二次根式的概念及性质（第一课时） 一、引入概念二次根式整式、分式字母表示数数式通性 运算数与字母运算定义加/减乘除乘方开方单项式多项式整式 一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子叫做分式（fraction）.分式定义 运算数与字母运算定义加/减乘除乘方开方单项式多项式整式？分式（分母含字母） 电视塔越高,从塔顶发射出的电磁波传播得越远,从而能收看到电视节目的区域就越广.电视塔高h（单位:km）与电视节目信号的传播半径r（单位:km）之间存在近似关系r＝其中R是地球半径,R≈6400km.实际应用 汽车刹车时的速度v与汽车刹车后滑行的距离S之间存在关系.其中,g是常数9.8,μ是摩擦系数.在解决交通肇事问题时,可以通过测量刹车后车轮滑过的距离计算车辆行驶的速度.实际应用 爱因斯坦的相对论家喻户晓.它是关于时空和引力的理论.根据爱因斯坦的相对论,地球上的1秒钟,宇宙飞船内只经过秒.其中,v是宇宙飞船的速度,c是光速(约每秒30万千米).实际应用 一元二次方程的求根公式:直角三角形的斜边abc数学应用 二、抽象概念 算术平方根：一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.规定：0的算术平方根是0.被开方数二次根号 一般地,我们把形如的式子叫做二次根式.二次根式：①含有二次根号.②a可以是数,也可以是含字母的式子.注意： 想一想在二次根式的定义中,为什么要求“a≥0”？“数式通性”：负数没有算术平方根.若a是常数,则a为非负数；若a是式子,则式子的值是非负的. 反过来：当a>0时,0；当a=0时,0.=想一想 二次根式的双重非负性：归纳 如5,它们都是用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式. (1)下列式子一定是二次根式的是().（A）（B）（C）（D）例1根据二次根式定义进行判断C (2)当x是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义？例1根据二次根式定义进行判断解：解： 例1根据二次根式定义进行判断解：解：(2)当x是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义？ 例1根据二次根式定义进行判断解：解：(2)当x是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义？ 例1根据二次根式定义进行判断解：解：(2)当x是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义？ 总结：求使代数式有意义的字母取值范围的条件：1.二次根式型：被开方数≥0；2.分式型：分母0；3.零指数幂型：底数0；4.复合型：各部分取值范围的公共部分. 例2二次根式双重非负性的应用（1）当x取何值时,的值最小,最小值是多少？≥00解：的值最小.即当时,的值最小,最小值是3.,当时, 例2二次根式双重非负性的应用（2）若,则a+b−c=.分析：0+0=0≥0≥0≥00+0+0=0a=−2,b=3,c=−4.a+b−c=5.5 总结：二次根式的双重非负性1.二次根式的最小值为0；2.常见的具有非负性的式子有：若,则a=b=c=0. (1)若是正整数,则n的最大整数值是.例3二次根式双重非负性的应用n取最大整数完全平方数正整数10-n是非0的最小的完全平方数分析：910-n=1 (2)已知a满足,则.例3二次根式双重非负性的应用 例3二次根式双重非负性的应用分析： (2)已知a满足,则.例3二次根式双重非负性的应用2021分析： 例4二次根式双重非负性的应用已知：a与b为等腰三角形的两边长,且满足等式求这个等腰三角形的周长.分析：(舍) 例4二次根式双重非负性的应用解：由题意可得解得a,b为等腰三角形的两边长,2+2=4(舍),等腰三角形周长为4+4+2=10.三边为2,2,4或4,4,2. 提升练习1.下列式子中是二次根式的有().①；②；③④⑤.(m＞2)；；④⑤ 提升练习x不可以取3的是().(A)只有①(B)只有②(C)①和②(D)①和③C2.在下列式子：①,②(x－3)0,③中, 归纳小结1.二次根式的定义形如（a≥0）的式子叫做二次根式.2.二次根式的性质（1）双重非负性：. 作业1.当a是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义？2.当x是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义？3.(1)已知是整数,求自然数n所有可能的值;(2)已知是整数,求正整数n的最小值. 祝同学们越来越优秀！