平行四边形的性质及判定定理的综合应用 梳理平行四边形的知识框架ABCD 平行四边形的性质平行四边形的定义平行四边形的判定边角对角线研究角度研究内容 定义两组对边分别平行对边相等对角线互相平分一组对边平行且相等判定定理性质对角相等 任务如图，已知四边形ABCD是平行四边形，请借助这个平行四边形的“边”、“角”或“对角线”，构造新的平行四边形.ABCD 1.借助平行四边形的“边”如图，已知四边形ABCD是平行四边形，E，F分别在AD，BC上，DE=CF，四边形ABFE是平行四边形吗？猜想：四边形ABFE是平行四边形.如何证明？ABCDFE 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC.又AE=AD-DE，BF=BC-CF，DE=CF，∴AE=BF.又AE∥BF，∴四边形ABFE是平行四边形.ABCDFE 平行四边形对边平行，对边相等DE=CF对边平行，对边相等平行四边形性质判定截取相等线段ABCDFE 延伸如果E，F分别是AD，BC上的动点，DE=CF，四边形ABFE是平行四边形吗？ABCDEFABCDEFABCDEF 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC.又AE=AD-DE，BF=BC-CF，∵DE=CF，∴AE=BF.又AE∥BF，∴四边形ABFE是平行四边形.长度变化相等关系不变不变不变ABCDFE 延伸如图，已知四边形ABCD是平行四边形，如果E，F分别是AD，BC上的动点，AE=CF，四边形EBFD是平行四边形吗？ABCDFE 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC.又DE=AD-AE，BF=BC-CF，AE=CF，∴DE=BF.又DE∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形.ABCDFE 延伸如图，已知四边形ABCD是平行四边形，如果E，F分别是AD，BC上的动点，AE=CF，连接CE，AF，你有新的发现吗？ABCDEFABCDEF ABCDEFGHHF∥GE性质EH∥FG性质DE=BFDE∥BFDEBF判定▱AE=CFAE∥CFAECF判定▱EHFG判定▱ 性质判定构造原平行四边形新平行四边形ABCDEFABCDEFABCDEFGH ABCDEFHG共有9个平行四边形.延伸如图，已知四边形ABCD是平行四边形，如果E，F分别是AD，BC上的动点，DE=CF，G，H分别是AB，CD上的动点，AG=DH，图中共有多少个平行四边形？ ABCDEFHGABCDEFHGABCDEFHG中点如何证明四边形GFHE是平行四边形？ 方法1：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C.∵G，H分别是AB，CD的中点，∴AG=AB，CH=CD.∴AG=CH.同理AE=CF.ABCDEFHG ∴△AGE≌△CHF.∴EG=FH.同理GF=HE.∴四边形GFHE是平行四边形.ABCDEFHG 证明：连接AC.∵G，F分别是AB，BC的中点，∴GF是△BAC的中位线.∴GF∥AC，GF=AC.同理EH∥AC，EH=AC.∴GF∥EH，GF=EH.∴四边形GFHE是平行四边形.方法2：同学们有什么发现？ABCDEFHG 结论如图，在四边形ABCD中，G，F，H，E分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形GFHE是平行四边形.ABCDEFGH ABCDEFHGABCDEFHGABCDEFHGABCDEFABCDEFGH 练习如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E，F分别是对角线AC，BD的中点．求证：CD=2EF．BACDEF 证明：取AB的中点G，连接CG，DG.∴AB=2AG．∵AB∥CD，AB=2CD，∴AG∥CD，AG=CD．∴四边形AGCD是平行四边形．又E是AC的中点，∴E是DG的中点．BACDEFG 同理F是CG的中点．∴EF是△GCD的中位线．∴CD=2EF．BACDEFG 中点平行四边形构造性质三角形中位线定理CD=2EFBACDEFG ABCDEFGH延伸如图，已知四边形ABCD是平行四边形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA延长线上的点，且BE=CF=DG=AH，四边形HEFG是平行四边形吗？ ABCDEFGH证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠BAD=∠DCB．∴∠HAE=∠FCG．又AE=AB+BE，CG=CD+DG，∵BE=DG，∴AE=CG． ABCDEFGH又AH=CF，∴△AHE≌△CFG．∴HE=FG．同理EF=GH．∴四边形HEFG是平行四边形． 2.借助平行四边形的“角”如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，四边形FBED是平行四边形吗？ABCDFE猜想：四边形FBED是平行四边形．如何证明？ 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，AB∥CD．∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠FBE=∠ABC，∠EDF=∠ADC，∴∠FBE=∠EDF．ABCDFE ∵AB∥CD，∴∠DEB+∠FBE=180°，∠BFD+∠EDF=180°，∴∠DEB=∠BFD．∴四边形FBED是平行四边形．ABCDFE 借助平行四边形的“边”新的平行四边形构造借助平行四边形的“角”新的平行四边形构造类比 延伸：能否改变“BE平分∠ABC，DF平分∠ADC”这个条件，使得四边形FBED还是平行四边形？∠EBF=∠FDE角平分线ABCDFE 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是CD，AB上的点，且∠EBF=∠FDE．求证：四边形FBED是平行四边形．ABCDFE ABCDFE∠DEB+∠EBF=180°∠BFD+∠FDE=180°平行四边形AB∥CD四边形FBED是平行四边形∠EBF=∠FDE∠DEB=∠BFD 延伸如图，已知四边形ABCD是平行四边形，如果E，F分别是CD，AB上的动点，∠EBF=∠FDE，四边形FBED是平行四边形吗？四边形FBED始终是平行四边形.ABCDFEABCDFEABCDFE 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF．求证：四边形EBFD是平行四边形．3.借助平行四边形的“对角线”ABCDEFO 思考：如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AC，CA延长线上的点，且AF=CE，四边形FBED是平行四边形吗？ABCDFEO 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．∵OF=OA+AF，OE=OC+CE，AF=CE，∴OF=OE．∴四边形FBED是平行四边形．ABCDFEO ABCDEFOABCDFEO改变已知条件中点的位置对角线互相平分新平行四边形 练习如图，已知AD是△ABC的中线，E为AC上一点，连接BE交AD于点F，且AE=FE.求证：BF=AC.ABCEFD中线点D是BC的中点对角线互相平分G分析： ABEFDGC证明：延长AD到点G，使DG=AD，连接BG，CG.∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC．又DG=AD，∴四边形ABGC是平行四边形．∴AC∥BG，AC=BG．∴∠EAF=∠BGF． ABEFDGC∵AE=FE，∴∠AFE=∠EAF．∵∠AFE=∠BFG，∴∠BGF=∠BFG．∴BF=BG．∴BF=AC． ABEFDGC中线平行四边形构造对边平行内错角相等已知等角对等边BF=AC 课堂小结原有图形平行四边形构造性质判定边、角对角线构造相等线段构造相等的角 作业1.如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形？为什么？ 2.如图，在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O.BO与OD的长度有什么关系？BC边上的中线是否一定过点O?为什么？（提示：分别取BO，CO的中点M，N，连接ED，EM，MN，ND．）ABCDEONM 同学们再见！