山西省太原市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、单选题1．下列各点中，在反比例函数图象上的点是（　　）A．（4，1）B．（2，﹣2）C．（﹣1，4）D．（2，3）【答案】A【分析】根据将点的横坐标代入反比例函数，得到的结果是否等于该点的纵坐标，即可求解判断．【详解】解：A、当时，，则在反比例函数的图象上，故本选项符合题意；B、当时，，则不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；C、当时，，则不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；D、当时，，则（2，3）不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；故选：A【点睛】本题主要考查判断点是否在反比例函数图象上，熟练掌握求反比例函数的值的方法是解题的关键．2．如图是一个几何体的三种视图，则该几何体可能是（　　）23,A．B．C．D．【答案】D【分析】根据三视图的定义逐项判断即可．【详解】解：A、B、C的俯视图都和题干中给出的图形不符，故不符合题意，故选：D．【点睛】此题考查由三视图判断几何体，熟知三视图的定义是解题的关键．3．如图，直线l1l2l3，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．已知AB＝4，BC＝6，DE＝2，则EF的长为（　　）A．2B．3C．4D．4.5【答案】B【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得．【详解】解：，，，，解得，经检验，是所列分式方程的解，23,故选：B．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．4．将图1所示的长方形纸片对折后得到图2，图2再对折后得到图3，沿图3中的虚线剪下并展开，所得的四边形是（　　）A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形【答案】B【分析】根据操作过程可还原展开后的纸片形状，并判断其属于什么图形．【详解】展得到的图形如上图，由操作过程可知：AB=CD，BC=AD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形，故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的判定，和菱形的判定，拥有良好的空间想象能力是解决本题的关键．5．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了20023,次球，发现有140次摸到红球，由此估计这个口袋中红球的个数为（　　）A．3个B．4个C．6个D．7个【答案】D【分析】估计利用频率估计概率可估计摸到红球的概率为0.7，然后根据概率公式计算这个口袋中红球的数量．【详解】解：因为共摸了200次球，发现有140次摸到红球，所以估计摸到红球的概率为0.7，所以估计这个口袋中红球的数量为10×0.7=7（个）．故选：D．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．6．如图，矩形ABCD的对称轴分别交AB于点E，交CD于点F．若矩形AEFD与矩形ABCD相似，则AB：BC的值为（　　）A．2B．C．D．【答案】B【分析】根据矩形的性质和对称的性质得到AD=BC和，再根据相似的性质可得到ABBC=ADAE，继而可得到的值．【详解】解：∵ABCD是矩形，∴AD=BC，∵矩形ABCD的对称轴分别交AB于点E，交CD于点F，23,∴，∵矩形AEFD与矩形ABCD相似，∴ABBC=ADAE，∴，，，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查矩形的性质、相似多边形的性质，综合运用相关知识是解题的关键．7．已知A（7，y1）和B（2，y2）是反比例函数图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（　　）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．无法确定【答案】C【分析】根据反比例函数的增减性即可得．【详解】解：∵反比例函数中的，∴在每一象限内，随的增大而减小，又∵和是反比例函数图象上的两点，且，∴，故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝12，BD＝16，则菱形的高AE为（　　）23,A．9.6B．4.8C．10D．5【答案】A【分析】根据菱形的性质及勾股定理，可求出BC的长，利用菱形的面积公式即可求出AE的长．【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，，，∴，AC、BD互相平分，∴，，在中，，∴，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查菱形的性质、面积、勾股定理等，熟练掌握并灵活应用菱形的性质是解题关键．9．学校计划在长为12m，宽为9m矩形地块的正中间建一座劳动实践大棚．大棚是占地面积为88m2的矩形．建成后，大棚外围留下宽度都相同的区域，这个宽度应设计为（　　）A．1.8mB．1.5mC．1mD．0.5m【答案】D【分析】设这个宽度应设计为，从而可得矩形大棚的长为，宽为23,，再根据矩形的面积公式建立方程，解方程即可得．【详解】解：设这个宽度应设计为，则矩形大棚的长为，宽为，由题意得：，解得或，因为当时，，不符题意，舍去，所以这个宽度应设计为，故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确建立方程是解题关键．10．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形．位似中心是（　　）A．（8，0）B．（8，1）C．（10，0）D．（10，1）【答案】C【分析】连接两组对应点，对应点的连线的交点即为位似中心．【详解】解：如图，点E即为位似中心，E（10，0），故选：C．．【点睛】23,此题考查了位似中心的定义：位似图形的对应点的连线的交点即为位似中心，熟记定义是解题的关键．11．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形．位似中心到点D和点D'的距离的比值是（　　）A．2B．C．D．【答案】A【分析】直接利用位似图形的性质得出位似中心，进而利用对应边的比值得出位似中心到点和的距离比值．【详解】如图所示，点P即为位似中心，位似中心到点和的距离之比为：，23,故选：A．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出位似中心的位置是解题关键．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题12．添加一个条件，使矩形ABCD是正方形，这个条件可能是_____．【答案】或或或或【分析】根据有一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形即可得出答案．【详解】解：根据有一组邻边相等的矩形是正方形得：这个条件可能是或或或，根据对角线互相垂直的矩形是正方形得：这个条件可能是，故答案为：或或或或．【点睛】本题考查了正方形的判定，熟练掌握正方形与矩形之间的关系是解题关键．13．在中，∠C=，AC=12，BC=5，则AB边上的中线CD=_______．【答案】6.5【分析】先求斜边，再根据斜边上中线等于斜边一半可得.【详解】解：由勾股定理可得：AB=,所以AB上的中线长：13÷2=6.5故答案为6.5【点睛】本题考核知识点：直角三角形斜边上的中线.解题关键点：熟记性质即可.14．已知，△ABC∽△A'B'C'，，△ABC的面积为45，则△A'B'C'的面积等于23,_____．【答案】20【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方计算．【详解】解：∵△ABC∽△A'B'C'，，∴，∵△ABC的面积为45，∴，故答案为：20．【点睛】此题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键．15．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm．他准备了一支长为20cm的蜡烛，想要得到高度为5cm的像．蜡烛应放在距离纸筒_____cm的地方．【答案】60【分析】先根据题意得出相似三角形，再利用三角形相似的性质得到相似比，然后根据比例性质计算．【详解】解：如图，AB=20cm，OF=15cm，CD=5cm，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∴△OAB∽△ODC，23,∴，即，解得OE=60cm．答：蜡烛应放在距离纸筒60cm的地方．故答案为：60．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．16．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴的负半轴上，y轴的正半轴上，y轴平分AB边，点A的坐标（﹣2，0），AB＝5．过点B的反比例函数的表达式是_____．【答案】##【分析】设AB与y轴交于点E，过点B作BF⊥x轴，垂足为F，然后利用A字模型相似三角形进行计算即可解答．【详解】解：过点B作BF⊥x轴，垂足为F，设AB与y轴交于点E，∵点A的坐标（-2，0），∴OA=2，∵y轴平分AB边，AB=5，∴AE=BE=AB=，23,∵BF∥y轴，∴∠AOE=∠AFB，∠AEO=∠ABF，∴△AOE∽△AFB，∴，∴AF=2AO=4，∴OF=AF-OA=4-2=2，∴BF==3，∴B（2，3），设过点B的反比例函数的表达式是y=，把B（2，3）代入y=中得：3=，∴k=6，∴过点B的反比例函数的表达式是：y=，故答案为：．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练利用A字型模型的相似三角形是解题的关键．17．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴的负半轴上，y轴的正半轴上，y轴平分AB边，点A的坐标（﹣2，0），AB＝5．过点D的反比例函数的表达式是_____．【答案】【分析】过点作轴于点，设与轴的交点为点，先根据相似三角形的判定证出23,，根据相似三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得出点的坐标，然后利用待定系数法即可得．【详解】解：如图，过点作轴于点，设与轴的交点为点，四边形是矩形，，轴平分边，且，，，，在中，，在和中，，，，即，解得，，，轴，，，23,在和中，，，，即，解得，，，设过点的反比例函数的表达式为，将点代入得：，则过点的反比例函数的表达式为，故答案为：．【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质、矩形的性质等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．评卷人得分三、解答题18．解方程：（1）（x﹣4）（5x+7）＝0；（2）x2﹣4x﹣6＝0．【答案】（1）（2）【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程方程即可得；（2）利用配方法解一元二次方程即可得．23,（1）解：，或，或，即．（2）解：，，，，，，即．【点睛】本题考查了解一元二次方程，常见方法有：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法等，熟练掌握方程的解法是解题关键．19．如图，一个广告牌挡住了路灯的灯泡．小李、小张、路灯的灯杆及小赵在同一平面内．（1）画出该路灯灯泡所在的位置O；（2）画出表示小赵身高的线段AB．【答案】（1）作图见解析（2）作图见解析23,【分析】（1）如图，分别连接ME，NF并延长交点为O，O点即为灯泡的位置；（2）如图，连接OD，过B点作底面的垂线，交OD于点A，AB即为小赵的身高．（1）解：由题意知在同一平面内，故如图，分别连接ME，NF并延长交点为O，可知O点即为灯泡的位置；、（2）解：由题意知，如图，连接OD，过B点作底面的垂线，交OD于点A，AB即为小赵的身高；【点睛】本题考查了投影的应用．解题的关键在于理解投影的含义．20．如图，在平行四边形ABCD中，点M是AD边的中点，连接BM，CM，且BM＝CM．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若△BCM是直角三角形，直接写出AD与AB之间的数量关系．【答案】（1）见解析23,（2）AD=2AB，理由见解析【分析】（1）由SSS证明△ABM≌△DCM，得出∠A=∠D，由平行线的性质得出∠A+∠D=180°，证出∠A=90°，即可得出结论；（2）先证明△BCM是等腰直角三角形，得出∠MBC=45°，再证明△ABM是等腰直角三角形，得出AB=AM，即可得出结果．（1）证明：∵点M是AD边的中点，∴AM=DM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥CD，在△ABM和△DCM中，，∴△ABM≌△DCM（SSS），∴∠A=∠D，∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∴∠A=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：AD与AB之间的数量关系：AD=2AB，理由如下：∵△BCM是直角三角形，BM=CM，∴△BCM是等腰直角三角形，∴∠MBC=45°，由（1）得：四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A=90°，∴∠AMB=∠MBC=45°，∴△ABM是等腰直角三角形，∴AB=AM，23,∵点M是AD边的中点，∴AD=2AM，∴AD=2AB．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABM≌△DCM是解题的关键．21．小颖为元旦联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么游戏者获胜，因为红色和蓝色在一起配成了紫色．如果转盘的指针落在分割线上，则重新转动转盘．用列表或画树状图的方法，求游戏者获胜的概率．【答案】【分析】先画出树状图，从而可得游戏的所有等可能的结果，再找出游戏者获胜的结果，然后利用概率公式进行计算即可得．【详解】解：设红色、蓝色和黄色分别用表示，画出树状图如下所示：23,则这个游戏的所有等可能的结果共有6种，其中，游戏者获胜的结果有2种，所以游戏者获胜的概率为，答：游戏者获胜的概率为．【点睛】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．22．市政府计划建设一项惠民工程，工程需要运送的土石方总量为105m3，经招投标后，先锋运输公司承担了运送土石方的任务．（1）直接写出运输公司平均每天运送速度v（单位：m3/天）与完成任务所需时间t（单位：天）之间的函数关系式；（2）如果每辆车每天平均运送102m3的土石方，要求不超过50天完成任务，求运输公司平均每天至少安排多少辆车．【答案】（1）（2）运输公司平均每天至少安排20辆车【分析】（1）由题意知vt=105，然后写成反比例函数解析式的形式；（2）设运输公司平均每天至少安排x辆车，则有，计算求解即可．（1）解：由题意知vt=10523,∴∴函数关系式为：．（2）解：设运输公司平均每天至少安排x辆车则解得∴运输公司平均每天至少安排20辆车．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，一元一次不等式的应用．解题的关键在于根据题意列正确的等式或不等式．易错点是解析式未给出自变量的取值范围．23．如图，在△ACB中，AC=30cm，BC=25cm．动点P从点C出发，沿CA向终点A匀速运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC向终点C匀速运动，速度是1cm/s．当△CPQ与△CAB相似时，求运动的时间．【答案】当△CPQ与△CAB相似时，运动时间为s或s．【分析】需要分类讨论：△CPQ∽△CAB，△CPQ∽△CBA，利用相似三角形的对应边成比例列出比例式，并解答．【详解】解：设运动的时间为ts，则CP=2t，BQ=t，CQ=25-t，①当△CPQ∽△CAB时，，即，解得t=；②当△CPQ∽△CBA时，，即，解得t=．23,综上所述，运动时间为s或s．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，解题时，需注意分类讨论，以防漏解．24．第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日在北京开幕，北京成为历史上第一个既举办夏奥会又举办冬奥会的城市．某批发商最近订购了一批具有纪念意义的书签进行销售，平均每天可售出500张，每张可获利0.5元．调查发现，如果每张书签的售价每降价0.1元，平均每天可多售出200张．批发商要想平均每天获利270元，求每张书签应降价多少元．【答案】应降价0.05元或0.2元【分析】设每张书签应降价x元，列方程，计算即可．【详解】解：设每张书签应降价x元．依题意得，整理得，解得x1=0.05，x2=0.2，答：每张书签应降价0.05元或0.2元．【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．25．如图，正比例函数y1＝kx与反比例函数y2＝的图象相交于点A（2，4）和点B，点C的坐标是（4，0），点D在y2＝的图象上．23,（1）求反比例函数的表达式；（2）设点E在x轴上，∠AEB＝90°，求点E的坐标；（3）设点M在x轴上，点N在平面直角坐标系内．当四边形CDNM是正方形时，直接写出点M的坐标．【答案】（1）反比例函数的表达式为y=；（2）点E的坐标为（2，0）或（-2，0）；（3）点M的坐标为（2，0）或（6，0）．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）如图1，作AG⊥x轴于G，BH⊥x轴于H，通过证得△EBH∽△AEG，即可得到即，解得x的值，即可求得点E的坐标；（3）根据正方形的性质得出D的坐标，代入反比例函数的解析式得到关于a的方程，解方程即可求得M的坐标．（1）解：（1）∵反比例函数y2=的图象过点A（2，4），∴m=2×4=8，23,∴反比例函数的表达式为y=；（2）解：如图1，作AG⊥x轴于G，BH⊥x轴于H，∵正比例函数y1=kx与反比例函数y2=的图象相交于点A（2，4）和点B，∴B（-2，-4），∴OG=OH=2，AG=BH=4，设E的坐标为（x，0）（|x|＞2），则EG=|2-x|，EH=|x+2|，∵∠AEG+∠BEH=∠AEB=90°，∠BEH+∠EBH=90°，∴∠AEG=∠EBH，∵∠AGE=∠EHB=90°，∴△EBH∽△AEG，∴，即，整理得，x2-4=16，解得x=±2，∴点E的坐标为（2，0）或（-2，0）；（3）解：当四边形CDNM是正方形时，当点M在点C左侧时，如图，23,设M的坐标为（a，0），∵点C的坐标是（4，0），∴MC=4-a，∴ND=4-a，∴D（4，4-a），∵点D在y2=的图象上，4×(4-a)=8，∴a=2，∴M（2，0），当点M在点C右侧时，如图，同理求得点M的坐标为（6，0）．综上，点M的坐标为（2，0）或（6，0）．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正方形的性质，解题的关键是根据正方形的性质，表示出点D坐标．23