正方形（第二课时） 定义复习引入，回顾知识正方形 有一组邻边相等的矩形是正方形.有一个角是直角的菱形是正方形.有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形.正方形的定义 定义类比正方形性质边角对角线 正方形的四条边都相等.正方形的四个角都是直角.正方形的对角线相等,并且互相垂直平分.正方形的性质 定义判定类比正方形性质边角对角线 正方形的判定平行四边形先判定矩形再判定菱形先判定菱形再判定矩形正方形 平行四边形一般特殊矩形菱形正方形 四边形平行四边形矩形正方形菱形 综合运用，解决问题图中共有多少个等腰直角三角形？BCADO练习如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O. 分析：BCADOOA=OB=OC=OD，AC⊥BD△AOB，△BOC，△COD，△DOA BCADO分析：AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°△ABC，△BCD，△CDA，△DAB BCADO△AOB≌△BOC≌△COD≌△DOA△ABC≌△BCD≌△CDA≌△DAB解：图中一共有8个等腰直角三角形.△AOB，△BOC，△COD，△DOA△ABC，△BCD，△CDA，△DAB 全等三角形45°等腰直角三角形全等三角形特殊的角度小结 BCADO如图，正方形ABCD两条对角线相交于点O，AB=2.（1）对角线AC的长为.（2）△AOB的面积为.练习 BCADO2等腰直角三角形正方形ABC22分析： BCADO如图，正方形ABCD两条对角线相交于点O，AB=2.（1）对角线AC的长为.（2）△AOB的面积为. BCADO2全等三角形正方形方法1 BCADO2等腰直角三角形正方形方法222ABCO BCADO如图，正方形ABCD两条对角线相交于点O，AB=2.（1）对角线AC的长为.（2）△AOB的面积为.1 小结等腰直角三角形勾股定理线段的长 小结等腰直角三角形勾股定理线段的长 例如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在AB，AD上，且BE=AF，BF与CE相交于点G.CE与BF相等吗？它们有什么位置关系？为什么？ABCDFEG猜想CE=BF，CE⊥BF. 例如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在AB，AD上，且BE=AF，BF与CE相交于点G.CE与BF相等吗？它们有什么位置关系？为什么？ABCDFEGCE与BF的关系分析：△BCE≌△ABF 例如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在AB，AD上，且BE=AF，BF与CE相交于点G.CE与BF相等吗？它们有什么位置关系？为什么？ABCDFEGCE与BF的关系△BCE≌△ABF四边形ABCD是正方形分析： 解：CE=BF，CE⊥BF.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠A=90°，BC=AB.又BE=AF，∴△BCE≌△ABF.∴CE=BF，∠1=∠2.12ABCDFEG ∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠3=90°.∴∠BGC=90°.∴CE⊥BF.123ABCDFEG 正方形的性质全等三角形线段的关系ABCDFEG对应边相等对应角相等ABCDFEG小结 正方形的性质全等三角形线段的关系ABCDFEG对应边相等对应角相等ABCDFEG小结 MNABCDEG如图，四边形ABCD是正方形，点E，M，N分别在AB，BC，AD上，CE⊥MN于点G.求证:CE=MN.ABCDFEGF变式1 MNABCDEG变式1如图，四边形ABCD是正方形，点E，M，N分别在AB，BC，AD上，CE⊥MN于点G.求证:CE=MN.CE=BFCE=MNBF=MN分析：F△BCE≌△ABF∠ABC=∠A=90°BC=AB正方形的性质 MNABCDEG变式1如图，四边形ABCD是正方形，点E，M，N分别在AB，BC，AD上，CE⊥MN于点G.求证:CE=MN.分析：FCE=BFCE=MNBF=MN△BCE≌△ABF∠ABC=∠A=90°BC=AB正方形的性质Q213∠1=∠3 MNABCDEG变式1如图，四边形ABCD是正方形，点E，M，N分别在AB，BC，AD上，CE⊥MN于点G.求证:CE=MN.分析：FCE=BFCE=MNBF=MN△BCE≌△ABF∠ABC=∠A=90°BC=AB正方形的性质Q213∠1=∠3▱BMNF MNABCDEGP12∠B=∠MPN=90°∠1=∠MCG分析： BC=PN△BCE≌△PNM∠B=∠MPN=90°∠1=∠MCG分析：MNABCDEGP12 证明：过点B作BF⊥CE于点Q，交AD于点F.∴∠FQC=90°.∴∠1+∠2=90°.∵CE⊥MN，∴∠NGC=90°.∴∠NGC=∠FQC.∴BF∥MN.MNABCDEGFQ213 ∵四边形ABCD是正方形，∴BC=AB，∠ABC=∠A=90°，AD∥BC.∴∠2+∠3=90°.∴∠1=∠3.∴△BCE≌△ABF.∴CE=BF.MNABCDEGFQ213 MNABCDEGFQ213∵BF∥MN，AD∥BC，∴四边形BMNF是平行四边形.∴BF=MN.∴CE=MN. 在正方形ABCD中CE⊥MNCE=MN小结MNABCDEGF添加辅助线PMNABCDEG 如图，四边形ABCD是正方形，点E在AB上，点H在AD的延长线上，CE⊥CH于点C.求证:CE=CH.ABCDFEGHABCDEF分析：变式2 变式2如图，四边形ABCD是正方形，点E在AB上，点H在AD的延长线上，CE⊥CH于点C.求证:CE=CH.HABCDEF分析：CE=BFCE=CH△BCE≌△ABF∠ABC=∠A=90°BC=AB正方形的性质∠BCE=∠ABF 变式2如图，四边形ABCD是正方形，点E在AB上，点H在AD的延长线上，CE⊥CH于点C.求证:CE=CH.HABCDEF分析：CE=CHBF=CH▱BCHFCE=BF△BCE≌△ABF∠ABC=∠A=90°BC=AB正方形的性质∠BCE=∠ABF 证明：过点B作BF⊥CE于点Q，交AD于点F.∴∠FQC=90°.∴∠BCE+∠FBC=90°.∵CE⊥CH，∴∠HCE=90°.∴∠HCE+∠FQC=180°.∴BF∥CH.QHABCDEF ∵四边形ABCD是正方形，∴BC=AB，∠ABC=∠A=90°，AD∥BC.∴∠ABF+∠FBC=90°.∴∠BCE=∠ABF.∴△BCE≌△ABF.∴CE=BF.QHABCDEF ∵BF∥CH，AD∥BC，∴四边形BCHF是平行四边形.∴BF=CH.∴CE=CH.QHABCDEF 在正方形ABCD外部CE⊥CHCE=CH小结HABCDEF 例题小结ABCDFEFABCDFEMNABCDEH图形的运动过程线段的位置关系添加辅助线构造图形 例如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是(0，0)，(0，2).求B，C两点的坐标.BCDOxyB，C两点的坐标线段OB，BC分析：所在象限确定符号 正方形性质OB=OD四条边相等点B的横坐标BCDOxyD(0，2)分析： 正方形性质点C的坐标CB⊥x轴，CD⊥y轴BCDOxyOB的长OD的长分析：点C的横坐标点C的纵坐标 BCDOxy解：∵四边形OBCD是正方形，∴CB⊥x轴，CD⊥y轴，OB=OD.∵点D的坐标是(0，2)，∴OD=2.∴OB=OD=2.∴点B的坐标是(2，0).∵点C在第一象限，∴点C的坐标是(2，2). 例题小结BCDOxxy正方形的性质点的坐标的含义点的坐标正方形 在坐标系中研究几何图形几何图形的特征坐标系的特征解决问题数形结合 例如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，BE与对角线AC交于点P，连接DP.求DP+EP的值.ABCDEP ABCDEP利用正方形的对称性DP+EPDP=BPBP+EPBE例如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，BE与对角线AC交于点P，连接DP.求DP+EP的值.分析： 解：∵AC是正方形ABCD的对角线，∴BP=DP.∴DP+EP=BP+EP=BE.∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB.∵正方形ABCD的面积为16，∴AB=4.∴DP+EP=BE=4.ABCDEP 例题小结正方形的轴对称性线段的数量关系 四边形平行四边形矩形正方形菱形归纳总结，提升认识 线段等腰直角三角形45°BCADO45°角 课后作业如图，四边形ABCD是正方形.G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F.求证：AF-BF=EF.ABCDEFG 2.如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证：AE=EF.ABCDEF 同学们再见！