平行四边形复习（第二课时） 作业回顾如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的中点.四边形EFGH是什么四边形？为什么？ 作业回顾如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的中点.四边形EFGH是什么四边形？为什么？全等三角形关注图形结构 作业回顾中位线正方形ABCDE，F，G，H分别是各边的中点四边形EFGH是正方形AC=BD，AC⊥BD，AC与BD互相平分EH=GF，EH∥GF，EH=BD，GH=AC 连接平行四边形、矩形、菱形各边中点所形成的四边形是什么图形？中点四边形 对角线角度再看中点四边形对角线互相平分对角线相等对角线互相垂直对角线互相垂直对角线相等数量关系位置关系 CABDPHEFG例如图，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想. CABDPHEFG例如图，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想.连接对角线，利用三角形的中位线 CABDPHEFGBD与AC的关系≌PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD CABDPHEFG猜想：四边形EFGH是菱形．证明：连接AC，BD．∵E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，∴EF//AC，HG//AC，EF=AC，HG=AC．∴EF//HG，EF=HG．同理可得EH//FG，EH=FG=BD． ∴四边形EFGH是平行四边形．∵∠APB=∠CPD，∴∠BPD=∠APC．∵PA=PB，PC=PD，∴≌．∴BD=AC．∴EF=FG=GH=HE．∴四边形EFGH是菱形．CABDPHEFG 变式若∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，写出中点四边形EFGH的形状并证明.CABDPHEFG CABDPHEFG四边形EFGH的形状BD与AC的关系与的关系变式若∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，写出中点四边形EFGH的形状并证明. CABDPHEFGQM若∠APB=∠CPD=90°，则平行四边形EFGH是正方形．BD⊥ACBD=AC在中∠QMD=∠PMC∠QDM=∠MCP∠DQM=∠CPD=90° 证明：连接AC，BD相交于点Q，AC，PD相交于点M．∵E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，∴EF//AC，HG//AC，EF=AC，HG=AC．∴EF//HG，EF=HG．同理可得EH//FG，EH=FG=BD．CABDPHEFGQM ∴四边形EFGH是平行四边形．∵∠APB=∠CPD，∴∠BPD=∠APC．∵PA=PB，PC=PD，∴≌．∴BD=AC．∴GH=HE．∴平行四边形EFGH是菱形．CABDPHEFGQM ∵≌，∴∠ACP=∠BDP．∵∠DMQ=∠CMP，∴∠CQD=∠CPD=90°．∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG=90°．∴菱形EFGH是正方形．CABDPHEFGQM CABDPHEFGCABDPHEFG中点四边形对角线互相平分对角线相等对角线互相垂直特殊的平行四边形 本章知识回顾本章我们利用平行四边形的性质，得出了三角形的中位线定理，利用矩形的性质，得到了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.ABCO ABCDOABCDOABCDEF平行四边形三角形中位线直角三角形斜边中线全等三角形构造平行四边形构造矩形连接对角线过一点作平行线连接两个中点取中点等 三角形全等三角形等腰三角形直角三角形等腰直角三角形勾股定理及其逆定理45°三线合一 平行四边形矩形菱形正方形轴对称中心对称图形变化 ACFEDB例如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D，E分别是AB，BC的中点，F在CA延长线上，∠FDA=∠B，AC=6，AB=8，求四边形AEDF的周长. ACFEDBRt△ABCAC=6，AB=8BC=10D，E分别是AB，BC的中点DE=3，AE=5 ACFEDB∠FDA=∠BDE∥ACAE=BE∠BAE=∠B∠FDA=∠BAEFD∥AE四边形FAED是平行四边形 解：在Rt△ABC中，∵AC=6，AB=8，∴BC=10．∵D，E分别是AB，BC的中点，∴DE=AC=3，DE//AC，AE=BE=BC=5．ACFEDB ∴∠B=∠BAE．∵∠FDA=∠B，∴∠FDA=∠BAE．∴FD//AE．又DE//AF，∴四边形AEDF是平行四边形．∴平行四边形AEDF的周长为16．ACFEDB ACFEDB等腰三角形直角三角形平行四边形中位线直角三角形斜边中线 例如图，AE，BD，CF为△ABC的三条中线，过点F作FM∥BD，过点D作DM∥AB，FM，DM相交于点M.连接CM.ACFEDBM求证：MC∥AE. ACFEDBMMC∥AE构造平行四边形AM∥EC，AM=ECE是BC中点 ACFEDBME是BC的中点F，D是AB，AC的中点FD∥CE，FD=CEFD∥AM，FD=AM FD∥AM，FD=AMACFEDBM四边形AFDM是平行四边形FM∥BD，DM∥ABF是AB中点 证明：连结AM，FD．∵FM∥BD，DM∥AB，∴四边形FBDM是平行四边形．∴BF=DM．∵AF=BF，∴AF∥DM，AF=DM．∴四边形AFDM是平行四边形．ACFEDBM ∴AM∥FD，AM=FD．又F，D，E分别为AB，AC，BC边中点，∴FD∥EC，FD=EC．∴AM∥EC，AM=EC．∴四边形AECM是平行四边形．∴MC∥AE．ACFEDBM ACFEDBM平行线段的数量关系和位置关系三个平行四边形构造平行四边形多种构造图形的角度解决问题 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.点到直线的距离点与点之间的距离ABabABDCabcdACBDab AEDCB例如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=4，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为_________． AEDCB例如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=4，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为_________．两条平行线之间任何两条平行线段都相等 例如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=4，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为_________．AEDCB面积比=底的比8AE：BD=1：2 AEBCPD例如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为______． AEBCPD例如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为______．菱形对角线互相垂直平分两条线段和的最小值轴对称对称轴 连接CE交BD于点PAEBCPD（F）CE长就是所求过点C作CF⊥AB于F周长16面积AB=4BF=2E，F重合 例如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为______．AEBCPD（F） 平行四边形矩形菱形正方形课堂小结四边形梯形 一般特殊图形变化角度看特殊平行四边形课堂小结体会图形之间的关系边、角、对角线 课后作业1．用纸板剪成两个全等三角形能够拼成什么四边形？要想拼成一个矩形，需要两个什么样的全等三角形？要想拼成菱形或正方形呢？动手剪拼一下，并说明理由． 课后作业2．如图，过平行四边形ABCD的对角线AC的中点O作两条互相垂直的直线，分别交AB，BC，CD，DA于点E，F，G，H四点，连接EF，FG，GH，HE．试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．ABCDEFHGO 同学们再见！