垂线的概念与性质 两条直线的位置关系相交邻补角对顶角一般情况互补相等已知一个角可求其他三个角复习回顾实际问题→定义→性质→应用特殊情况？ 取两根木条a，b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b．(1)两根木条所成的角中，如果∠α=35°，其他三个角各等于多少度?αab复习回顾 (1)两根木条所成的角中，如果∠α=35°，其他三个角各等于多少度?∠1=145°∠2=35°∠3=145°213αab取两根木条a，b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b．复习回顾 取两根木条a，b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b．新知引入（180-m）°，m°，（180-m）°αabαabαabαabαabαabαab(2)如果∠α等于m°，其他三个角各等于多少度？ 新知引入35°abab35°90°ab取两根木条a，b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b． 新知引入90°ab当∠α=90°时,a与b互相垂直.垂直是相交的一种特殊情形.记作a⊥b.取两根木条a，b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b． 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图,直线a,b互相垂直,点O叫做垂足.直线a叫做直线b的垂线，直线b也叫做直线a的垂线.abO垂直的定义 垂直的表示：如图，直线AB，CD互相垂直，垂足为O．BCADAB⊥CD（CD⊥AB），垂足为O.O读作：AB垂直于CD，垂足为O.位置关系垂直的定义 BCADO图形文字符号当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.AB⊥CD，垂足为O．垂直的定义 （条件）BCADO垂直的定义如图，直线AB与CD相交于点O．如果∠AOC=90°，那么AB⊥CD．（结论）（条件）（结论）90°因为∠AOC=90°，所以AB⊥CD（垂直的定义）． 因为AB⊥CD，垂足为O，所以∠AOC=90°（垂直的定义）．BCADO反过来，若AB⊥CD，垂足为O，那么∠AOC=90°．位置关系数量关系垂直的定义如图，直线AB与CD相交于点O．如果∠AOC=90°，那么AB⊥CD． 思考1：用三角尺或量角器画已知直线的垂线，这样的垂线能画几条？探究1 l如图，已知直线l，画l的垂线．工具：直尺、三角尺探究1 l如图，已知直线l，画l的垂线．工具：直尺、三角尺这样的垂线能画无数条探究1 .lA思考2：（1）经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条?l.B（2）经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条?探究1 l.A经过直线l上一点A画l的垂线则所画直线AM是过点A且垂直于直线l的垂线.M探究1 l.B经过直线l外一点B画l的垂线则所画直线BQ是过点B且垂直于直线l的垂线.Q探究1 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.经过一点（已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线.即存在唯一垂线的性质 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.垂线的性质 说明：两条直线垂直是它们相交的一种特殊情况，两条线段垂直、两条射线垂直、线段与射线垂直、线段与直线垂直、射线与直线垂直，都是指它们所在的直线垂直． 思考3：过一点画线段、射线的垂线，应如何画呢？探究1P（2）AB（1）PAB 思考3：过一点画线段、射线的垂线，应如何画呢？探究1P（2）ABP直线PQ是过点P且垂直于线段AB的垂线．直线PM是过点P且垂直于射线AB的垂线．QMAB（1） 探究1思考3：过一点画线段、射线的垂线，应如何画呢？P（4）ABPAB（3） ABP探究1思考3：过一点画线段、射线的垂线，应如何画呢？P（4）AB（3） ABP探究1思考3：过一点画线段、射线的垂线，应如何画呢？P（4）AB（3）注意:画一条线段或射线的垂线,就是画它们所在直线的垂线．直线PE是过点P且垂直于射线AB的垂线．E直线PN是过点P且垂直于线段AB的垂线．N 思考：如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？探究2l 此问题就是：“直线外一点与已知直线上各点所连的线段中,哪条线段最短?”探究2P思考：如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？l lPOA1A3A2…如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O，A1，A2，A3，…，其中PO⊥l．比较线段PO，PA1，PA2，PA3，…的长短，这些线段中，哪一条最短？线段PO为点P到直线l的垂线段．探究2 lPOA1A3A2…简单说成:垂线段最短.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.结论：垂线的性质 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.如图，PO⊥l于点O，垂线段PO的长度叫做点P到直线l的距离.点到直线的距离lPO 思考：如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？探究2Q过点P作PQ⊥l，垂足为Q． 起跳板解:过点P作PA⊥l，垂足为A．如图，这是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩如何测量呢?lPA新知运用垂线段PA的长度就是小明同学的跳远成绩. 典例分析OE⊥AB分析:∠BOE=90°直线AB，CD相交于点O90°？∠BOD=∠AOC∠EOD=∠BOE+∠BOD垂直的定义对顶角相等例1如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠AOC=55°，求∠EOD的度数．55° 所以∠BOE=90°所以∠EOD=∠BOE+∠BOD=90°+55°=145°．解:因为OE⊥AB，因为∠BOD=∠AOC=55°（对顶角相等），(垂直的定义)．？典例分析90°例1如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠AOC=55°，求∠EOD的度数．55° 典例分析OE⊥AB思路2:∠AOE=90°？∠COE=90°-∠AOC∠EOD=180°-∠COE垂直的定义邻补角互补例1如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠AOC=55°，求∠EOD的度数.55° ∠BOE=90°∠BOD=∠AOC∠EOD=∠BOE+∠BODOE⊥AB直线AB，CD相交于点O垂直的定义对顶角相等已知解题小结可知未知90°？55° 分析：点A，O，B在同一条直线上∠AOB=180°OD平分∠AOCOE平分∠BOC典例分析例2如图,点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC.试判断射线OD与射线OE的位置关系.角平分线定义平角定义 因为点A，O，B在同一条直线上，所以∠AOB=180°．因为OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，解：OD⊥OE，理由如下：即∠DOE=90°．所以OD⊥OE．°．例2如图,点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC.试判断射线OD与射线OE的位置关系.典例分析 解题小结平角为180°OD平分∠AOCOE平分∠BOC角的倍半关系垂直结论：邻补角的角平分线互相垂直．90°点A，O，B在同一条直线上未知已知可知需知垂直的定义 例3如图,三角形ABC中，∠C=90°．（1）点A到直线BC的距离是线段的长；点B到直线AC的距离是线段的长．典例分析ACBC点到直线的距离 例3如图,三角形ABC中，∠C=90°．（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D，则线段AC，BC，CD中最短的是，理由是．典例分析CD垂线段最短 课堂小结两条直线相交垂直所成四个角相等垂直的定义垂线的性质角的数量关系特殊位置关系点到直线的距离线的位置关系OBCAD定义→判定→性质→应用 两条直线相交相交邻补角对顶角一般情况已知一个角可求其他三个角互补相等特殊情况垂直垂线及其性质点到直线的距离课堂小结 作业1.找出图中互相垂直的线段，并用三角尺检验． 2.如图，画AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为E，F．作业 3.如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC=35°，求∠AOD的度数．作业 4.如图，用量角器画∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，比较点P到OA，OB的距离的大小．作业 5.请你谈一谈这节课的个人学习感想．在运用相关知识解决问题中需要注意的关键之处是什么？请你为本节课的知识点画一个结构图．作业 同学们再见！