了解无理数和实数的概念,梳理本节课的学习思路;2.了解实数的分类,会在实数范围内对数分类整理.回想一节课的重点,培养学生归纳概括的能力.13 作业作业1.书上57页习题6.3复习巩固1、2两个题.作业2.阅读书上58页《阅读与思考:为什么说不是有理数》.落实学习成果,帮助学生对新学的无理数的数学史有所了解.13

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