平行四边形的性质（第二课时） 复习旧知，引入新知问题1我们学过的平行四边形的性质有哪些？平行四边形的对边平行平行四边形的对边相等边平行四边形的邻角互补平行四边形的对角相等角 DABC问题2平行四边形的对边相等的性质是如何证明的？连接对角线构造全等三角形O DABCO问题3如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA与OC，OB与OD有什么关系？度量一下，和你的猜想一致吗？观察图形，提出猜想发现：OA=OC，OB=OD OA=OCOB=OD（O为AC中点）（O为BD中点）AC与BD相交于点OAC与BD互相平分DABCO 猜想：平行四边形的对角线互相平分.DABCO 猜想：平行四边形的对角线互相平分.如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角线互相平分.证明猜想，得出结论结论题设 DABCO已知：如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.求证：OA=OC，OB=OD.分析：三角形全等线段相等△AOD≌△COB，△AOB≌△COD DABCO已知：如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.求证：OA=OC，OB=OD.分析：三角形全等线段相等△AOD≌△COB 分析：DABCOAD∥BC四边形ABCD是平行四边形1234∠1=∠2，∠3=∠4AD=BC△AOD≌△COBOA=OC，OB=OD平行四边形的定义平行四边形的对边相等 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC.∴∠1=∠2，∠3=∠4.∴△AOD≌△COB.∴OA=OC，OB=OD.证明：3124DABCO 性质：平行四边形的对角线互相平分.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD.DABCO 典例分析，巩固新知例如图，ABCD的顶点A，C与EBFD的顶点E，F在一条直线上.求证：AE=CF.DABCEF 从平行四边形的对角线入手ABCD与EBFD的一条对角线在同一直线上平行四边形的对角线互相平分分析:DABCEF连接对角线BD，交AC于点OO 证明：如图，连接BD，交AC于点O.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC.∵四边形EBFD是平行四边形，∴OE=OF.∴OA-OE=OC-OF.即AE=CF.DABCEFO DABCOEF平行四边形的对角线互相平分.线段相等连接对角线 练习如图，在ABCD中，AD=10，AC=8，BD=14，则△AOD的周长是.△AOD的周长=AD+OA+OD分析:平行四边形的对角线互相平分AC已知104721DABCOBD DABCO练习如图，在ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，则△AOB的面积与△COB的面积的大小关系为：S△AOBS△COB. 分析:四边形ABCD是平行四边形平行四边形的对角线互相平分AO=COBO为△ABC的边AC上的中线S△AOB=S△COBO为AC中点DABCO 练习如图，在ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，则△AOB的面积与△COB的面积的大小关系为：S△AOBS△COB.＝还有哪些三角形的面积和它们相等？S△AOB=S△COB=S△AOD=S△CODDABCO △AOD≌△COBDABCOS△AOD=S△COB△AOB≌△CODS△AOB=S△COD= 四边形ABCD是平行四边形平行四边形的对角线互相平分AO=CODO为△ACD的边AC上的中线S△AOD=S△CODO为AC中点DABCO 四边形ABCD是平行四边形平行四边形的对角线互相平分BO=DOAO为△ABD的边BD上的中线S△AOB=S△AODO为BD中点DABCO S△AOB=S△COBS△AOD=S△CODS△AOB=S△COB=S△AOD=S△COD四边形ABCD是平行四边形平行四边形的对角线互相平分AO=CO，BO=DOS△AOB=S△AODDABCO DABCO平行四边形的两条对角线将平行四边形分成面积相等的四部分.图中还有其他面积相等的三角形吗？ DABCDABCS△ABC=S△CDAS△ABD=S△CDB△ABC≌△CDA△ABD≌△CDB=平行四边形的一条对角线将平行四边形分成面积相等的两部分. S△ABC=S△CDAS△AOB=S△AOD=S△COB=S△CODS△AOB+S△COB=S△AOD+S△COD同理S△ABD=S△CDBDABCO 平行四边形的性质平行四边形的对边平行平行四边形的邻角互补边角性质对角线平行四边形的对边相等平行四边形的对角相等平行四边形的对角线互相平分性质定理 例如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F.求证：OE=OF.三角形全等线段相等分析:DABCEFO 分析:四边形ABCD是平行四边形AB∥CD平行四边形的定义AO=CO∠EAO=∠FCO，平行四边形的对角线互相平分∠AOE=∠COF△AOE≌△COF（ASA）OE=OFDABCEFO 分析:四边形ABCD是平行四边形AB∥CD平行四边形的定义平行四边形的对角线互相平分DABCEFOAO=CO∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO∠AOE=∠COF△AOE≌△COF 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，AB∥CD.∴∠EAO=∠FCO.又∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF.∴OE=OF.DABCEFO 例如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F.求证：OE=OF.三角形全等线段相等分析:DABCEFO△AOE≌△COF△BOE≌△DOF 例如图，在ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC.求OC的长.DABCO 分析:AC的长平行四边形的对边相等AB=10BC=AD=8勾股定理AC⊥BCDABCO四边形ABCD是平行四边形平行四边形的对角线互相平分OC=OAOC的长 解:∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=8，OA=OC.∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形.根据勾股定理，.又OA=OC，∴=3.DABCO 平行四边形的性质平行四边形的对边平行边角平行四边形的对边相等平行四边形的邻角互补平行四边形的对角相等综合运用定义和性质解决问题性质对角线平行四边形的对角线互相平分与全等三角形、勾股定理等知识相结合 DABCO分析:练习如图，在ABCD中，BC=10，AB=6.△ABO与△ADO的周长哪个长？长多少？△ABO的周长=AB+BO+OA△ADO的周长=AD+DO+OA公共边 分析:△ABO的周长=AB+BO+OA△ADO的周长=AD+DO+OA平行四边形的对角线互相平分BO=DO四边形ABCD是平行四边形DABCO 分析:△ABO的周长=AB+BO+OA△ADO的周长=AD+DO+OA平行四边形的对边相等AD=BC四边形ABCD是平行四边形=BC+DO+OADABCO 分析:BC=10，AB=6△ADO的周长比△ABO的周长长4BC>ABDABCO 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO，AD=BC.∵BC=10，AB=6，∴BC-AB=4，BC>AB.∴AD>AB.∴AD+DO+OA>AB+BO+OA.即△ADO的周长比△ABO的周长长.∴△ADO的周长长，长4.DABCO 练习如图，ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB=，AC=2，BD=4，则AE的长为.ABOECD 分析：ABOECD平行四边形的对角线互相平分AO=CO=1，BO=DO=2四边形ABCD是平行四边形AB=△OAB是直角三角形（∠OAB=90°）BC=勾股定理的逆定理勾股定理 分析：ABOECD已知平行四边形ABCD的面积AB・ACBC・AE=已求 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO.∵AC=2，BD=4，∴AO=AC=1，BO=BD=2.∵，即AB2+AO2=BO2，ABOECD ∴∠OAB=90°.∴△ABC是直角三角形.根据勾股定理，.∵SABCD=AB・AC=BC・AE，∴・AE.∴AE=.ABOECD 性质：平行四边形的对角线互相平分.反思回顾，总结提升∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD.线段中点三角形的中线面积相等新知识旧知识建立联系DABCO 转化如何探究平行四边形的性质提出猜想观察、度量证明猜想四边形三角形（未知）（已知） 对边平行且相等数量关系、位置关系邻角互补、对角相等对角线互相平分定义性质平行四边形研究线段之间的关系、角之间的关系提供了新思路研究角度 课后作业1.如图，在ABCD中，BC=10，AC=8，BD=14.△AOD的周长是多少？△ABC与△DBC的周长哪个长？长多少？DABCO 课后作业2.如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD=36，AB=11.求△OCD的周长.DABCO 同学们再见