变量与函数 情景引入刻舟求剑世界是处在运动变化中的.从数学的视角怎么解读这个故事呢？ 一、知识概要某些现实问题函数一次函数概念变化过程代数式、方程等求值问题表示方法解析式法列表法图象法……气温随着海拔而变化…圆的面积随着半径变化……常量变量:对应关系几何中某些动态问题 二、关键内容1.变量与常量概念的理解；2.函数概念的理解. 三、概念理解 故事分析回看刻舟求剑的故事：战国时，楚国有个人坐船渡江.船到江心，不慎把宝剑落入水中，马上掏出一把小刀，在船舷上刻上个记号.船靠岸后，那楚人立即在船上刻有记号的地方下水，去捞取掉落的宝剑.楚人捞了半天，始终不见宝剑的影子.故事中涉及了哪些量？哪些量是发生变化的？哪些量是没有变化的？ 故事分析回看刻舟求剑的故事：战国时，楚国有个人坐船渡江.船到江心，不慎把宝剑落入水中，马上掏出一把小刀，在船舷上刻上个记号.船靠岸后，那楚人立即在船上刻有记号的地方下水，去捞取掉落的宝剑.楚人捞了半天，始终不见宝剑的影子.故事中涉及了哪些量？哪些量是发生变化的？哪些量是没有变化的？水流速度 故事分析回看刻舟求剑的故事：战国时，楚国有个人坐船渡江.船到江心，不慎把宝剑落入水中，马上掏出一把小刀，在船舷上刻上个记号.船靠岸后，那楚人立即在船上刻有记号的地方下水，去捞取掉落的宝剑.楚人捞了半天，始终不见宝剑的影子.故事中涉及了哪些量？哪些量是发生变化的？哪些量是没有变化的？水流速度船行驶速度船行驶时间船行驶路程 故事分析回看刻舟求剑的故事：战国时，楚国有个人坐船渡江.船到江心，不慎把宝剑落入水中，马上掏出一把小刀，在船舷上刻上个记号.船靠岸后，那楚人立即在船上刻有记号的地方下水，去捞取掉落的宝剑.楚人捞了半天，始终不见宝剑的影子.故事中涉及了哪些量？哪些量是发生变化的？哪些量是没有变化的？水流速度船行驶速度船行驶时间船行驶路程宝剑的移动速度，路程 故事分析回看刻舟求剑的故事：战国时，楚国有个人坐船渡江.船到江心，不慎把宝剑落入水中，马上掏出一把小刀，在船舷上刻上个记号.船靠岸后，那楚人立即在船上刻有记号的地方下水，去捞取掉落的宝剑.楚人捞了半天，始终不见宝剑的影子.故事中涉及了哪些量？哪些量是发生变化的？哪些量是没有变化的？水流速度船行驶速度船行驶时间船行驶路程发生变化的量没有变化的量宝剑的移动速度，路程 继续分析这个故事，为了方便计算，我们假设船是顺流而行，并且匀速运动，速度为80m/min，水流速度为10m/min，设船行驶的路程为Sm，行驶时间为tmin.此时变化的量和没有发生变化的量有哪些？它们之间有什么关联？故事分析 继续分析这个故事，为了方便计算，我们假设船是顺流而行，并且匀速运动，速度为80m/min，水流速度为10m/min，设船行驶的路程为Sm，行驶时间为tmin.此时变化的量和没有发生变化的量有哪些？它们之间有什么关联？没有变化的量：水流速度和船的速度变化的量：船行驶的时间和路程故事分析 继续分析这个故事，为了方便计算，我们假设船是顺流而行，并且匀速运动，速度为80m/min，水流速度为10m/min，设船行驶的路程为Sm，行驶时间为tmin.此时变化的量和没有发生变化的量有哪些？它们之间有什么关联？没有变化的量：水流速度和船的速度变化的量：船行驶的时间和路程故事分析 继续分析这个故事，为了方便计算，我们假设船是顺流而行，并且匀速运动，速度为80m/min，水流速度为10m/min，设船行驶的路程为Sm，行驶时间为tmin.此时变化的量和没有发生变化的量有哪些？它们之间有什么关联？没有变化的量：水流速度和船的速度变化的量：船行驶的时间和路程当船行驶时间分别为1min，2min，3min，4min，5min时，楚国人掉落的宝剑距离他有多远？故事分析 继续分析这个故事，为了方便计算，我们假设船是顺流而行，并且匀速运动，速度为80m/min，水流速度为10m/min，设船行驶的路程为Sm，行驶时间为tmin.当船行驶时间分别为1min，2min，3min，4min，5min时，楚国人掉落的宝剑距离他有多远？t/min12345S/m90180270360450故事分析 例1电影《攀登者》，我们假设票价为40元/张.第一场售出150张票，第二场售出205张票，第三场售出310张票，三场电影的票房收入各多少元？ 例1电影《攀登者》，我们假设票价为40元/张.第一场售出150张票，第二场售出205张票，第三场售出310张票，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售出x张票，票房收入为y元.x/张150205310y/元6000820012400 例2珠穆朗玛峰北坡在我国西藏定日县境内，适宜在5月份攀登.为了便于计算，我们假设当地平均海拔5km，5月份平均最低温度为℃，下表表示了温度随海拔而变化的情况.那么海拔8km时温度是多少？海拔h/km45678…温度t/℃1… 例2珠穆朗玛峰北坡在我国西藏定日县境内，适宜在5月份攀登.为了便于计算，我们假设当地平均海拔5km，5月份平均最低温度为℃，下表表示了温度随海拔而变化的情况.那么海拔8km时温度是多少？海拔h/km45678…温度t/℃1… 例3一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到，则气体的压强为零，因此物理学中把作为热力学温度的零度，热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273，.t取定一些值时，相应的T值为多少？填写下表：t/℃0317T/K 例3一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到，则气体的压强为零，因此物理学中把作为热力学温度的零度，热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273，.t取定一些值时，相应的T值为多少？填写下表：t/℃0317T/K230250270273276290 例4摩天轮转动时，坐在座位上的人离地面的高度是怎么变化的？下图反映了摩天轮上一点的高度h/m与旋转时间t/min之间的关系.根据图形，填写下表：t/min012345…h/m… 例4摩天轮转动时，坐在座位上的人离地面的高度是怎么变化的？下图反映了摩天轮上一点的高度h/m与旋转时间t/min之间的关系.根据图形，填写下表：t/min012345…h/m31035453510… 变量与常量这些实例反映了不同事物的变化过程.其中有些量的数值是变化的，例如时间t，路程s；售出票数x，票房收入y……有些量的数值是始终不变的，例如速度80m/min，票价40元/张……在一个变化过程中：数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量. 思考：1.在上述每个变化过程中，变量是什么？2.在每个变化过程中，是哪一个量随另一个量的变化而变化的？3.当一个变量取某个确定值时，另一个变量的值如何？t/min12345S/m90180270360450x/张150205310y/元6000820012400t/℃0317T/K230250270273276290海拔h/km45678…温度t/℃1…T=t+273， 函数的概念一般地，在一个变化过程中如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 函数的概念一般地，在一个变化过程中如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.x/张150205310y/元6000820012400 情境两个变量自变量谁是谁的函数刻舟求剑船行驶时间和路程时间路程是时间的函数票房问题票的数量和票房收入票的数量票房收入是票的数量的函数海拔与温度变化海拔和温度海拔温度是海拔的函数热力学温度T与摄氏温度t关系T与ttT是t的函数摩天轮问题高度和时间时间高度是时间的函数 四、巩固应用在你熟悉的实例中，寻找一个变化过程，说明其中存在的函数关系. 1.你见过水中涟漪吗？如右图，圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中，当圆的半径r分别为10cm，20cm，30cm时，圆的面积S分别为多少？这个变化过程中存在函数关系吗？ 1.你见过水中涟漪吗？如右图，圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中，当圆的半径r分别为10cm，20cm，30cm时，圆的面积S分别为多少？这个变化过程中存在函数关系吗？分析：（1）在这个变化过程中，变量是什么？（2）在这个变化过程中，是哪一个量随另一个量的变化而变化的？（3）当一个变量取某个确定值时，另一个变量的值如何？r/cm…102030……… 2.在计算器上按下面的程序操作：这个变化过程中存在函数关系吗？输入x(任意一个数)按键2+5显示y(计算结果)x130101y 2.在计算器上按下面的程序操作：这个变化过程中存在函数关系吗？分析：（1）在这个变化过程中，变量是什么？（2）在这个变化过程中，是哪一个量随另一个量的变化而变化的？（3）当一个变量取某个确定值时，另一个变量的值如何？输入x(任意一个数)按键2+5显示y(计算结果)x130101y7115207 3.下面的表格是我国人口数统计表，分析这个变化过程中,存在函数关系吗？年份人口数/亿198410.34198911.06199411.76199912.52201013.71 分析：（1）在这个变化过程中，变量是什么？（2）在这个变化过程中，是哪一个量随另一个量的变化而变化的？（3）当一个变量取某个确定值时，另一个变量的值如何？年份人口数/亿198410.34198911.06199411.76199912.52201013.713.下面的表格是我国人口数统计表，分析这个变化过程中,存在函数关系吗？ 4.下图是体检时的心电图，其中图上点的横坐标表示时间t，纵坐标表示心脏部位的生物电流y，在这个变化过程中存在函数关系吗？ 4.下图是体检时的心电图，其中图上点的横坐标表示时间t，纵坐标表示心脏部位的生物电流y，在这个变化过程中存在函数关系吗？分析：（1）在这个变化过程中，变量是什么？（2）在这个变化过程中，是哪一个量随另一个量的变化而变化的？（3）当一个变量取某个确定值时，另一个变量的值如何？ 5.下列式子中的y是x的函数吗？为什么？ 5.下列式子中的y是x的函数吗？为什么？分析：当x取某个确定的值时，y的值如何？x0123y14(1)x01.523y20(2)x11.52345y012(3)x011.52y42.251012.254(4) 5.下列式子中的y是x的函数吗？为什么？分析：当x取某个确定的值时，y的值如何？x011.52y42.251012.254(4) 6.下列各图象中哪些表示y是x的函数？为什么？(1)(2)(3)(4) 6.下列各图象中哪些表示y是x的函数？为什么？(1)(2)(3)(4)分析：当x取某个确定值时，y的值如何？ 6.下列各图象中哪些表示y是x的函数？为什么？思考：第(4)幅图如果把y当作自变量，你能得出什么结论？(4)(4) 【归纳】函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型.两个变量观察表达式，表格或图象中两个变量所取数值的对应关系具体某些实例中的问题变量间的某种对应关系函数的概念常量确定自变量对于自变量的每一个确定的值，函数都有唯一确定的值与其对应.三个关键点抽象上升确定对应关系的方法 【函数小史】最早提出函数(function)一词的是德国数学家莱布尼茨(G.W.Leibniz，1646-1716)，他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量.法国数学家柯西(A.L.Cauchy，1789-1857)给出了类似于我们课本中的函数定义，并首次使用“自变量”一词.我国清代数学家李善兰(1811-1882)在翻译《代数学》一书时，“function”译成“函数”，并沿用至今，书中说：“凡此变数中函彼变数，则此为彼之函数.”这里“函”是包含的意思. 【作业】1.从身边熟悉的情境中，找出存在的函数关系，并解释原因.2.参看函数小史，继续查阅相关资料，了解函数的发展过程. 再见