全国初中数学竞赛模拟试题（五）班级__________学号__________姓名______________得分______________一、选择题（本题满分30分，每小题5分）1．边长都是质数的凸四边形ABCD，且AB∥CD，AB＋BC＝AD＋CD＝20，AB＞BC，则BC＋AD＝（　　）（A）6或14（B）6（C）14（D）102．直角梯形的一条对角线将它分成两个三角形，其中一个是等边三角形，如果它的中位线的长为12，那么它的下底的长为（　　）（A）16（B）18（C）20（D）223．在等腰Rt△ABC的斜边AB所在的直线上有点P满足S＝AP2＋BP2，则（　　）（A）对P有无限多个位置，使得S＜2CP2（B）对P有有限个位置，使得S＜2CP2（C）当且仅当P为AB的中点，若P与顶点A，B之一重合时，才有S＝2CP2（D）对直线AB上的所有点P，总有S＝2CP24．若＜＜，则正整数x的值是（　　）（A）3（B）4（C）5（D）65．若方程3x＋by＋c＝0与cx－2y＋12＝0的图形重合，设n为满足上述条件的（b，c）的组数，则n等于（　　）（A）0（B）1（C）2（D）有限多个但多于2ABCDP6．如图，若PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC与PB交于点D，且PB＝4，PD＝3，则AD·DC等于（　　）（A）6　　　（B）7　　　（C）12　　　（D）16二、填空题（本题满分30分，每小题5分）1．若自然数a，x，y满足＝－，则a的最大值是____________．ABEFPCDMN2．如右图，已知ABCDEF是正六边形，M，N分别是边CD和DE的中点，线段AM与BN相交于P，则＝____________．3．关于自变量x的二次函数y＝x2－4ax＋5a2－3a的最小值m是a的函数，且a满足不等式0≤a2－4a－2≤10，则m的最大值等于________．4．方程xy＋3x＋2y＝10的正整数解为__________．5．甲、乙二人在圆形跑道上从同一点A同时出发，并按相反方向跑步，甲的速度为每秒5m，乙的速度为每秒7m，到他们第一次在A点处再度相遇时跑步就结束，则从他们开始相遇到结束共相遇了n次，这里n＝__________．6．在直角坐标系xOy中，x轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5），Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP＋MQ取最小值时，点M的横坐标x＝__________．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）ABCDEFIA1B1C11．在锐角三角形ABC中，∠BAC，∠ABC，＜ACB的平分线分别与△ABC的外接圆交于D，E，F．连EF，FD，DE分别交AD，BE，CF于A1，B1，C1．求证：△ABC的内心I也是△A1B1C12的内心．2．设有三个相似三角形，且较小的两个三角形可以互不重合地放在大三角形的内部．试证明，两个小三角形的周长之和不超过大三角形的周长的倍．3．若不等式组的整数解只有x＝－2，求实数k的取值范围．2