2020-2021学年广州市荔湾区八年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列银行的图标中，既是旋转对称图形又是轴对称图形的是(    )A.B.C.D.2.若代数式x-1x-2有意义，那么x的取值范围是(    )A.x>2B.x≥1C.x≥1且x≠2D.x≠23.下列运算正确的是(    )A.a2⋅a3=a6B.(-a2)3=-a6C.(ab)2=ab2D.a6÷a3=a24.若分式x2x-2y中的x和y都扩大2倍，那么分式的值(    )A.扩大2倍B.不变C.缩小2倍D.扩大4倍5.下列各组长度的线段中，不能组成三角形的是(    )A.6cm，6cm，6cmB.6cm，6cm，8cmC.6cm，7cm，8cmD.3cm，6cm，9cm6.如图，CD是△ABC的角平分线，∠A=30°，∠B=66°，则∠BDC的度数是(    )A.96°B.84°C.76°D.72°7.(mx2-3x)(x2-2x-1)乘积中不含x3项，则m的值是(    )A.-2B.-1.5C.3D.2.58.下列定理中，没有逆定理的是(    )A.直角三角形的两个锐角互余B.等腰三角形两腰上的高相等C.全等三角形的周长相等D.有一个锐角对应相等的两直角三角形相似 9.   如图，是的内接正三角形，四边形ABCD是的内接正方形，//，   则∠=(   )．A. B. C. D. 10.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°后，得到△ACF，连接DF，则下列结论中有(    )个是正确的．①∠DAF=45°  ②△ABE≌△ACD  ③AD平分∠EDF    ④BE2+DC2=DE2A.4B.3C.2D.1二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.已知点P(3,-1)关于y轴的对称点Q的坐标是(a+b,1-b)，则-ab的算术平方根为______．12.若代数式是完全平方式，那么m的值是      ．13.如图，在四边形ABCD中，∠1=∠2=∠A=30°，则∠ADB=______．14.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为______．15.已知关于x的分式方程2a+1x+1=a无解，则a的值是______．16.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=88°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点E、F分别在BC、AC上，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠DOE的度数为______．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分） 17.计算：(x+3y)2-2(x+3y)(x-3y)+(x-3y)2．18.因式分解：(1)9ax2-ay2；(2)3a3-6a2+3a19.观察下列式子：1=2×01+1,2=3×12+123=4×23+13,4=5×34+14⋯(1)根据上述规律，请猜想，若n为正整数，则n=(n+1)⋅n-1n+1n(n+1)⋅n-1n+1n(2)证明你猜想的结论．20.(1)解分式方程32x=2x+1(2)在△ABC中，∠A=∠B-10°，∠C=∠B-5°，求△ABC的各个内角的度数．21.如图，在等边△ABC中，点D是AC的中点，点F是BC的中点，以BD为边作等边△BDE，连结点A、E.求证：四边形AEBF为矩形．22.如图，单位长度为1的方格纸中，①写出△ABC的各顶点坐标，并画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；②写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2的各点坐标；③求△ABC的面积． 23.为了增强公民的节水意识，合理利用水资源，某市出台了居民用水“阶梯价格”制度来引导市民节约用水，下表是用水价格的标准：阶梯一户居民每月用水量(单位：立方米)水费价格(单位：元/立方米)一档不超过15立方米a二档超过15立方米的部分b已知该市某户居民今年4月份用水16立方米，缴纳水费50元；5月份用水20立方米，缴纳水费70元．(1)求出表格中a、b的值；(2)6月份是用水高峰期，该户居民计划6月份水费支出不超过85元，那么该户居民6月份最多可用水多少立方米？24.将一副直角三角板如图①所示放置，其中∠AOB=∠COD=90°，∠BAO=60°，∠ABO=30°，∠ODC=45°．(1)图①中AB与CD相交于点E，∠CAE的度数为______°；(2)如图②，将图①中的三角板COD绕点O按每秒20°的速度顺时针方向旋转，当旋转角等于180°时停止旋转，则旋转多少秒时恰好AB//OC？(3)将图①中三角板COD绕点O按顺时针方向旋转，当旋转至图③所示位置，设AB与CD相交于点E，AO的延长线为OF，当∠DOF=2∠AOC时，求∠AED的度数．(用“因为…、所以…”的格式说明理由．) 25.建立平面直角坐标系(如图所示)，OA=OB，点P自点A出发沿线段AB匀速运动至点B停止，同时点D自原点出发沿x轴正方向匀速运动，在点P、D运动的过程中，始终满足PO=PD，过点O、D向AB作垂线，垂足分别为点C、E，设OD的长为x(1)求AP的长(用含x的代数式表示)(2)在点P、D运动的过程中，线段PC与BE是否相等？若相等，请给予证明；若不相等，请说明理由；(3)设以点P、O、D、E为顶点的四边形面积为y，请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 参考答案及解析1.答案：C解析：解：A、是旋转对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；B、是旋转对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；C、是旋转对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确；D、是旋转对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误．故选C．根据轴对称图形与旋转对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转一定的角度后能够与自身重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，这个点叫做旋转中心．然后对各图形分析后即可得解．本题考查了旋转对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；旋转对称图形是要寻找旋转中心，旋转一定角度后与原图重合．2.答案：C解析：解：由题意得，x-1≥0且x-2≠0，解得x≥1且x≠1．所以x≥-2且x≠2，故选：C．根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．3.答案：B解析：试题分析：根据同底数相乘，底数不变指数相加；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项计算后利用排除法求解．A、应为a2⋅a3=a5，故本选项错误；B、(-a2)3=-a6，正确；C、应为(ab)2=a2b2，故本选项错误；D、应为a6÷a3=a3，故本选项错误． 故选B．4.答案：A解析：解：分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，得4x22x-4y=2×x2x-2y可见新分式是原分式的2倍．故选：A．依题意分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．5.答案：D解析：本题考查了能够组成三角形三边的条件．注意：用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断．解：A.显然是等边三角形；B.6+6>8，能够组成三角形；C.6+7>8，能够组成三角形；D.3+6=9，不能组成三角形．故选D．  6.答案：D解析：解：∵∠A=30°，∠B=66°，∴∠ACB=180°-30°-66°=84°，∵CD是△ABC的角平分线，∴∠ACD=12∠ACB=12×84°=42°．∴∠BDC=∠A+∠ACD=30°+42°=72°．故选：D．根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再根据CD是△ABC的角平分线，即可求出∠ACD的度数；再根据三角形内角和外角的关系即可求出∠BDC的度数．此题考查了三角形的内角和定义、角平分线的定义和三角形内角与外角的关系，是一道好题．7.答案：B 解析：解：原式=mx4+(-2m-3)x3+(-m+6)x2+3x，由结果不含x3项，得到-2m-3=0，解得：m=-1.5，故选：B．原式利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含x3项，求出m的值即可．此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8.答案：C解析：解：A、其逆命题是“两个直角三角形全等，那么斜边和一直角边对应相等”，正确，所以有逆定理；B、其逆命题是“如果一个三角形两腰上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形”正确，所以有逆定理；C、其逆命题是“周长相等的三角形是全等三角形，错误，所以没有逆定理；D、其逆命题是“两直角三角形相似，它的另一个锐角对应相等”，正确，所以有逆定理；故选C．先写出各选项的逆命题，判断出其真假即可解答．本题考查了命题与定理；在解题时要能对每一项的逆命题进行正确判断是本题的关键．9.答案：D解析：连结OD，根据等边三角形性质得PQ=PR=QR，则∠POQ=×360°=120°，根据圆内接等边三角形的性质有OP⊥QR，而BC//QR，所以OP⊥BC，根据四边形ABCD是⊙O的内接正方形，则OP⊥AD，∠AOD=90°，然后根据垂径定理可得∠AOP=∠DOP=45°，再利用∠AOQ=∠POQ-∠AOP计算即可．解：连结OD，如图，∵△PQR是⊙O的内接正三角形， ∴PQ=PR=QR，∴∠POQ=×360°=120°，OP⊥QR，∵BC//QR，∴OP⊥BC，∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，∴OP⊥AD，∠AOD=90°，∴弧AP=弧DP，∴∠AOP=∠DOP，∴∠AOP=×90°=45°，∴∠AOQ=∠POQ-∠AOP=75°．故选D．10.答案：B解析：解：由旋转可知：△BAE≌△CAF，∴∠BAE=∠CAF，∴∠EAF=∠BAC=90°，∵∠EAD=45°，∴∠EAD=∠FAD=45°，∴AD平分∠EAF，∵AD=AD，AE=AF，∴△DAE≌△DAF(SAS)，故①③正确，∴DE=DF，∵∠ACF∠B=∠ACB=45°，∴∠DCF=90°， ∴DF2=CD2+CF2，∵DF=DE，BE=CF，∴BE2+CD2=DE2，故④正确，无法判断△ABE≌△ACD，故②错误．故选：B．利用旋转不变性证明△DAE≌△DAF，即可判断①③正确，再利用勾股定理即可判断④正确．本题考查旋转变换，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，今天的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．11.答案：10解析：解：∵点P(3,-1)关于y轴的对称点Q的坐标是(a+b,1-b)，∴a+b=-3，1-b=-1，解得：a=-5，b=2，则-ab=10，算术平方根为10，故答案为：10．根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得a+b=-3，1-b=-1，计算出a、b的值，然后可得-ab的值，再求算术平方根即可．此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，以及算术平方根，关键是掌握关于y轴对称点的坐标特点．12.答案：±6解析：试题分析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．∵x2+mx+9=x2+mx+32，∴mx=±2×3x，解得m=±6．故答案为：±6．13.答案：120°解析：解：∵∠1=∠2=∠A=30°，∠ADB+∠A+∠2=180°，∴∠ADB=180°-∠A-∠2=180°-30°-30°=120°，故答案为：120°． 根据三角形的内角和定理求出∠ADB=180°-∠A-∠2=120°即可．本题考查了三角形内角和定理．掌握三角形的内角和是180°是解此题的关键．14.答案：2cm解析：解：过点D作DE⊥AB于E，∵在△ABC中，∠C=90°，∴DC⊥AC，∵AD是∠BAC的角平分线，∴DE=CD，∵BC=5cm，BD=3cm，∴CD=BC-BD=2cm，∴DE=2cm．∴点D到AB的距离为2cm．故答案为：2cm．首先过点D作DE⊥AB于E，由在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质，即可得DE=CD，又由BC=5cm，BD=3cm，即可求得CD的长，继而求得点D到AB的距离．此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．15.答案：-12解析：解：两边都乘以(x+1)，得2a+1=a(x+1)．分式方程的增根是x=-1．将x=-1代入2a+1=a(x+1)，得2a+1=0，解得a=-12，故答案为：-12．根据分式方程无解，可得分式方程的增根是整式方程的解，根据方程的解满足方程，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．本题考查了分式方程的解，把分式方程的增根代入整式方程得出关于a的方程是解题关键．16.答案：140° 解析：解：连接OB、OC，如图所示：∵∠BAC=88°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，∴∠OAB=∠ABO=44°，∵AB=AC，∠BAC=88°，∴∠ABC=∠ACB=46°，∵OD垂直平分AB，∴OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=44°，∴∠OBC=46°-44°=2°，∵AB=AC，OA平分∠BAC，∴OA垂直平分BC，∴BO=OC，∴∠OBC=∠OCB=2°，∵点C沿EF折叠后与点O重合，∴EO=EC，∴∠OCB=∠EOC=2°，∴∠OEB=∠OCB+∠EOC=4°，∴∠BOE=180°-4°-2°=174°，∵∠BOD=90°-44°=46°，∴∠DOE=360°-46°-174°=140°；故答案为：140°．连接OB，根据角平分线定义得到∠OAB=∠ABO=35°，再根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，再根据线段垂直平分线的性质得到OA=OB，则∠OBA=∠OAB，所以得出∠1，由于AB=AC，OA平分∠BAC，根据等腰三角形的性质得OA垂直平分BC，则BO=OC，所以得出∠1=∠2，然后根据折叠的性质得到EO=EC，于是∠2=∠3，再根据三角形的外角性质得出∠OEB，求出∠BOE和∠BOD的度数，即可得出答案．本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．17.答案：解：原式=[(x+3y)-(x-3y)]2，=(x+3y-x+3y)2， =36y2．解析：首先把x+3y和x-3y分别看做一个整体，则原式符合完全平方公式，即得：[(x+3y)-(x-3y)]2，去掉括号，合并同类项，即可推出结论．本题主要考查对完全平方公式的运用，关键在于首先把x+3y和x-3y分别看做一个整体，正确的运用完全平方公式，认真的去括号，合并同类项．18.答案：解：(1)9ax2-ay2；=a(9x2-y2)=a(3x+y)(3x+y)；(2)3a3-6a2+3a=3a(a2-2a+1)=3a(a-1)2．解析：(1)此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有2项，可采用平方差公式继续分解．(2)此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．19.答案：解：(1)根据题意得：n=(n+1)⋅+ ； (2)证明：∵(n+1)⋅ + = + = =n， ∴n=(n+1)⋅ + . 故答案为：(n+1)⋅ + 解析：(1)观察一系列等式得到一般性规律，即可得到结果；(2)已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到结果为n，得证．20.答案：解：(1)32x=2x+1，方程两边都乘以2x(x+1)得：3(x+1)=4x，解得：x=3，检验：x=3时，2x(x+1)≠0，所以x=3是原方程的解， 即原方程的解为x=3；(2)∵∠A=∠B-10°，∠C=∠B-5°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B-10°+∠B+∠B-5°=180°，∴∠B=65°，∴∠A=55°，∠C=60°．解析：(1)先去分母，求出整式方程的解，再进行检验即可；(2)根据三角形内角和定理和已知得出关于∠B的方法，求出∠B即可．本题考查了解分式方程和三角形内角和定理，能把分式方程转化成整式方程是解(1)的关键，能求出∠B的度数是解(2)的关键．21.答案：证明：连接EF，∵等边△ABC中，点D是AC的中点，F是BC的中点，∴AF=BD，∠CBD=30°，∵△BDE是等边三角形，∴BE=BD，∠DBE=60°，∴AF=BD=BE，∠EBF=∠AFB=90°，在△ABF和△EFB中，AF=BE∠EBF=∠AFB=90°BF=FB，∴△ABF≌△EFB(SAS)，∴AB=EF，∵∠AFB=∠EBF=90°，∴AF//BE，又∵AF=BE，∴四边形AEBF是平行四边形，∵AB=EF， ∴四边形AEBF是矩形，解析：根据等边三角形的性质可得AF=BD=BE，再求出∠EBF=∠AFB=90°，然后利用“边角边”证明△ABF和△EFB全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=EF，再求出四边形AEBF是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可．本题考查了矩形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并确定出全等三角形是解题的关键．22.答案：解：①如图所示，A(-3,2)，B(-4,-3)，C(-1,-1)；②△ABC关于X轴对称的△A2B2C2的各点坐标为：A2(-3,2 )，B2(-4,3)，C2(-1,1)；③S△ABC=3×5-12×2×3-12×2×3-12×1×5=15-3-3-52=132．解析：①根据各点在坐标系中的位置写出各点坐标，并画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1即可；②写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2的各点坐标即可；③利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．本题考查的是作图-轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．23.答案：解：(1)设该市居民用水基本价格为a元/米 3，超过15米 3部分的价格为b元/米 3，根据题意，得15a+b=5015a+(20-15)b=70，解这个方程组，得a=3b=5．答：a的值是3，b的值是5．(2)设该户居民6月份最多可用水x立方米，根据题意，得15×3+5(x-15)≤85．解得x≤23．答：该户居民6月份最多可用水23立方米．解析：(1)该市居民用水基本价格为a元/米 3，超过15米 3部分的价格为b元/米 3，根据4月份和5月份的缴费情况列出a和b的二元一次方程组，求出a和b的值即可；(2)设该户居民6月份最多可用水x立方米，根据(1)中的分档收费标准列出方程并解答． 本题主要考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是根据题意列出a和b的二元一次方程组，此题难度不大．24.答案：120解析：解：(1)∵∠BAO=60°，∴∠AEC=180°-∠BAO=120°；故答案为120°；(2)∵AB//OC，∴∠BOC=∠ABO=30°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+30°=120°，∴120°÷20°=6秒；即：旋转6秒时，AB//OC；(3)∵点F是AO延长线上，∠COD=90°，∴∠AOC+∠DOF=90°，∵∠DOF=2∠AOC，∴∠AOC=30°，∠DOF=60°，∴∠AOD=180°-∠DOF=120°，在四边形AODE中，根据四边形的内角和得，∠AED=360°-∠OAB-∠AOD-∠ODC=360°-60°-120°-45°=135°．(1)直接利用邻补角即可得出结论，(2)利用平行线得出∠BOC=30°，进而得出∠AOC=120°，最后除以速度即可得出时间；(3)先求出∠AOC=60°，进而得出∠AOD=120°，最后用四边形的内角和定理即可得出结论．此题是三角形综合题，主要考查了邻补角，平行线的性质，互余的性质，四边形的内角和定理，解(2)的关键是求出∠AOC的度数，解(3)的关键是求出∠AOD，是一道比较简单的题目．25.答案：解：(1) 作PG⊥x轴于点G，PF⊥y轴于点F，在Rt△APF中，∵OA=OB，∴∠PAF=45°，∴PF=AP⋅sin45°=22AP，∵OG=PF，即x2=22AP，∴AP=22x；(2)结论：PC=BE．①当0≤x<10时，∵PC=AC-AP=52-22x，BE=22BD=22(10-x)=52-22x，∴PC=BE，②当10≤x≤20时，如上图∵PC=AP-AC=22x-52，BE=22BD=22(x-10)=22x-52，∴PC=BE，综合①②PC=BE；(3)①当0<x<10时，S四边形PODE=S△AOB-S△AOP-S△DEB,=12×10×10-12×10×x2-12×(10-x)×12(10-x)，=-14x2+52x+25，②当10≤x≤20时，S四边形PODE=S△POD+S△DOE =12x(10-x2)+12x⋅x-102，=52x.解析：(1)首先作辅助线PG⊥x轴于点G，PF⊥y轴于点F.因为在Rt△APF中PF=AP⋅sin45°，在等腰三角形POD中，OG=x2.那么通过矩形FPGO的两对边FP=OG建立AP与OD间的联系．列出AP关于x的关系式．(2)分0≤x<10，10≤x≤20两种情况，根据图形求得PC、BE用x表示的表达式，验证相同．(3)分0≤x<10，10≤x≤20两种情况，结合图形求得四边形PODE面积用x表示表达式．