2021-2022学年山东省济南市市中区七年级第一学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若气温升高3℃时，气温变化记作+3℃，那么气温下降10℃时，气温变化记作（　　）A．﹣13℃B．﹣10℃C．﹣7℃D．+7℃2．下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（　　）A．B．C．D．3．以下调查中，最适合采用普查方式的是（　　）A．调查某班级学生的身高情况B．调查全国中学生的视力状况C．调查山东省居民的网上购物状况D．调查一批电脑的使用寿命4．北京时间2021年10月16日9时58分，航天员翟志刚、王亚平、叶光富先后进入天和核心舱．后续，航天员乘组将按计划距离地球36000公里的空间站驻留工作6个月，将36000用科学记数法表示应为（　　）A．0.36×105B．3.6×105C．3.6×104D．36×1045．半径为6，圆心角为60°的扇形面积为（　　）A．2πB．6πC．12πD．36π6．下列计算正确的是（　　）A．a2+a2＝2a4B．5y﹣3y＝2C．3x2y﹣2yx2＝x2yD．3a+2b＝5ab7．如图所示，由A到B有①、②、③三条路线，最短的路线选①的理由是（　　） A．两点之间，线段最短B．两点之间线段的长度，叫做两点之间的距离C．两点确定一条直线D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短8．下列方程中，解是x＝2的是（　　）A．2x﹣3＝3B．x﹣3＝﹣1C．x+4＝2D．x+1＝39．在直线l上有A，B，C三点，AB＝8，BC＝3，则线段AC的长度为（　　）A．11B．5C．11或5D．以上答案都不对10．要锻造一个半径为4厘米、高为4厘米的圆柱形毛坯，则至少应截取半径为2厘米的圆钢（　　）厘米．A．4B．8C．12D．1611．如图，电子蚂蚁P、Q在边长为1个单位长度的正方形ABCD的边上运动，电子蚂蚁P从点A出发，以个单位长度/秒的速度绕正方形顺时针运动，电子蚂蚁Q从点A出发，以个单位长度/秒的速度绕正方形逆时针运动．它们第2022次相遇在（　　）A．点AB．点BC．点CD．点D12．任取一个非零自然数，如果它是偶数，就把它除以2；如果它是奇数，就把它乘3再加上1．在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数，如果反复使用这种变换，我们就得到一个问题：是否对于所有的非零自然数，最终都能变换到1呢？这就是数学上著名的“角谷猜想”，如果某个自然数通过上述变换能变成1，我们就把第一次变成1时所经过的变换次数称为它的路径长，例如3经过7次变换变成1，路径长为7．若输入数x ，它的变换次数为y，下列说法中正确的是（　　）A．当x＝3时，y＝4B．当y＝6时，x可取值有3个，最小值为10C．随着x的增大，y也增大D．若y＝8时，x可取值有4个，最小值为6二、填空题（本大题共有6个小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中的横线上）13．﹣5的绝对值是　　．14．若ambn与﹣3a4b3是同类项，则m﹣n＝　　．15．关于x的方程2x+3a+3＝0的解是x＝3，则a的值为　　．16．如图，AF是∠BAC的平分线，DF∥AC，若∠1＝35°，则∠BAF的度数为　　．17．如果（a﹣5）2+|b+3|＝0，那么a+b等于　　．18．点O为直线l上一点，射线OA、OB均与直线l重合，将射线OB绕点O逆时针旋转α（0≤α≤90°），过点O作射线OC、OD、OM、OM，使得∠BOC＝90°，∠COD＝2α，∠COM＝∠AOC，∠CON＝∠COD（OM在∠AOC内部，ON在∠COD内部），当∠MON＝α时，则α＝　　． 三、解答题（本大题共9个小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）19．计算：（1）﹣12﹣（﹣17）+（﹣10）﹣9；（2）．20．解下列各题：（1）化简：5m+2n﹣（m﹣3n）；（2）先化简，再求值：2ab2﹣3a2b﹣2（a2b+ab2），其中a＝1，b＝﹣2．21．如图，AD∥BE，∠EDC＝∠C，∠A＝110°，求∠E．22．请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图．23．解下列方程：（1）4x﹣9＝2x+3；（2）．24．某商场花费3200元购进甲、乙两种服装共10件，进价和售价如表所示：进价（元/件）售价（元/件） 甲300340乙350400（1）商场购进甲、乙两种服装各多少件？（2）将这些服装全部售完，可获利多少元？25．某学校七年级共400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，视力在4.5≤x≤5.0范围内的数据如下：4.74.64.55.04.54.84.54.94.94.84.64.54.55.0根据数据绘制了如下的表格和统计图：等级视力（x）频数所占百分比Ax＜4.2410%B4.2≤x≤4.41230%C4.5≤x≤4.7aD4.8≤x≤5.0bE5.1≤x≤5.31025%合计40100%根据上面提供的信息，回答下列问题：（1）统计表中的a＝　　，b＝　　；（2）请补全条形统计图；（3）根据抽样调查结果，请估计该校八年级学生视力为”E级”的有多少人？26．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2+2ab+a．如：1☆3＝1×32+2×1×3+1＝16． （1）（﹣2）☆3＝　　；（2）若（☆3）☆（﹣2）＝16，求a的值；（3）“作差法”是常见的比较代数式大小的一种方法，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M﹣N，若M﹣N＞0，则M＞N；若M﹣N＝0，则M＝N；若M﹣N＜0，则M＜N．若2☆x＝m，（x）☆3＝n（其中x为有理数），试比较m，n的大小．27．平面内有直线AB和直线CD，点E是平面内任意一点，连接AE、CE，∠AEC＝60°．（1）若直线AB∥CD；如图1，当点E在两条平行线之间时，直接写出∠BAE与∠DCE的数量关系　　；如图2，当点E在两条平行线外部时，直接写出∠BAE与∠DCE的数量关系　　；（2）若直线AB与CD相交于点O，且∠AOC＝60°，如图3，当点E在∠AOC内部，且∠AEC＝45°，猜想∠BAE与∠DCE的数量关系，并证明；（3）我们小学学习过三角形的内角和等于180°，若直线AB与CD相交于点O，且∠AOC＝60°，如图4，当点E在∠AOC外部，且∠AEC＝45°，分别作射线AM平分∠BAE、作射线CN平分∠DCE，反向延长AM与CN交于点P，求∠APN的度数？ 参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若气温升高3℃时，气温变化记作+3℃，那么气温下降10℃时，气温变化记作（　　）A．﹣13℃B．﹣10℃C．﹣7℃D．+7℃【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．解：若气温升高3℃时，气温变化记作+3℃，那么气温下降10℃时，气温变化记作﹣10℃．故选：B．2．下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（　　）A．B．C．D．【分析】根据圆锥、圆柱、正方体、三棱柱的主视图、俯视图进行判断即可．解：圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是圆，因此A不符合题意；圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，因此B不符合题意；正方体的主视图、俯视图都是正方形，因此选项C符合题意；三棱柱的主视图是矩形，俯视图是三角形，因此D不符合题意；故选：C．3．以下调查中，最适合采用普查方式的是（　　）A．调查某班级学生的身高情况B．调查全国中学生的视力状况C．调查山东省居民的网上购物状况D．调查一批电脑的使用寿命 【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．解：A．调查某班级学生的身高情况，适合采用普查方式，故本选项符合题意B．调查全国中学生的视力状况，适合采用抽样调查，故本选项不合题意；C．调查山东省居民的网上购物状况，适合采用抽样调查，故本选项不合题意；D．调查一批电脑的使用寿命，适合采用抽样调查，故本选项不合题意．故选：A．4．北京时间2021年10月16日9时58分，航天员翟志刚、王亚平、叶光富先后进入天和核心舱．后续，航天员乘组将按计划距离地球36000公里的空间站驻留工作6个月，将36000用科学记数法表示应为（　　）A．0.36×105B．3.6×105C．3.6×104D．36×104【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：将36000用科学记数法表示应为3.6×104．故选：C．5．半径为6，圆心角为60°的扇形面积为（　　）A．2πB．6πC．12πD．36π【分析】利用扇形的面积公式计算即可．解：扇形的面积＝＝6π，故选：B．6．下列计算正确的是（　　）A．a2+a2＝2a4B．5y﹣3y＝2C．3x2y﹣2yx2＝x2yD．3a+2b＝5ab【分析】直接利用合并同类项法则分别判断求出答案．解：A、a2+a2＝2a2，故此选项错误；B、5y﹣3y＝2y，故此选项错误；C、3x2y﹣2yx2＝x2y，故此选项正确；D、3a+2b，无法合并，故此选项错误． 故选：C．7．如图所示，由A到B有①、②、③三条路线，最短的路线选①的理由是（　　）A．两点之间，线段最短B．两点之间线段的长度，叫做两点之间的距离C．两点确定一条直线D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短【分析】根据线段的性质进行解答即可．解：最短的路线选①的理由是两点之间，线段最短，故选：A．8．下列方程中，解是x＝2的是（　　）A．2x﹣3＝3B．x﹣3＝﹣1C．x+4＝2D．x+1＝3【分析】把x＝2分别代入每一个方程的左边和右边，判断即可．解：A．当x＝2时，左边＝2×2﹣3＝1，右边＝3，左边≠右边，∴x＝2不是方程2x﹣3＝3的解，故A不符合题意；B．当x＝2时，左边＝2﹣3＝﹣1，右边＝﹣1，左边＝右边，∴x＝2是方程x﹣3＝﹣1的解，故B符合题意；C．当x＝2时，左边＝2+4＝6，右边＝2，左边≠右边，∴x＝2不是方程x+4＝2的解，故C不符合题意；D．当x＝2时，左边＝×2+1＝2，右边＝3，左边≠右边，∴x＝2不是方程x+1＝3的解，故D不符合题意；故选：B． 9．在直线l上有A，B，C三点，AB＝8，BC＝3，则线段AC的长度为（　　）A．11B．5C．11或5D．以上答案都不对【分析】根据题意可分为当点C在点B右侧时和当点C在点B左侧时两种情况进行讨论，并根据线段之间的和差关系进行求解即可．解：当点C在点B右侧时，AC＝AB+BC＝8+3＝11，当点C在点B左侧时，AC＝AB﹣BC＝8﹣3＝5，综上，AC的长度为11或5．故选：C．10．要锻造一个半径为4厘米、高为4厘米的圆柱形毛坯，则至少应截取半径为2厘米的圆钢（　　）厘米．A．4B．8C．12D．16【分析】根据体积相等进行计算即可．解：设应截取半径为2厘米的圆钢x厘米，由题意得：22×π•x＝42×π×4，∴x＝16，∴应截取半径为2厘米的圆钢16厘米，故选：D．11．如图，电子蚂蚁P、Q在边长为1个单位长度的正方形ABCD的边上运动，电子蚂蚁P从点A出发，以个单位长度/秒的速度绕正方形顺时针运动，电子蚂蚁Q从点A出发，以个单位长度/秒的速度绕正方形逆时针运动．它们第2022次相遇在（　　）A．点AB．点BC．点CD．点D【分析】设两只电子蚂蚁每隔x 秒相遇一次，根据正方形周长＝二者速度之和×时间，可求出两只电子蚂蚁相遇一次的时间，再结合电子蚂蚁Q的速度、出发点及运动方向可得出它们第1次、第2次、第3次、第4次、第5次……相遇点，根据相遇点的变化规律可得出结论．解：设两只电子蚂蚁每隔x秒相遇一次，根据题意得：（+）x＝1×4，解得：x＝2．∵电子蚂蚁Q从点A出发，以个单位长度/秒的速度绕正方形作逆时针运动，2秒后它到达B点，即第一次它们相遇在B点，∴第2次相遇在C点，第3次相遇在D点，第4次相遇在A点，第5次相遇在B点，第6次相遇在C点，…．又∵2022÷4＝505……2，∴第2022次相遇和第2次相遇地点相同，即第2022次相遇在点C．故选：C．12．任取一个非零自然数，如果它是偶数，就把它除以2；如果它是奇数，就把它乘3再加上1．在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数，如果反复使用这种变换，我们就得到一个问题：是否对于所有的非零自然数，最终都能变换到1呢？这就是数学上著名的“角谷猜想”，如果某个自然数通过上述变换能变成1，我们就把第一次变成1时所经过的变换次数称为它的路径长，例如3经过7次变换变成1，路径长为7．若输入数x，它的变换次数为y，下列说法中正确的是（　　）A．当x＝3时，y＝4B．当y＝6时，x可取值有3个，最小值为10C．随着x的增大，y也增大D．若y＝8时，x可取值有4个，最小值为6 【分析】根据题意，对各选项进行分析，从而可得出结果．解：A、由题意得：当x＝3时，y＝7，故A不符合题意；B、当y＝6时，倒推可得：1→2→4→8→16→，则x的可能值有2个，最小值为10，故B不符合题意；C、如当x＝64时，y＝6；x＝6时，y＝8，则随着x的增大，y不一定增大，故C不符合题意；D、若y＝8时，1→2→4→8→16→，则x的可能值有4个，最小值为6，故D符合题意；故选：D．二、填空题（本大题共有6个小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中的横线上）13．﹣5的绝对值是　5　．【分析】绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．解：根据负数的绝对值是它的相反数，得|﹣5|＝5．14．若ambn与﹣3a4b3是同类项，则m﹣n＝　1　．【分析】根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，可得答案．注意同类项与字母的顺序无关，与系数无关．解：由题意，得m＝4，n＝3，m﹣n＝4﹣3＝1，故答案为：1．15．关于x的方程2x+3a+3＝0的解是x＝3，则a的值为　﹣3　．【分析】把x＝3代入方程2x+3a+3＝0得出6+3a+3＝0，再求出方程的解即可．解：把x＝3代入方程2x+3a+3＝0得：6+3a+3＝0，解得：a＝﹣3，故答案为：﹣3．16．如图，AF是∠BAC的平分线，DF∥AC，若∠1＝35°，则∠BAF的度数为　35°　． 【分析】根据两直线平行，同位角相等，可得∠FAC＝∠1，再根据角平分线的定义可得∠BAF＝∠FAC．解：∵DF∥AC，∴∠FAC＝∠1＝35°，∵AF是∠BAC的平分线，∴∠BAF＝∠FAC＝35°，故答案为：35°．17．如果（a﹣5）2+|b+3|＝0，那么a+b等于　2　．【分析】根据非负数的性质列出关于ab的方程，求出a、b的值即可．解：∵（a﹣5）2+|b+3|＝0，∴a﹣5＝0，b+3＝0，∴a＝5，b＝﹣3，∴a+b＝5+（﹣3）＝2．故答案为：2．18．点O为直线l上一点，射线OA、OB均与直线l重合，将射线OB绕点O逆时针旋转α（0≤α≤90°），过点O作射线OC、OD、OM、OM，使得∠BOC＝90°，∠COD＝2α，∠COM＝∠AOC，∠CON＝∠COD（OM在∠AOC内部，ON在∠COD内部），当∠MON＝α时，则α＝　45°　． 【分析】由平角的定义可得∠AOC＝180°﹣∠BOC﹣α＝90°﹣α，由已知条件可得∠CON＝，∠COM＝30°﹣，利用∠COM＝∠MON+∠CON，即可求得α．解：由题意可得：∠AOC＝180°﹣∠BOC﹣α＝90°﹣α，∵∠COD＝2α，∠COM＝∠AOC，∠CON＝∠COD，∴∠CON＝，∠COM＝（90°﹣α）＝30°﹣，∵∠COM＝∠MON+∠CON，∠MON＝α∴30°﹣＝α+，解得：α＝45°．故答案为：45°．三、解答题（本大题共9个小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）19．计算：（1）﹣12﹣（﹣17）+（﹣10）﹣9；（2）．【分析】（1）从左向右依次计算即可．（2）首先计算乘方，然后计算乘法、除法，最后从左向右依次计算即可．解：（1）﹣12﹣（﹣17）+（﹣10）﹣9＝﹣12+17+（﹣10）﹣9＝5+（﹣10）﹣9＝﹣14．（2）＝﹣1+（﹣3）﹣（﹣8）＝﹣4+8＝4．20．解下列各题：（1）化简：5m+2n﹣（m﹣3n）； （2）先化简，再求值：2ab2﹣3a2b﹣2（a2b+ab2），其中a＝1，b＝﹣2．【分析】（1）原式去括号，合并同类项进行化简；（2）原式去括号，合并同类项进行化简，然后代入求值．解：（1）原式＝5m+2n﹣m+3n＝4m+5n；（2）原式＝2ab2﹣3a2b﹣2a2b﹣2ab2＝﹣5a2b，当a＝1，b＝﹣2时，原式＝﹣5×12×（﹣2）＝﹣5×1×（﹣2）＝10．21．如图，AD∥BE，∠EDC＝∠C，∠A＝110°，求∠E．【分析】由平行线的性质可得∠CBE＝∠A＝110°，再由平行线的判定可得DE∥AC，则有∠E＝∠CBE＝110°．解：∵AD∥BE，∠A＝110°，∴∠CBE＝∠A＝110°，∵∠EDC＝∠C，∴DE∥AC，∴∠E＝∠CBE＝110°．22．请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图． 【分析】观察图形可知，从正面看到的图形是3列，从左往右正方形个数依次是3，1，1；从左面看到的图形是2列，从左往右正方形个数依次是2，1；从上面看到的图形是3列，从左往右正方形个数依次是1，2，1；据此即可画图．解：如图所示：23．解下列方程：（1）4x﹣9＝2x+3；（2）．【分析】（1）移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．解：（1）移项，可得：4x﹣2x＝3+9，合并同类项，可得：2x＝12，系数化为1，可得：x＝6．（2）去分母，可得：2（x﹣1）＝4﹣（x﹣3），去括号，可得：2x﹣2＝4﹣x+3，移项，可得：2x+x＝4+3+2，合并同类项，可得：3x＝9，系数化为1，可得：x＝3．24．某商场花费3200元购进甲、乙两种服装共10件，进价和售价如表所示：进价（元/件）售价（元/件）甲300340乙350400（1）商场购进甲、乙两种服装各多少件？（2）将这些服装全部售完，可获利多少元？【分析】（1）设商场购进甲种服装x件，则购进乙种服装（10﹣x）件，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可求出购进甲种服装的数量，再将其代入（10﹣x）中即可求出购进乙种服装的数量；（2）利用总利润＝每件的销售利润×销售数量（购进数量），即可求出这些服装全部售完获得的总利润．解：（1）设商场购进甲种服装x件，则购进乙种服装（10﹣x）件，依题意得：300x+350（10﹣x）＝3200，解得：x＝6，∴10﹣x＝10﹣6＝4．答：商场购进甲种服装6件，乙种服装4件．（2）（340﹣300）×6+（400﹣350）×4＝40×6+50×4＝240+200＝440（元）．答：将这些服装全部售完，可获利440元．25．某学校七年级共400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，视力在4.5≤x≤5.0范围内的数据如下：4.74.64.55.04.54.84.54.94.94.84.64.54.55.0根据数据绘制了如下的表格和统计图：等级视力（x）频数所占百分比Ax＜4.2410%B4.2≤x≤4.41230%C4.5≤x≤4.7aD4.8≤x≤5.0bE5.1≤x≤5.31025%合计40100%根据上面提供的信息，回答下列问题：（1）统计表中的a＝　8，　，b＝　15%　；（2）请补全条形统计图；（3）根据抽样调查结果，请估计该校八年级学生视力为”E级”的有多少人？ 【分析】（1）由所列数据得出a的值，继而求出C组对应的频率，再根据频率之和等于1求出b的值；（2）总人数乘以b的值求出D组对应的频数，从而补全图形；（3）利用样本估计总体思想求解可得．解：（1）由题意知C等级的频数a＝8，则C组对应的频率为8÷40＝0.2，∴b＝1﹣（0.1+0.3+0.2+0.25）＝15%，故答案为：8、15%；（2）D组对应的频数为40×0.15＝6，补全图形如下：（3）估计该校八年级学生视力为“E级”的有400×0.25＝100（人）；26．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2+2ab+a．如：1☆3＝1×32+2×1×3+1＝16．（1）（﹣2）☆3＝　﹣32　；（2）若（☆3）☆（﹣2）＝16，求a的值；（3）“作差法”是常见的比较代数式大小的一种方法，即要比较代数式M、N 的大小，只要作出它们的差M﹣N，若M﹣N＞0，则M＞N；若M﹣N＝0，则M＝N；若M﹣N＜0，则M＜N．若2☆x＝m，（x）☆3＝n（其中x为有理数），试比较m，n的大小．【分析】（1）利用规定的运算方法直接代入计算即可；（2）利用规定的运算方法得出方程，求得方程的解即可；（3）利用规定的运算方法得出m、n，再进一步作差即可比较大小．解：（1）原式＝﹣2×32+2×（﹣2）×3+（﹣2）＝﹣18﹣12﹣2＝﹣32；故答案为：﹣32．（2）根据题意得：（a+1）+3（a+1）+＝＝8a+8∴（8a+8）×（﹣2）2+2×（8a+8）×（﹣2）+（8a+8）＝16整理得，8a+8＝16解得：a＝1；（3）已知等式整理得：m＝2x2+4x+2，n＝x++x＝4x，∴m﹣n＝2x2+2＞0，∴m＞n．27．平面内有直线AB和直线CD，点E是平面内任意一点，连接AE、CE，∠AEC＝60°．（1）若直线AB∥CD；如图1，当点E在两条平行线之间时，直接写出∠BAE与∠DCE的数量关系　∠BAE+∠DCE＝60°　；如图2，当点E在两条平行线外部时，直接写出∠BAE与∠DCE的数量关系　∠DCE﹣∠BAE＝60°　；（2）若直线AB与CD相交于点O，且∠AOC＝60°，如图3，当点E在∠AOC内部，且∠AEC＝45°，猜想∠BAE与∠DCE的数量关系，并证明；（3）我们小学学习过三角形的内角和等于180°，若直线AB与CD相交于点O，且∠AOC＝60°，如图4，当点E在∠AOC外部，且∠AEC＝45°，分别作射线AM平分∠BAE 、作射线CN平分∠DCE，反向延长AM与CN交于点P，求∠APN的度数？【分析】（1）①过点E作EF∥AB，所以∠BAE＝∠AEF，因为AB//CD，所以EF//CD，所以∠DCE＝∠CEF，则∠BAE+∠DCE＝∠AEF+∠CEF＝∠AEC＝60°；②过点E作EF//AB，所以∠BAE＝∠AEF，因为AB//CD，所以EF//CD，所以∠DCE＝∠CEF，则∠DCE﹣∠BAE＝∠CEF﹣∠AEF＝∠AEC＝60°．（2）连接OE，因为∠BAE是△AOE的外角，∠DCE是△COE的外角，所以∠BAE＝∠AOE+∠AEO，∠DCE＝∠COE+∠CEO，所以∠BAE+∠DCE＝∠AOE+∠AEO+∠COE+∠CEO＝∠AOC+∠AEC＝60°+45°＝105°；（3）设AO与CE相交于点G，设∠AGE＝∠CGO＝x°，则∠AGC＝180°﹣x°，因为∠BAE是△AEG的外角，∠AEC＝45°，所以∠BAE＝∠AEC+∠AGE＝45°+x°，因为AM平分∠BAE，所以∠BAM＝∠EAM＝∠BAE＝22.5+x°，∠PAG＝∠BAM＝22.5°+x°，因为∠DCE是△COG的外角，∠AOC＝60°，所以∠DCE＝∠CGO+∠AOC＝x°+60°，因为CN平分∠DCE，所以∠DCN＝∠ECN＝∠DCE＝x°+30°，所以∠APC＝360°﹣∠PAG﹣∠AGC﹣∠ECN＝360°﹣（22.5°x°）﹣（180°﹣x°）﹣（x°+30°）＝127.5°，所以∠APN＝180°﹣∠APC＝52.5°．解：（1）①∠BAE+∠DCE＝60°，理由如下： 如图1，过点E作EF∥AB，∴∠BAE＝∠AEF，∵AB//CD，∴EF//CD，∴∠DCE＝∠CEF，∵∠AEC＝60°，∴∠BAE+∠DCE＝∠AEF+∠CEF＝∠AEC＝60°；故答案为：∠BAE+∠DCE＝60°．②∠DCE﹣∠BAE＝60°，理由如下：如图2，过点E作EF//AB，∴∠BAE＝∠AEF，∵AB//CD，∴EF//CD，∴．∠DCE＝∠CEF，∵∠AEC＝60°，∴∠DCE﹣∠BAE＝∠CEF﹣∠AEF＝∠AEC＝60°．故答案为：∠DCE﹣∠BAE＝60°．（2）猜想：∠BAE+∠DCE＝105°，理由如下：如图3，连接OE， ∵∠BAE是△AOE的外角，∠DCE是△COE的外角，∴∠BAE＝∠AOE+∠AEO，∠DCE＝∠COE+∠CEO，∵∠AOC＝60°，∠AEC＝45°，∴∠BAE+∠DCE＝∠AOE+∠AEO+∠COE+∠CEO＝∠AOC+∠AEC＝60°+45°＝105°；（3）如图4，设AO与CE相交于点G，设∠AGE＝∠CGO＝x°，则∠AGC＝180°﹣x°，∵∠BAE是△AEG的外角，∠AEC＝45°，∴∠BAE＝∠AEC+∠AGE＝45°+x°，∵AM平分∠BAE，∴∠BAM＝∠EAM＝∠BAE＝22.5+x°，∴∠PAG＝∠BAM＝22.5°+x°，∵∠DCE是△COG的外角，∠AOC＝60°，∴∠DCE＝∠CGO+∠AOC＝x°+60°，∵CN平分∠DCE， ∴∠DCN＝∠ECN＝∠DCE＝x°+30°，∵∠PAG+∠AGC+∠ECN+∠APC＝360°，∴∠APC＝360°﹣∠PAG﹣∠AGC﹣∠ECN＝360°﹣（22.5°x°）﹣（180°﹣x°）﹣（x°+30°）＝127.5°，∴∠APN＝180°﹣∠APC＝52.5°．