平行四边形的判定（第二课时） 边角对角线数量关系位置关系边角对角线复习回顾，引入新知判定性质数量关系位置关系 平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 复习回顾，引入新知DACBOAB∥DCAD∥BC四边形ABCD是平行四边形边AB=DCAD=BC角∠DAB=∠BCD∠ADC=∠CBA对角线BO=DOAO=CO两组两组两组两组 获得猜想，规范证明猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．如果一个四边形一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形．题设结论已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD．求证：四边形ABCD是平行四边形．DABC 分析两组对边分别平行一个四边形是平行四边形两组对边分别相等两组对角分别相等对角线互相平分一组对边平行且相等 DABC方法一：AB∥CD BC=DAAB∥CDDABC12□ABCD方法一：AB=CD△ABC≌△CDA∠1=∠2连接AC ∠3=∠4AB∥CD□ABCD方法二：△ABC≌△CDA∠1=∠2连接ACDABC1243BC∥ADAB=CD 连接AC△ABC≌△CDA∠3=∠4，∠B=∠DAB∥CDDABC12∠1=∠2□ABCD方法三：43∠BAD=∠DCBAB=CD 连接AC，BD△AOB≌△CODAO=CO，BO=DOAB∥CD∠1=∠2（∠AOB=∠COD）□ABCD方法四：ODABC21AB=CD 证明：连接AC．∵AB∥CD，∴　∠1=∠2．又AB=CD，AC=CA，∴△ABC≌△CDA．∴BC=DA．∴四边形ABCD是平行四边形．DABC12方法一 判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形．DABC 例如图，在□ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．求证：四边形EBFD是平行四边形．运用知识，巩固提升DABCEF 分析DABCEFAB=CD，AB∥CD□ABCDE是AB中点F是CD中点EB∥FDEB=AB，FD=CD□EBFDEB=FD 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，EB∥FD．又EB=AB，FD=CD，∴EB=FD．∴四边形EBFD是平行四边形．DABCEF 平行四边形一组对边位置关系数量关系平行相等判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．四边形 四边形边角对角线两组对边分别平行两组对边分别相等一组对边平行且相等两组对角分别相等对角线互相平分平行四边形平行四边形的判定方法 练习如图，AD为△ABC的角平分线，DE∥AB，在AB上截取BF=AE，试猜想EF与BD的关系，并证明你的结论．ABEFCD ABEFCDAD为△ABC的角平分线分析DE∥AB∠BAD=∠DAC∠BAD=∠ADE∠DAC=∠ADEAE=DE（已知）（已知） ABEFCD分析BF=AEAE=DEBF=DE，DE∥AB（已知）BF∥DE□BDEFEF=BD，EF∥BD（已证） ABEFCD猜想：EF=BD，EF∥BD．证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC．∵DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE．∴∠DAC=∠ADE．∴AE=DE． ABEFCD∵BF=AE，∴BF=DE．又BF∥DE，∴四边形BDEF是平行四边形．∴EF=BD，EF∥BD． 四边形边角对角线两组对边分别平行两组对边分别相等一组对边平行且相等两组对角分别相等对角线互相平分平行四边形位置关系数量关系 练习如图，在□ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足．求证：四边形AFCE是平行四边形．AFDCBEAE∥CF思路一一组对边平行且相等对角线BDAE⊥BD，CF⊥BD思路二对角线互相平分点E，F在BD上 方法一：AFDCBE□AFCEAE∥CFAE=CF（已知）AE⊥BDCF⊥BD∠AEF=∠CFE=90°∠AED=∠CFB=90°□ABCD（已知）AD∥BC∠ADB=∠CBDAD=BC△AED≌△CFB 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC．∴∠ADB=∠CBD．∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEF=∠CFE=90°，∠AED=∠CFB=90°．AFDCBE ∴△AED≌△CFB．∴AE=CF．又∠AEF=∠CFE，∴AE∥CF．∴四边形AFCE是平行四边形．AFDCBE □ABCDAFDCBE（已知）方法二： □ABCDAO=CO(∠AOE=∠COF)EO=FO△AEO≌△CFOAFDCBEO□AFCE（已知）AE⊥BDCF⊥BD（已知）连接AC方法二：∠AEO=∠CFO 证明：连接AC交BD于点O．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO．∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO=∠CFO=90°．AFDCBEO ∵∠AOE=∠COF，∴△AEO≌△CFO．∴EO=FO．∴四边形AFCE是平行四边形．AFDCBEO 方法一：AFDCBE□AFCEAE∥CFAE=CF（已知）AE⊥BDCF⊥BD∠AEF=∠CFE=90°∠AED=∠CFB=90°□ABCD（已知）AD∥BC∠ADB=∠CBDAD=BC△AED≌△CFB 方法三：□AFCEAE∥CFAE=CF（已知）AE⊥BDCF⊥BD∠AEF=∠CFE=90°∠AED=∠CFB=90°□ABCD（已知）AFDCBEAB∥CD∠ABD=∠CDBAB=CD△AEB≌△CFD 练习如图，在梯形ABCD中，AB∥DC．（1）已知∠A=∠B，求证AD=BC；（2）已知AD=BC，求证∠A=∠B．ADCB 练习如图，在梯形ABCD中，AB∥DC．（1）已知∠A=∠B，求证AD=BC；ADCB思路一：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．思路二：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． ADCBE过点D作DE∥CB，交AB于点E．ADCBE在AB上截取线段EB，使EB=DC，连接DE． 方法一：ADCB AD=ED∠A=∠B（已知）AB∥DC（已知）DE∥CBAD=BC□DEBCADCB1EED=BC∠1=∠B∠A=∠1方法一： 证明：过点D作DE∥CB，交AB于点E．∴∠1=∠B．∵∠A=∠B，∴∠A=∠1．∴AD=ED．ADCB1E ADCB1E∵DE∥CB，EB∥DC，∴四边形DEBC是平行四边形．∴ED=BC．∴AD=BC． ADCB方法二： ∠A=∠1ADCB1EED∥BC∠A=∠B（已知）∠B=∠1ED=BCAB∥DC(已知)□DEBCAD=BC方法二：EB=DCAD=ED 证明：在AB上截取线段EB，使EB=DC，连接DE．∵AB∥DC，EB=DC，∴四边形DEBC是平行四边形．∴ED∥BC，ED=BC．∴∠1=∠B．ADCB1E ∵∠A=∠B，∴∠A=∠1．∴AD=ED．∴AD=BC．ADCB1E ADCBE过点D作DE∥CB，交AB于点E．ADCBE在AB上截取线段EB，使EB=DC，连接DE．ADCBEADCBE过点C作CE∥DA，交AB于点E．在AB上截取线段AE，使AE=DC，连接CE． 练习如图，在梯形ABCD中，AB∥DC．（1）已知∠A=∠B，求证AD=BC；（2）已知AD=BC，求证∠A=∠B．ADCB ADCBAB∥DC（已知）分析 AD=BC（已知）ADCB1E∠A=∠BAB∥DC（已知）□DEBCED=BCED∥BC分析∠1=∠BAD=ED∠A=∠1 证明：过点D作ED∥BC交AB于点E．∴∠1=∠B．∵AB∥DC，ED∥BC，∴四边形DEBC是平行四边形．∴ED=BC．ADCB1E ADCB1E∵AD=BC，∴AD=ED．∴∠A=∠1．∴∠A=∠B． 常用的添加辅助线的方法ADCBEAFDCBEO连接对角线过一点作已知直线的平行线构造图形，解决问题作一条线段等于已知线段 反思回顾，总结提升判定性质定义边角对角线两组对边分别平行两组对边分别相等一组对边平行且相等两组对角分别相等对角线互相平分数量关系位置关系互逆平行四边形 课后作业1．如图，在□ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，且AF=CE．求证：四边形AECF是平行四边形．ADCBEF 课后作业2．如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形．求证：四边形ABCD是平行四边形．ADCBEF 同学们再见！