矩形的性质 长方形也叫矩形，是生活中常见的图形．提出问题，引发思考 平行四边形请你观察平行四边形的变化，给矩形下一个定义．矩形 请你观察平行四边形的变化，给矩形下一个定义．平行四边形矩形有一个角是直角矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形是特殊的平行四边形 如图，记作矩形ABCD．DCBA 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=90°，∴□ABCD是矩形．DCBA 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是平行四边形，∠B=90°．DCBA 平行四边形性质边角对角线探究性质，深化认知对边平行且相等对角相等、邻角互补对角线互相平分 矩形性质边角对角线对边平行且相等对角相等、邻角互补对角线互相平分 观察边、角、对角线猜想矩形具有哪些一般平行四边形不具有的特殊性质．平行四边形矩形有一个角是直角 有一个角是直角观察角的变化平行四边形矩形猜想：矩形的四个角都是直角． 有一个角是直角观察对角线的变化平行四边形矩形猜想：矩形的对角线相等． 猜想2矩形的对角线相等．猜想1矩形的四个角都是直角； 猜想1矩形的四个角都是直角．已知：如图，四边形ABCD是矩形．求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°．DCBA AD∥BC分析：∠A=∠C，∠D=∠B∠A=90°∠A+∠B=180°DCBA四边形ABCD是矩形□ABCD∠B=90°∠D=∠B=90° 证明：∵四边形ABCD是矩形，不妨设∠B=90°，∴∠A=∠C，∠D=∠B=90°，AD∥BC．∴∠A+∠B=180°．∴∠A=180°-∠B=90°．∴∠C=∠A=90°．∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°．DCBA 矩形的性质：矩形的四个角都是直角．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°．DCBA 猜想2矩形的对角线相等．已知：如图，四边形ABCD是矩形，AC，BD是矩形ABCD的对角线．求证：AC=BD．ABCD ABCD分析：AB=CD∠ABC=∠DCB=90°△ABC≌△DCBAC=BD四边形ABCD是矩形BC=CB 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠ABC=∠DCB=90°．又BC=CB，∴△ABC≌△DCB．∴AC=BD．方法一ABCD 分析：AB=CD∠ABC=∠DCB=90°AC=BD四边形ABCD是矩形在Rt△ABC中，在Rt△DCB中，ABCD 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠ABC=∠DCB=90°．∴在Rt△ABC中，，在Rt△DCB中，．∴．∴AC=BD．方法二ABCD ∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD．矩形的性质：矩形的对角线相等ABCD 矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分．∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB=OC=OD．OABCD 矩形不同于平行四边形的特殊性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等． 矩形性质边角对角线矩形是特殊的平行四边形对边平行且相等四个角都是直角对角线相等且互相平分 边角对角线对边平行且相等四个角都是直角对角线相等且互相平分性质平行四边形矩形角特殊化一般特殊 例矩形对角线组成的对顶角中，有一组是两个50°的角，对角线与各边组成的角是多少度？如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD交于点O，∠AOB=∠COD=50°．12345678运用性质，解决问题ABCDO 四边形ABCD是矩形分析：OA=OB=OC=OD∠1=∠2，∠3=∠4∠5=∠6，∠7=∠8∠1=∠2=∠5=∠6∠3=∠4=∠7=∠8AB∥DC，AD∥BC∠1=∠5，∠3=∠712345678ABCDO 分析：∠1=∠2=65°∠3=90°-∠2=25°∠AOB=50°∠ABC=90°OA=OB四边形ABCD是矩形12345678ABCDO 答：对角线与各边组成的角是65°和25°．例矩形对角线组成的对顶角中，有一组是两个50°的角，对角线与各边组成的角是多少度？ABCDO ABCDO例如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4．求AC与BC的长． 对角线相等且互相平分ABCDO分析：（等边三角形）等腰三角形矩形的性质例如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4．求AC与BC的长． 例如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4．求AC与BC的长．OA=AB=4OA=OB=OC=OD△AOB是等边三角形四边形ABCD是矩形AC=8ABCDO分析： 四个角都是直角ABCDO分析：直角三角形矩形的性质勾股定理例如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4．求AC与BC的长． BC∠ABC=∠DCB=∠CDA=∠DAB=90°分析：△ABC是直角三角形四边形ABCD是矩形ABCDO例如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4．求AC与BC的长． 例如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4．求AC与BC的长．BC∠ACB=30°AC=2AB=8OB=OC四边形ABCD是矩形ABCDO分析：∠ABC=90°30° 解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB，∠ABC=90°．∵∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形．∴OA=AB=4．∴AC=2OA=8．ABCDO例如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4．求AC与BC的长． ∵∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形．在Rt△ABC中，，∴．ABCDO例如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4．求AC与BC的长． 等腰三角形直角三角形等边三角形含30°角的直角三角形ABCDO60°例题小结 ABCDO等腰三角形全等三角形直角三角形(等边三角形)ABCDOABCDO 全等三角形特殊化三角形平行四边形矩形直角三角形平行四边形与三角形的联系 ABCDOABCO在Rt△ABC中，BO是斜边AC上的中线，BO与AC有什么关系吗？探究直角三角形的性质矩形ABCDRt△ABC ABCD直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．探究直角三角形的性质ABCOO ABCO已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是斜边AC上的中线．求证：． 构造矩形分析：矩形的性质ABCOABCDO ABCO构造矩形分析：OA=OC，DO=BO四边形ABCD是平行四边形□ABCD是矩形∠ABC=90°D ABCO∵OA=OC，DO=BO，∴四边形ABCD是平行四边形．又∠ABC=90°，∴□ABCD是矩形．∴AC=BD．又，∴．延长BO至点D，使得DO=BO，连接AD，CD．D证明： ABCO直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是斜边AC上的中线，∴． 练习如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠ACD=3∠BCD，E是斜边AB的中点，∠ECD是多少度？运用性质，解决问题CAEDB 练习如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠ACD=3∠BCD，E是斜边AB的中点，∠ECD是多少度？∠ACD+∠BCD=90°4∠BCD=90°∠BCD=22.5°∠ACD=67.5°分析：CAEDB 练习如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠ACD=3∠BCD，E是斜边AB的中点，∠ECD是多少度？∠A=90°-∠ACD分析：∠ADC=90°，∠BDC=90°CAEDB∠B=90°-∠BCD 练习如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠ACD=3∠BCD，E是斜边AB的中点，∠ECD是多少度？∠ECA=∠A分析：CE=AE，CE=BECAEDB∠ECB=∠B ∠ACD=67.5°∠A=90°-∠ACD=22.5°∠ECA=∠A=22.5°∠ECD=∠ACD-∠ECA=45°分析：CAEDB ∠BCD=22.5°∠B=90°-∠BCD=67.5°∠ECB=∠B=67.5°∠ECD=∠ECB-∠BCD=45°分析：CAEDB ∵∠ACD=3∠BCD，∠ACB=90°，∴∠ACD=67.5°．又CD⊥AB，∴∠A=90°-∠ACD=22.5°．∵∠ACB=90°，点E是斜边AB的中点，∴AE=CE．∴∠ECA=∠A=22.5°．∴∠ECD=∠ACD-∠ECA=45°．CAEDB解： 矩形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？矩形是轴对称图形．对称轴是对边中点连线所在的直线．探究矩形的轴对称性 平行四边形有一个角是直角矩形定义性质边角对角线推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．一般特殊归纳总结，提升认识角的特殊化轴对称图形 构造转化直角直角归纳总结，提升认识平行四边形三角形矩形直角三角形构造转化 课后作业1．一个矩形的一条对角线长为8，两条对角线的一个交角为120°，求这个矩形的边长（结果保留小数点后两位）． 课后作业2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A，∠B的度数． CBDOxy课后作业3．如图，四边形OBCD是矩形，O，B，D三点的坐标分别为（0，0），（b，0），（0，d），求点C的坐标． 同学们再见！