广东省揭阳市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、单选题1．如图，桌面上放着1个长方体和1个圆柱体，按如图所示的方式摆放在一起，其左视图是（　　）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据左视图是从左面看所得到的图形进行解答即可．【详解】从左边看时，圆柱和长方体都是一个矩形，圆柱的矩形竖放在长方体矩形的中间．故选：C．【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．2．若一元二次方程有一个根为1，则下列等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】将代入方程即可得出答案．【详解】解：由题意，将代入方程得：，1717 故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，熟记一元二次方程的根的定义（使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根）是解题关键．3．一天晚上，小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时，突然停电了，小丽只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起．则其颜色搭配一致的概率是（）A．B．C．D．1【答案】B【详解】试题分析：根据概率的计算公式．颜色搭配总共有4种可能，分别列出搭配正确和搭配错误的可能，进而求出概率即可．用A和a分别表示粉色有盖茶杯的杯盖和茶杯；用B和b分别表示白色有盖茶杯的杯盖和茶杯、经过搭配所能产生的结果如下：Aa、Ab、Ba、Bb，所以颜色搭配正确的概率是.故选B．考点：列表法与树状图法．4．中，，且，则A．B．C．D．【答案】C【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解．【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，且c=3b，∴cosA=＝＝．故选C．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．1717 5．函数的图象经过（1，-1），则函数的图象是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】试题解析：∵图象经过（1，﹣1），∴k=xy=﹣1，∴函数解析式为y=﹣x﹣2，所以函数图象经过（﹣2，0）和（0，﹣2）．故选A．考点：1.反比例函数图象上点的坐标特征；2.一次函数的图象.6．若，则的值为（）A．2B．C．D．9【答案】C【分析】设比值为k（k≠0），用k表示出a、b、c，然后代入比例式进行计算即可得解．【详解】设，则a=2k，b=3k，c=4k，∴原式，故选C.【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．7．点、、在反比例函数的图象上，且，则有（）A．B．C．D．【答案】B【分析】1717 先判断出函数的增减性，再判断出各点所在的象限，根据每个象限内点的坐标特点解答即可．【详解】解：∵k=-2＜0，∴函数图象在二，四象限，由x1＜0＜x2＜x3可知，横坐标为x1的点在第二象限，横坐标为x2，x3的点在第四象限．∵第四象限内点的纵坐标总小于第二象限内点的纵坐标，∴y1最大，在第二象限内，y随x的增大而增大，∴y2＜y3＜y1．故选：B．【点睛】在反比函数中，已知各点的横坐标，比较纵坐标的大小，首先应区分各点是否在同一象限内．在同一象限内，按同一象限内点的特点来比较，不在同一象限内，按坐标系内点的特点来比较．8．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（　　）A．1：4B．1：3C．1：2D．1：1【答案】C【分析】本题考查的是平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质定理.【详解】解：在平行四边形ABCD中，AB∥CD,∴故选C.9．如图所示，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）1717 A．5cosα米B．米C．米D．米【答案】B【分析】作BE⊥AC，垂足为E，利用所给的角的余弦值求解即可．【详解】解：作BE⊥AC，垂足为E，∵BE平行于地面，∴∠ABE＝∠α，∵BE＝5米，∴AB＝＝．故选：B．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确选择三角函数是解题关键．10．如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（　　）A．nB．n﹣1C．（）n﹣1D．（）n【答案】B【详解】1717 解：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的，即是×4=1，3个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×2，4个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×3，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×（n﹣1）=n﹣1．故选B．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题11．若为整数，关于的一元二次方程有实数根，则整数的最大值为__________．【答案】3【分析】根据一元二次方程的二次项的系数不等于0、根的判别式求出的取值范围，由此即可得出答案．【详解】解：由题意得：，解得，且，为整数，整数的最大值为3，故答案为：3．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．12．若点、都在反比例函数的图象上，则的值是___________．【答案】##【分析】1717 将点的坐标都代入反比例函数的解析式即可得．【详解】解：点、都在反比例函数的图象上，，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．13．如图，矩形中，是的中点，，，是线段上的动点，则的最小值是___________．【答案】【分析】先利用勾股定理求出的长，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值，然后根据相似三角形的判定证出，最后根据相似三角形的性质即可得．【详解】解：矩形中，是的中点，，，，，由垂线段最短可知，当时，取得最小值，在和中，，，1717 ，即，解得，即的最小值是，故答案为：．【点睛】本题考查了垂线段最短、矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，正确找出两个相似三角形是解题关键．14．从长度分别为3，5，6，9的四条线段中任取三条,则能组成三角形的概率为___．【答案】【详解】试题分析：利用列举法得到所有四种结果，然后根据三角形三边的关系得到能组成三角形的结果数，然后根据概率公式求解．从长度分别为3，5，6，9的四条线段中任取三条，共有（356）、（359）、（369）、（569）四种等可能结果，其中能组成三角形的有（356）、（569）两种等可能结果，所以能组成三角形的概率==．故答案为．考点：1.列表法与树状图法；2.概率公式.15．如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，=，则△DEF与△ABC的面积比是______．【答案】4：25【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．【详解】解：∵△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，∴△DEF∽△ABC，∵，1717 ∴，即△DEF与△ABC的相似比为，∴△DEF与△ABC的面积比是4：25，故答案为4：25．【点睛】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．16．如图，大坝的横截面是一个梯形，坝顶宽，坝高，斜坡的坡度，斜坡的坡度，则坡底宽__________．【答案】60【分析】过点作于点，过点作于点，先根据矩形的判定与性质可得，再根据坡度的定义求出的长，然后根据线段的和差即可得．【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，则，四边形是矩形，，斜坡的坡度，斜坡的坡度，，即，解得，则坡底宽，故答案为：60．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用（坡度）、矩形的判定与性质等知识点，掌握理解坡度的定义（坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度）是解题关键．1717 17．如图，已知矩形OABC的面积为，它的对角线OB与双曲线相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k＝____．【答案】【详解】过点D作，则，由相似三角形性质得，，而，则，由于，所以故答案为：12．评卷人得分三、解答题18．计算：【答案】【分析】1717 根据零指数幂、负整指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值对式子进行计算即可．【详解】解：．【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，涉及特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、绝对值等知识点，细心运算是解题关键．19．画出如图所示物体的主视图、左视图、俯视图.【答案】画图见解析.【分析】三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【详解】如图所示：主视图左视图俯视图【点睛】本题考查了三视图，但需要注意在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．20．如图：一次函数的图象与反比例函数的图象交于和点．1717 （1）求点的坐标；（2）根据图象回答，当在什么范围时，一次函数的值大于反比例函数的值．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）先根据点的坐标可得反比例函数的解析式，再将点的坐标代入计算即可得；（2）结合点的坐标，根据一次函数的值大于反比例函数的值表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方即可得．【详解】解：（1）将点代入得：，则反比例函数的解析式为，将点代入得：，则点的坐标为；（2）一次函数的值大于反比例函数的值表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方，或．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法和函数图象法是解题关键．21．据某市车管部门统计，2013年底全市汽车拥有量为150万辆，而截至到2015年底，全市的汽车拥有量已达216万辆，假定汽车拥有量年平均增长率保持不变．（1）求年平均增长率；（2）如果不加控制，该市2017年底汽车拥有量将达多少万辆？【答案】（1）年平均增长率为20%．（2）如果不加控制，该市2017年底汽车拥有量将达311.04万辆．【详解】试题分析：（1）假设出平均增长率为x，可以得出2013年该市汽车拥有量为150（1+x），2015年为150（1+x）（1+x）=216，即150（1+x）2=216，进而求出具体的值；（2）结合上面的数据2017应该在2015年的基础上增长，而且增长率相同，同理，即为216（1+20%）2．解：设该市汽车拥有量的年平均增长率为x．1717 根据题意，得150（1+x）2=216．解得：x=0.2或x=﹣2.2（不合题意，舍去）．∴年平均增长率为20%．（2）216（1+20%）2=311.04（万辆）．答：如果不加控制，该市2017年底汽车拥有量将达311.04万辆．考点：一元二次方程的应用．22．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=4．（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值．【答案】（1）（2）【详解】试题分析：（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADC，得出DC=4；解Rt△ADB，得出AB=6，根据勾股定理求出BD=2，然后根据BC=BD+DC即可求解；（2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE=CE-CD，然后在Rt△ADE中根据正切函数的定义即可求解．试题解析：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°．在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=4，∴DC=AD=4．在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB=，AD=4，∴AB=∴BD=，∴BC=BD+DC=（2）∵AE是BC边上的中线，1717 ∴CE=BC=，∴DE=CE-CD=，∴tan∠DAE=．考点:解直角三角形.23．已知，在矩形中，，，动点从点出发沿边向点运动．（1）如图1，当，点运动到边的中点时，请证明；（2）如图2，当时，点在运动的过程中，是否存在，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）存在，理由见解析【分析】（1）根据b=2a，点M是AD的中点，可得AB=AM=MD=DC=a，再由矩形的性质，即可求证；（2）假设∠BMC=90°，则∠AMB+∠DMC=90°，可先证得△ABM∽△DMC，从而得到，然后设AM=x，则，可得到，再由，可得到，进而得到方程有两个不相等的实数根，且两根均大于0，即可求解．【详解】解：（1）证明：∵b=2a，点M是AD的中点，∴AB=AM=MD=DC=a，又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠AMB=∠DMC=45°，∴∠BMC=90°；（2）存在，理由：若∠BMC=90°，则∠AMB+∠DMC=90°，又∵∠AMB+∠ABM=90°，∴∠ABM=∠DMC，又∵∠A=∠D=90°，∴△ABM∽△DMC，1717 ∴，设AM=x，则，整理得：，∵，∴，∴，∴方程有两个不相等的实数根，且两根均大于0，符合题意，∴当时，点在运动的过程中，存在．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理，一元二次方程根的判别式是解题的关键．24．如图，四边形中，平分，，为的中点．（1）求证：；（2）求证：；（3）若，，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【分析】（1）先根据相似三角形的判定证出，再根据相似三角形的性质即可得证；（2）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得证；（3）先根据相似三角形的判定证出，再根据相似三角形的性质可得，由此即可得出答案．【详解】证明：（1）平分，1717 ，在和中，，，，；（2），为的中点，，，由（1）已得：，，；（3），为的中点，，由（2）已证：，，，，即，．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．25．已知正方形的面积为9，点是坐标原点，点在轴上，点在轴上，点在函数的图象上，点是函数的图象上任意一点．过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、．若矩形和正方形不重合部分（阴影）面积为．（提示：考虑点在点的左侧或右侧两种情况）1717 （1）求点的坐标和的值；（2）写出关于的函数关系式；（3）当时，求点的坐标．【答案】（1），；（2）；（3）或．【分析】（1）先根据正方形的面积公式可得，从而可得点的坐标，再利用待定系数法即可得的值；（2）先将点代入反比例函数的解析式可得，再分①点在点的右侧，②点在点的左侧两种情况，分别利用矩形的面积公式即可得；（3）根据（2）的结果，求出时，的值，由此即可得出答案．【详解】解：（1）正方形的面积为9，，，将点代入得：；（2）由（1）得：反比例函数的解析式为，将点代入得：，由题意，分以下两种情况：①如图，当点在点的右侧，即时，则，1717 ，；②如图，当点在点的左侧，即时，则，，，综上，关于的函数关系式为；（3）①当时，，解得，则，即此时点的坐标为；②当时，，解得，则，即此时点的坐标为；综上，点的坐标为或．【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合等知识点，较难的是题（2），正确分两种情况讨论是解题关键．1717