平行四边形性质的运用 练习如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，∠ABE=30°，求∠FBC和∠EBF的度数.对角相等平行四边形∠A=∠C∠ABC=∠D已知分析：∠FBC=∠ABEABCDEF邻角互补 ∠A∠EBF分析：∠ABC对边平行已知∠ABE=30°ABCDEF练习如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，∠ABE=30°，求∠FBC和∠EBF的度数. 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AD∥CB.∵BE⊥AD，BF⊥CD，∴∠ABE=90°-∠A，FBC=90°-∠C.∴∠ABE=∠FBC.∵∠ABE=30°，∴∠FBC=30°.ABCDEF ∵BE⊥AD，∠ABE=30°，∴∠A=60°.又∠ABC=180°-∠A，∴∠ABC=120°.∵∠EBF=∠ABC-∠ABE-∠FBC，∴∠EBF=60°.ABCDEF 平行四边形对角相等对边平行角的计算ABCDEF 求角的方法互余互补平行四边形对角相等邻角互补 梳理平行四边形的性质ABCD 平行四边形的性质对角线边角互相平分平行线间的距离相等对边平行对边相等对角相等邻角互补 例如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC和BD的交点，过点O作直线EF分别交AB，CD于E，F两点.求证：OE=OF.平行四边形ABCDEFO边角对角线 OA=OC，OB=OD三角形全等分析：OE=OF对角线互相平分平行四边形ABCDEFO 方法1：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，OB=OD.∴∠EBO=∠FDO，∠BEO=∠DFO.∴△BEO≌△DFO.∴OE=OF.ABCDEFO 方法2：对角线互相平分对边平行△AOE≌△COFOE=OFABCDEFO 思考：如果直线EF绕着点O转动，在转动的过程中，是否始终有OE=OF？ABCDEFOABCDEFOABCDEFO 方法1：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，OB=OD.∴∠EBO=∠FDO，∠BEO=∠DFO.∴△BEO≌△DFO.∴OE=OF.ABCDEFO不变角度变化相等关系不变不变 平行四边形性质线段相等三角形全等寻找ABCDEFOABCDEFO 思考问题的角度对角线的性质已知边的性质角的性质综合运用 变式若直线EF与AD，CB的延长线分别交于点M，N，线段DM和BN是否相等？如何证明？DM=BNABCDEFOMN ABCDEFOABCDEFOMN 方法1：△DMO≌△BNO平行四边形对角线DM=BNDM与OD，BN与OBABCDEFOMN 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，OD=OB.∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO.∴△DMO≌△BNO.∴DM=BN.ABCDEFOMN 方法2：对角线AC△AMO≌△CNOAM=CN对边相等AD=CBDM=BNABCDEFOMN 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD=CB，OA=OC.∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO.∴△AMO≌△CNO.∴AM=CN.∵DM=AM-AD，BN=CN-CB，∴DM=BN.ABCDEFOMN 方法3：角△MDF≌△NBEDM=BN∠ADC=∠ABCABCDEFOMN 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥CB，OB=OD，∠ADC=∠ABC.∴∠EBO=∠FDO，∠BEO=∠DFO.∴△BEO≌△DFO.∴BE=DF.又∠DMF=∠BNE，∠MDF=∠NBE.∴△MDF≌△NBE.∴DM=BN.ABCDEFOMN 思考：如果直线EF绕着点O转动，在转动的过程中，直线EF始终与AD，CB的延长线相交，是否有DM=BN？ABCDEFOMNDM=BN OB=ODAD∥CBAD∥CBAD=CBOA=OC∠ADC=∠ABCAD∥CBOB=ODABCDEFOMNABCDEFOMNABCDEFOMN 例在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，已知点A(2，0)，B(3，2).以O，A，B，C为顶点的平行四边形如图①，②，③所示，分别求出顶点C的坐标.①②③OA(2，0)B(3，2)CxyOA(2，0)B(3，2)CxyOA(2，0)CxyB(3，2) 对边平行点C的纵坐标第一种情形：BC平行于x轴B(3，2)①OA(2，0)CxyB(3，2) 对边相等点C的横坐标点C到y轴的距离B(3，2)A(2，0)OA(2，0)CxyD①B(3，2) 解：延长BC，交y轴于点D.∵四边形OABC是平行四边形，∴OA∥BC，OA=BC.∵B(3，2)，∴BD=3，点B到x轴的距离为2.又点C在第一象限，∴点C的纵坐标为2.OA(2，0)CxyD①B(3，2) 又A(2，0)，∴OA=2.∵CD=BD-BC.∴CD=1.∴点C的横坐标为1.∴点C的坐标为(1，2).OA(2，0)CxyD①B(3，2) 对边平行对边相等△AMB≌△ONC点C的坐标第二种情形：②OA(2，0)CxyMNB(3，2) 解：分别过点B，C向x轴作垂线，垂足分别为M，N.∴∠AMB=∠ONC=90°.∵四边形OCAB是平行四边形，∴AB∥OC，AB=OC.∴∠COA=∠BAO.∴∠CON=∠BAM.∴△CON≌△BAM.②OA(2，0)CxyMNB(3，2) ∴ON=AM，NC=MB.∵B(3，2)，点C在第三象限，∴点C的纵坐标为-2.∵A(2，0)，M(3，0)，∴AM=1.∴ON=1.∴点C的坐标为(-1，-2).②OA(2，0)CxyMNB(3，2) 对边平行点C的纵坐标对边相等点M，N的坐标点C的坐标第三种情形：③OA(2，0)CxyMNB(3，2) 解：分别过点B，C向x轴作垂线，垂足分别为M，N.∵四边形OACB是平行四边形，∴OA∥BC，OB∥AC，OB=AC.∴BM=CN.又点B(3，2)，点C在第一象限，∴点C的纵坐标为2.③OA(2，0)CxyMNB(3，2) ∵OB∥AC，∴∠BOM=∠CAN.又∠BMO=∠CNA=90°.∴△BOM≌△CAN.∴OM=AN.∵M(3，0)，即OM=3，∴AN=3.③OA(2，0)CxyMNB(3，2) 又A(2，0)，∴ON=OA+AN.即ON=5.∴N(5，0).∴C(5，2).③OA(2，0)CxyMNB(3，2) C(1，2)C(-1，-2)C(5，2)OA(2，0)CxyOA(2，0)CxyOA(2，0)CxyB(3，2)B(3，2)B(3，2) 点的坐标的含义平行四边形性质点的坐标OA(2，0)CxyDOA(2，0)B(3，2)CxyOA(2，0)CxyMNMNB(3，2)B(3，2) 在坐标系中研究几何图形几何图形的特征坐标系的特征数形结合解决问题 AE平分∠DABBF平分∠ABC角的性质练习如图，在ABCD中，AE平分∠DAB，BF平分∠ABC，AE，BF分别交CD于点E，F，且AE，BF相交于点M.（1）求证：AE⊥BF；（2）判断线段DF与CE的大小关系，并说明理由.ABCDEFM▱ （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠DAB+∠ABC=180°.∵AE平分∠DAB，BF平分∠ABC，∴2∠EAB+2∠FBA=180°.∴∠EAB+∠FBA=90°.∴∠AMB=90°.∴AE⊥BF.ABCDEFM （2）解：DF=CE，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD=BC.∴∠DEA=∠EAB.又AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠EAB.∴∠DEA=∠DAE.ABCDEFM ∴DE=AD.同理CF=BC.∴DE=CF.∵DF=DE-EF，CE=CF-EF，∴DF=CE.ABCDEFM 课堂小结平行四边形角的有关计算线段的证明定义性质图形与坐标平行线间的距离相等 1.如图，直线l1∥l2，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？你还能画出一些与△ABC面积相等的三角形吗？作业ABCDl1l2 2.如图，平行四边形OABC的顶点O，A，C的坐标分别是(0，0)，(a，0)，(b，c).求顶点B的坐标.OA(a，0)C(b，c)Bxy 同学们再见！