2020-2021学年兰州市教学管理第五片区八年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.在实数：π，16，3，2π，0.36，0.3737737773…(相邻两个3之间7的个数逐次加1)，-722，49，无理数的个数为(    )A.4B.5C.7D.92.如图所示，在三角形ABC中，点D是边AB上的一点．已知∠ACB=90°，∠CDB=90°，则图中与∠A互余的角的个数是(    )A.1B.2C.3D.43.同一平面内的四条直线若满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是(    )A.a//dB.b⊥dC.a⊥dD.b//c4.下列命题正确的是(    )A.对角线互相平分且相等的四边形是矩形B.对角线垂直的四边形是菱形C.对角线相等的四边形是矩形D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形5.化简(-9)2的结果是(    )A.-9B.9C.3D.36.当x分别等于1或-1时，代数式x4-7x2+1的两个值的关系是(    )A.相等B.互为相反数C.互为倒数D.不同于以上答案7.整数a使得关于x，y的二元一次方程组ax-y=93x-y=1的解为正整数(x,y均为正整数)，且使得关于x的不等式组13(2x+11)≥9x-a<1无解，则所有满足条件的a的和为(    )A.18B.16C.11D.9 8.已知A(2,-5)，AB平行于y轴，则点B的坐标可能是(    )A.(-2,5)B.(2,6)C.(5,-5)D.(-5,5)9.如图，函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可知二元一次方程组y=ax+by=kx的解是(    )A.x=-2y=-3B.x=-3y=-2C.x=0y=-3D.x=0y=-210.小王的手机使用的是每月300M流量套餐，图中记录了小王在4月1日至4月10日这十天的流量使用情况，下列叙述中正确的是(    )A.1日-10日这10天的平均流量小于9.0M/日B.11日-30日这20天，如果每天的平均流量不超过11M，这个月总流量就不会超过套餐流量C.从1日-10这10天的流量中任选连续3天的流量，则3日，4日，5日这三天的流量的方差最大D.从1-10日这10天中的流量中任选连续3天的流量，则8日，9日，10日这三天的流量的方差最小11.5斤槟榔和7斤益智卖了171元，8斤槟榔和9斤益智卖了234元，求1斤槟榔和1斤益智各多少元．设1斤槟榔为x元，1斤益智为y元，列方程组为(    )A.5x+7y=1718x+9y=234B.7x+5y=1718x+9y=234C.5x+7y=2348x+9y=171D.5x+7y=1719x+8y=234 12.甲、乙两车沿同一平直公路由A地匀速行驶(中途不停留)，前往终点B地，甲、乙两车之间的距离S(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示．下列说法：①甲、乙两地相距210千米；②甲速度为60千米/小时；③乙速度为120千米/小时；④乙车共行驶134小时，其中正确的个数为(    )A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.将y=2x+3向右平移2个单位，平移后直线的关系式为______．14.如果方程2x2a-1-3y3a+2b=10是一个二元一次方程，那么数a=______，b=______．15.一条线段绕其上一点旋转90°与原来的线段位置           关系．16.如图，在平面直角坐标系中，已知A(0,6)，B(2,0)，C(6,0)，D为线段BC上的动点，以AD为边向右侧作正方形ADEF，连接CF交DE于点P，则CP的最大值______．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）17.计算：(3+2)2007(3-2)2008四、解答题（本大题共11小题，共67.0分）18.计算：(1)+- (2)2-1+-+．19.选择适当的方法解下列方程组：(1)3x-5y=22x-y=3；(2)4x-3y=182x-y=8；(3)x-2y=5x+3y=-5；(4)3x+y=72x+3y=7．20.(1)计算3+(-1)2021-38+|1-3|；(2)解方程组2x-y=-44x-5y=-23；(3)解不等式组2x+4<5(x+2)2x3+1≥x，并把解集在数轴上表示出来．21.如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，试回答问题：∠BCD是直角吗？说明理由．22.在△ABC中，点D在边AC上，BD=BA，点E是AD的中点，点F是BC的中点．(1)求证：EF=12BC；(2)过点C作CG//EF，交BE的延长线于G，求证：△BCG是等腰三角形． 23.已知直线l 1：y 1=2x+3与直线l 2：y 2=kx-1交于点A，点A横坐标为-1，且直线l 1与x轴交于点B，与y轴交于点D，直线l 2与y轴交于点C．(1)求出点A坐标及直线l 2的表达式；(2)连接BC，求出S △ ABC．24.如图，△ABC中，∠ABC=60°，将△ABC绕点B逆时针旋转60°到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA、BF．(1)求证：DA//BC；(2)若BF=AF=23，求DF的长．25.知往鉴今，以启未来．在中国共产党成立100周年之际，重温党的历史，无论是对过去、现在还是将来，都具有重大而深远的意义．某校响应党总支号召，耕读党史故事，体味红色历程，开展了“学党史、感党恩、跟党走”的主题知识竞赛，全校同学均参与了此次竞赛．为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：60≤x<70；B：70≤x<80；C：80≤x<90；D：90≤x≤100，并绘制出如下不完整的统计图(如图)．(1)求被抽取的学生成绩在C：80≤x<90组的有多少人；(2)所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内；(3)若该学校有1500名学生，估计这次竞赛成绩在A：60≤x<70组的学生有多少人． 26.21. (本题满分8分)某地区冬季干旱，安康社区每天需从外地调运饮用水60吨．有关部门紧急部署，从甲、乙两水厂调运饮用水到供水点，甲厂每天最多可调出40吨，乙厂每天最多可调出45吨．从两水厂运水到安康社区供水点的路程和运费如下表：到安康社区供水点的路程(千米)运费(元/吨·千米)甲厂204乙厂145设从甲厂调运饮用水x吨，总运费为W元，试写出W关于x的函数关系式，并确定x的取值范围．怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省⋅27.某中学为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，为此购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元．(1)求A、B两种品牌足球的单价各多少元？(2)2019年6月举行“兄弟学校足球联谊赛”活动，根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？(3)为了节约资金，学校应选择哪种方案？为什么？ 28.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE=DF．(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若AC=4，BE=1，直接写出菱形AECF的边长． 参考答案及解析1.答案：A解析：解：在实数：π，16=4，3，2π，0.36，0.3737737773…(相邻两个3之间7的个数逐次加1)，-722，49=23，无理数有π，3，2π，0.3737737773…(相邻两个3之间7的个数逐次加1)，无理数的个数为4．故选：A．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2.答案：B解析：本题考查的是余角和补角的概念，掌握和为90度的两个角互为余角是解题的关键．根据图形和余角的概念解答即可．解：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠CDB=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴与∠A互余的角的个数是2．故选B．  3.答案：C解析：试题分析：根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，可证a//c，再结合c⊥d，可证a⊥d．∵a⊥b，b⊥c，∴a//c，∵c⊥d， ∴a⊥d.故选C．4.答案：A解析：解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以A选项为真命题；B、对角线垂直的平行四边形是菱形，所以B选项为假命题；C、对角线相等的平行四边形是矩形，所以C选项为假命题；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以D选项为假命题．故选A．根据矩形的判定方法对A、C进行判断；根据菱形的判定对B进行判断；根据正方形的判定对D进行判断．本题考查了命题与定义：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．5.答案：B解析：解：原式=81=9，故选：B．根据二次根式的意义即可求出答案．本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．6.答案：A解析：解：当x=±1时，x2=1，x4=1，∴x4-7x2+1=1-7+1=-5．即：代数式的两个值相等．故选：A．1与-1是相反数，它们的平方相等，四次方也相等，可知代数式x4-7x2+1的两个值相等．本题考查了代数式的求值运算，关键是理解所给字母的两个取值互为相反数，它们的偶次方值也相等．7.答案：B解析：解：解方程组得x=8a-3y=27-aa-3，∵方程组的解均为正整数，∴a=4、5、7、11 解不等式组得x≥8x<a+1，∵不等式组无解，∴a+1≤8，解得：a≤7，则所有满足条件的a的和为4+5+7=16，故选：B．解方程组得出x=8a-3y=27-aa-3，根据题意知a=4、5、7、11，再解不等式组得x≥8x<a+1，由题意知a≤7，据此a的值为4、5、7，求和即可得．本题主要考查解一元一次不等式组和二元一次方程组，熟练掌握解一元一次不等式组和二元一次方程组的技能是解题的关键．8.答案：B解析：解：∵直线AB平行于y轴，且A(2,-5)，∴直线AB上所有点横坐标为2，又∵B点在直线AB上，∴B的横坐标必须是2，A，C，D均不合题意．故选：B．根据题意，画出直角坐标系，找出A点，在图上找出经过A点的平行于y轴的直线，那么B点肯定在这条直线上，再根据这条直线的信息确定B点的坐标．解答此题主要运用了平行线间的距离是相等的性质和直线上任何一点都在该直线上的原理．9.答案：B解析：解：∵函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P(-3,-2)，∴二元一次方程组y=ax+by=kx的解是x=-3y=-2．故选B．一次函数图象的交点就是两函数组成的方程组的解．此题主要考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握二元一次方程(组)与一次函数的关系．10.答案：C 解析：解：∵(6.2+12.4+14+11.6+4.8+6.2+5.5+9.5+10+11.8)÷10=9.2，1日-10日这10天的平均流量大于9.0M/日，故选项A错误，11日-30日这20天，如果每天的平均流量不超过(300-9.2×10)÷20=10.4M，这个月总流量就不会超过套餐流量，故选项B错误，从1日-10这10天的流量中任选连续3天的流量，则3日，4日，5日这三天的流量的方差最大，故选项C正确，从1-10日这10天中的流量中任选连续3天的流量，则5日，6日，7日这三天的流量的方差最小，故选项D错误，故选：C．根据题目中的折线统计图中的数据可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．本题考查折线统计图、方差，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答，知道波动越小，方差越小．11.答案：A解析：解：设1斤槟榔为x元，1斤益智为y元，可得：5x+7y=1718x+9y=234，故选：A．设1斤槟榔为x元，1斤益智为y元，根据5斤槟榔和7斤益智卖了171元，8斤槟榔和9斤益智卖了234元列出方程组即可．此题考查二元一次方程组的应用，关键是根据题意列出等量关系式．12.答案：D解析：解：由图可知，甲车的速度为：60÷1=60千米/时，故②正确，则A、B两地的距离是：60×312=210千米，故①正确，乙的速度为(60×2)÷(2-1)=120千米/时，故③正确，乙车行驶的时间为234-1=134时，故④正确，故选：D．根据题意和函数图象可以分别计算出各个小题中的结果，从而可以判断各小题是否正确，从而可以解答本题．考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．13.答案：y=2x-1 解析：解：∵将y=2x+3向右平移2个单位，∴平移后直线的关系式为y=2(x-2)+3=2x-1，故答案为：y=2x-1．利用平移的规律求解即可．本题主要考查平移的规律，掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键．14.答案：1；-1解析：解：根据题意得：2a-1=13a+2b=1，解得：a=1，b=-1．故答案为：1；-1根据二元一次方程的定义得到未知数次数为1，列出关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值．此题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数，未知数的次数为1次，这样的整式方程称为二元一次方程．15.答案：垂直解析：试题分析：根据旋转角的定义即可作出判断．一条线段绕其上一点旋转90°与原来的线段位置垂直关系．16.答案：32解析：解：如图，作FQ⊥y轴于点Q，∴∠FQA=∠AOD=90°，∴∠FAQ+∠AFQ=90°，∵四边形ADEF是正方形，∴FA=AD，∠FAD=90°，∴∠FAQ+∠DAO=90°， ∴∠AFQ=∠DAO，在△AFQ和△DAO中，∵∠FQA=∠AOD∠AFQ=∠DAOFA=AD，∴△AFQ≌△DAO(AAS)，∴FQ=OA=OC=6，又FQ//OC，且∠FQO=90°，∴四边形OCFQ是矩形，∴∠PCD=∠AOD=90°，∵∠ADE=90°，∴∠ADO+∠CDP=90°，且∠OAD+∠ADO=90°，∴∠OAD=∠CDP，且∠PCD=∠AOD=90°，∴△AOD∽△DCP，∴AODC=ODPC，设OD=x，则CD=6-x (2≤x≤6)，∴66-x=xPC∴PC=-16(x-3)2+32，∴CP的最大值为32，故答案为：32．作FQ⊥y轴于点Q，证△AFQ≌△DAO得FQ=OA=OC=6，结合FQ//OC且∠FQO=90°知四边形OCFQ是矩形，从而得∠PCD=∠AOD=90°，设OD=x，则CD=6-x (2≤x≤6)，再证△AOD∽△DCP，可得PC=-16(x-3)2+32，由二次函数的性质可求解．本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，二次函数的最值，利用相似三角形的判定与性质得出PC的长度表达式是解题的关键．17.答案：2-3解析：试题分析：根据同底数幂的乘法得到原式=(3+2)2007⋅(3-2)2007⋅(3-2)，再根据积的乘方得到原式=[(3+2)⋅(3-2)]2007⋅(3-2)，然后利用平方差公式计算．原式=(3+2)2007⋅(3-2)2007⋅(3-2) =[(3+2)⋅(3-2)]2007⋅(3-2)=(3-4)2007⋅(3-2)=-1×(3-2)=2-3．故答案为2-3．18.答案：解：(1)原式=5+0.7-2=3.7；(2)原式=12+2-2+1=32．解析：试题分析：(1)先进行开方运算得到原式=5+0.7-2，然后进行加减运算；(2)由零指数幂与负整数指数幂的意义和进行开方运算得到原式=12+2-2+1，然后进行加减运算．19.答案：解：(1)3x-5y=2 ①2x-y=3 ②，②×5-①得，7x=13，解得：x=137，把x=137代入②得，2×137-y=3，∴y=57，∴x=137y=157；(2)4x-3y=18 ①2x-y=8 ②，②×3-①得，2x=6，解得：x=3，把x=3代入②得，2×3-y=8，∴y=-2，∴x=3y=-2；(3)x-2y=5 ①x+3y=-5 ②， ①-②得，5y=-10，∴y=-2，把y=-2代入①得，x-2×(-2)=5，∴x=1，∴x=1y=-2；(4)3x+y=7 ①2x+3y=7 ②，①×3-②得，4x=14，∴x=72，把x=72代入①得，3×72+y=7，∴y=-72，∴x=72y=-72．解析：(1)应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．(2)应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．(3)应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．(4)应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．20.答案：解：(1)原式=3-1-2+3-1=23-4；(2)2x-y=-4①4x-5y=-23②，①×5-②，得：6x=3，解得x=0.5，将x=0.5代入①，得：1-y=4，解得y=-3，∴方程组的解为x=0.5y=-3；(3)解不等式2x+4<5(x+2)，得：x>-2，解不等式2x3+1≥x，得：x≤3，则不等式组的解集为-2<x≤3， 将不等式组的解集表示在数轴上如下：解析：(1)先计算乘方、立方根，去绝对值符号，再计算加减即可；(2)利用加减消元法求解即可；(3)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．本题考查的是实数的运算、解二元一次方程组和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21.答案：解：∠BCD是直角，理由如下：连接BD，如图所示．BC=42+22=25，CD=22+12=5，BD=32+42=5．∵BC2+CD2=25=BD2，∴∠BCD=90°．解析：连接BD，根据勾股定理可求出BC、CD、BD的值，再由BC2+CD2=BD2利用勾股定理的逆定理，即可证出∠BCD=90°．本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，牢记“如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形”是解题的关键．22.答案：证明：(1)∵BD=BA，E是AD的中点，∴BE⊥AD，∴△EBC为直角三角形．∵F是BC的中点，∴EF是直角三角形斜边上中线，∴EF=12BC；(2)∵CG//EF，∴∠G=∠FEB，∵EF=12BC=BF， ∴∠FEB=∠CBE，∴∠G=∠CBE，∴GC=BC，∴△BCG是等腰三角形．解析：本题考查了直角三角形斜边上中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的判定与性质．(1)由BD=BA，E是AD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出BE⊥AD，再根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半即可证明EF=12BC；(2)先由CG//EF，根据平行线的性质得出∠G=∠FEB，又EF=12BC=BF，根据等边对等角得出∠FEB=∠CBE，等量代换得到∠G=∠CBE，那么GC=BC，即△BCG是等腰三角形．23.答案：解：(1)∵A点在直线l1上，且横坐标为-1，∴y1=2×(-1)+3=1，即A点的坐标为(-1,1)又直线l2过A点，将(-1,1)代入直线l2解析式得：1=-k-1，k=-2，则直线l2的解析式为：y2=-2x-1(2)l1与x轴交于B点，则B点坐标为(-32,0)，l1与y轴交于D点，则D点坐标为(0,3)，l2与y轴交于C点，则C点坐标为(0,-1)，S△ABC=S△BCD-S△ACD=12CD⋅|xB|-12CD⋅|xA|=1解析：本题考查一次函数的应用．(1)根据A点在直线l1上，且横坐标为-1，求出A点的坐标，再根据直线l2过A点，将(-1,1)代入直线l2解析式，即可求出答案；(2)根据已知得出B点的坐标，再根据l1与y轴交于D点，得出D点和C点的坐标，再根据三角形的面积公式得出S△ABC．24.答案：(1)证明：∵AB=BD，∠ABD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠DAB=60°，∵∠ABC=60°，∴AD//BC；(2)解：∵△ABD是等边三角形，∴AD=BD， 在△ADF和△BDF中，AD=BDAF=BFDF=DF，∴△ADF≌△BDF(SSS)，∴∠ADF=∠BDF=30°，∴DF⊥AB，∠DEB=∠C=90°，∵AD//BC，∴∠DAF=180°-∠C=90°，∵∠ADF=30°，∴DF=2AF=43．解析：(1)根据旋转的性质，首先证得△ABD是等边三角形，得出∠DAB=60°，因为∠ABC=60°，根据平行线的判定即可证得；(2)证得△ADF≌△BDF，得到∠ADF=∠BDF=30°，再证明∠DAF=90°即可解决问题．本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，30°所对的直角边等于斜边的一半的直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．25.答案：解：(1)由图可知，B组人数为12，所占的百分比为20%，∴本次抽取的总人数为：12÷20%=60(人)，答：抽取的学生成绩在C：80≤x<90组的人数为：60-6-12-18=24(人)；(2)总人数为60人，故中位数为按大小顺序排列后第30与31个人成绩的平均数，∵6+12=18<30，且6+12+24=42>30，∴中位数落在C组；(3)本次调查中竞赛成绩在A：60≤x<70组的学生的频率为660=110，于是可估计该学校1500名学生中竞赛成绩在A：60≤x<70组的学生人数大约有1500×110=150(人)．答：这次竞赛成绩在A：60≤x<70组的学生有150人．解析：(1)根据B组人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，再根据条形统计图中的数据，即可得到C组的人数；(2)根据条形统计图中的数据，可以得到所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内；(3)根据条形统计图中的数据，可以计算出这次竞赛成绩在A：60≤x<70组的学生有多少人． 本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是根据B组人数和所占的百分比求得本次调查的总人数．26.答案：解：设从甲厂调运饮用水x吨，则从乙厂调运(60-x)吨，由题意，得解得：15≤x≤40．W=20×4x+14×5(60-x)=10x+4200．∵k=10>0，∴W随x的增大而增大．∴x=15时，W最小=4350，∴每天从甲厂调运15吨，从乙厂调运45吨，每天的总运费最省．解析：设从甲厂调运饮用水x吨，则从乙厂调运(60-x)吨，即可表示出W关于x的函数关系式，又由甲厂毎天最多可调出40吨，乙厂毎天最多可调出45吨，确定x的取值范围，则由一次函数的增减性即可求得答案．27.答案：解：(1)设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元．依题意，得：50x+25y=4500y=x+30，解得：x=50y=80．答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元．(2)设此次学校购买B种品牌足球n个，则购买A种品牌足球(50-n)个，依题意，得：(50-4)(50-n)+0.8×80n≤2750n≥23，解得：23≤n≤25．∵n是正整数，∴n=23，24，25．∴50-n=27，26，25． 答：有3种购买方案：①购买A种品牌的足球27个，B种品牌的足球23个；②购买A种品牌的足球26个，B种品牌的足球24个；③购买A种品牌的足球25个，B种品牌的足球25个．(3)学校应选择方案①．∵B种品牌足球的单价>A种品牌足球的单价，∴购买B种品牌足球的数量越少越省钱．∴学校应选择方案①．解析：(1)设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元．根据“购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元；B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；(2)设此次学校购买B种品牌足球n个，则购买A种品牌足球(50-n)个，根据总价=单价×数量结合购买足球的总费用不超过2750元且购买B种品牌的足球不少于23个，即可得出关于n的一元一次不等式组，解之即可得出n的取值范围，结合n为整数即可得出各购买方案；(3)由A，B两种品牌足球单价之间的关系，可得出购买B种品牌足球的数量越少越省钱，进而可得出最节约资金的购买方案．本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；(3)由两种品牌足球单价间的关系，找出最省钱的购买方案．28.答案：(1)证明：∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD．∵BE=DF，∴OB+BE=OD+DF，即OE=OF．∴四边形AECF是平行四边形．∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．(2)∵AC=4，∴OA=2，∴OB=2，∴OE=OB+BE=3，∴AE=OA2+OE2=22+32=13． 解析：(1)根据正方形的性质和菱形的判定解答即可；(2)根据正方形和菱形的性质以及勾股定理解答即可．此题考查了菱形的性质和判定，解题时要注意选择适宜的判定方法．