菱形的判定 研究图形的一般思路定义性质判定矩形一个角是直角定义性质判定菱形一组邻边相等边角对角线定义性质判定平行四边形 性质定理发现猜想证明互逆关系逆命题判定定理回顾反思，类比猜想 矩形的判定方法矩形平行四边形一个角是直角对角线相等四边形对角线相等且互相平分三个角是直角 矩形的判定方法矩形对角线相等且互相平分的四边形对角线相等的平行四边形对角线有一个角是直角的平行四边形有三个角是直角的四边形角 探究菱形的判定方法四边形平行四边形菱形探究判定，深化认知 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.∵四边形ABCD是平行四边形，ABCDAB=BC，∴四边形ABCD是菱形. 探究菱形的判定方法四边形平行四边形菱形一组邻边相等 前提条件是平行四边形对角线互相垂直的平行四边形是菱形.菱形的对角线互相垂直.题设结论 猜想对角线互相垂直的平行四边形是菱形.已知：如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD.求证：ABCD是菱形.ABDCO ABD分析：要证ABCD是菱形O一组邻边相等+平行四边形证明DA=DCCOOA=OCAC⊥BDBD垂直平分线段AC 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC.∵AC⊥BD，∴DA=DC.又四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD是菱形.ABDOCO 菱形的判定定理：在ABCD中，∵AC⊥BD，∴ABCD是菱形.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.ABDCO 探究菱形的判定方法四边形平行四边形菱形一组邻边相等对角线互相垂直边对角线 菱形的四条边都相等.四条边相等的四边形是菱形.题设结论 猜想四条边相等的四边形是菱形.ABCD已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD.求证：四边形ABCD是菱形.一组邻边相等+平行四边形AB=BCAB=CD，BC=AD ABCD证明：∵AB=BC=CD=AD，∴AB=CD，BC=AD.∴四边形ABCD是平行四边形.又AB=BC，∴四边形ABCD是菱形. 菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形.∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形.ABCD 菱形的判定方法：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四条边相等的四边形是菱形；（定义）（判定定理）（判定定理） 探究菱形的判定方法菱形平行四边形一组邻边相等对角线互相垂直四边形四条边相等边对角线边对角线互相垂直平分对角线 菱形的判定方法：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）四条边相等的四边形是菱形；（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形. 菱形的判定方法：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）四条边相等的四边形是菱形；（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形. 菱形的判定方法：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）四条边相等的四边形是菱形；（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形.对角线边 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.菱形的特殊性质： 思考：下面的命题是真命题吗？（2）对角线平分一个内角的平行四边形是菱形.（1）对角线平分一组对角的四边形是菱形； ABCD(假命题）思考：下面的命题是真命题吗？（1）对角线平分一组对角的四边形是菱形； （2）对角线平分一个内角的平行四边形是菱形.已知：如图，在ABCD中，对角线AC平分∠DAB.求证：四边形ABCD是菱形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD.∴∠BAC=∠DCA.ABDC ∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC.∴∠DAC=∠DCA.∴DA=DC.∴四边形ABCD是菱形.ABDC (假命题）(真命题）思考：下面的命题是真命题吗？（2）对角线平分一个内角的平行四边形是菱形.（1）对角线平分一组对角的四边形是菱形； 应用练习，巩固知识例如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4，BO=3.求证：ABCD是菱形.ABCDOABO345AC⊥BDABCD+ 证明：∵AB=5，AO=4，BO=3，∴.∴△OAB是直角三角形.∴AC⊥BD.∴ABCD是菱形.ABCDO 例题小结勾股定理的逆定理直角三角形直角菱形三角形 例如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD.求证：四边形ABCD是菱形.BCFADEAE∥BF，AC平分∠BAD.分析：O AE∥BF，AC平分∠BAD.例如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD.求证：四边形ABCD是菱形.分析：213∠1=∠2∠1=∠3∠2=∠3AB=BCBC=AB=AD同理AB=ADADEOBCF 分析：BC=AB=ADAE∥BFAC平分∠BADBD平分∠ABC求证：四边形ABCD是菱形.AD∥BC方法1AD=BCABCDAB=BCBCFADEO BCFADEO方法2①AE∥BF②AC平分∠BAD③BD平分∠ABC④BC=AB=AD ④BC=AB=ADADEO①AE∥BF②AC平分∠BAD③BD平分∠ABC方法2BCFAC⊥BD，OA=OC OB=ODBCFADEO①AE∥BF②AC平分∠BAD③BD平分∠ABCAC⊥BD，OA=OCABCD菱形ABCD方法2④BC=AB=AD BCFADEO①AE∥BF②AC平分∠BAD③BD平分∠ABC方法3④BC=AB=AD A④BC=AB=ADBCFDEO①AE∥BF②AC平分∠BAD③BD平分∠ABC21AC⊥BD，OA=OCBD是线段AC的垂直平分线AD=CDBC=AB=AD=DC菱形ABCD方法3 方法总结：方法1方法2方法3一组邻边相等对角线互相垂直四条边相等证明菱形先证明平行四边形四边形（对角线互相垂直平分）平行四边形+平行四边形+ 证明：∵AE∥BF，∴∠1=∠2.∵AC平分∠BAD，∴∠1=∠3.∴∠2=∠3.∴AB=BC.ADEOB213C 证明：同理AB=AD.∴AD=BC.∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形.又AB=AD，∴四边形ABCD是菱形.ADEOB213C 例题小结等腰三角形三线合一的性质角平分线+平行线等腰三角形证明菱形线段的垂直平分线的性质证明线段相等或垂直关系的方法 例如图，在菱形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，连接DE，DF，BE，BF.（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）若∠DAB=60°，AC=6，求菱形DEBF的面积.ABCDEF 例如图，在菱形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，连接DE，DF，BE，BF.（1）求证：四边形DEBF是菱形；四边形DEBF是平行四边形四边形ABCDEF边对角线 AD分析：菱形ABCDBCEF点E，F将对角线AC三等分方法1AE=EF=CF1234∠1=∠2=∠3=∠4AB=BC=CD=AD 分析：菱形ABCDABCDEF1234AB=BC=CD=AD∠1=∠2=∠3=∠4点E，F将对角线AC三等分AE=EF=CF△AED≌△AEB≌△CFD≌△CFBDE=BE=DF=BF四边形DEBF是菱形方法1 D分析：菱形ABCDABCEF点E，F将对角线AC三等分AE=CF方法2连接BD，交AC于点OOAC⊥BD，OB=OD，OA=OC四边形DEBF是菱形垂直平分平分OE=OF 证明：连接BD，交AC于点O.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB=OD，OA=OC.∵点E，F将对角线AC三等分，∴AE=CF.∴OE=OF.ABCDEFO 证明：∵AC⊥BD，OB=OD，OE=OF，∴四边形DEBF是菱形.ABCDEFO 菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半.ABCDEFO例如图，在菱形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，连接DE，DF，BE，BF.（2）若∠DAB=60°，AC=6，求菱形DEBF的面积. 例如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F将对角线AC三等分，且AC=6，连接DE，DF，BE，BF.（2）求菱形DEBF的面积.ABCDEFO分析：求出EF，BD的长度 ABCDEFO分析：在菱形ABCD中，∠DAB=60° ABCDEFO分析：在菱形ABCD中，∠DAB=60° ABCDEFOADO30°3分析：在菱形ABCD中，∠DAB=60°BD=2点E，F将对角线AC三等分，且AC=6EF=AC=2 解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC，BD=2OD，∠DAC=∠DAB.∵AC=6，∠DAB=60°，∴OA=3，∠DAC=30°.在Rt△AOD中，OA=3，∠DAC=30°，∴AD=2OD.ABDCEFO ABCDEFO解：设OD长为x，则AD=2x，根据勾股定理，解得x=.∴OD=.∴BD=2OD=2. ABCDEFO解：∵点E，F将对角线AC三等分，∴EF=AC=2.∴. 例题小结菱形边角对角线性质判定平行四边形矩形 菱形的判定方法：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）四条边相等的四边形是菱形；（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形.课堂小结 菱形的判定方法：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）四条边相等的四边形是菱形；（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形.课堂小结 菱形的判定方法：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）四条边相等的四边形是菱形；（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形.课堂小结 菱形的判定方法：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）四条边相等的四边形是菱形；（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形.课堂小结 菱形的判定方法：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）四条边相等的四边形是菱形；（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形.课堂小结 三个角是直角的四边形一个角是直角的平行四边形四条边相等的四边形一组邻边相等的平行四边形矩形判定方法菱形判定方法角边对角线对角线（对角线互相垂直平分的四边形）对角线相等的平行四边形（对角线相等且互相平分对角线互相垂直的平行四边形的四边形） 平行四边形矩形菱形四边形三个角是直角四条边相等一个角是直角对角线相等一组邻边相等对角线互相垂直两组对边分别平行两组对角分别相等对角线互相平分一组对边平行且相等两组对边分别相等对角线相等且互相平分对角线互相垂直平分 研究图形的一般思路平行四边形一个角是直角一组邻边相等矩形菱形互逆一般特殊类比边角对角线定义性质判定 1.一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长分别是12和，这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？求出它的面积.布置作业 2.如图，四边形ABCD是菱形，点M，N分别在AB，AD上，且BM=DN，MG∥AD，NF∥AB；点F，G分别在BC，CD上，MG与NF相交于点E.求证：四边形AMEN，EFCG都是菱形.ABCDMNFGE 同学们再见！